连续函数的运算和性质

反函数的连续性
定理2 若函数 y f ( x) 在区间 I x 上单调增加(或
单调减少)且连续, 则它的反函数 x ( y)也在对应
的区间 I y { y | y f ( x), x I x }上 单调增加(或单
调减少)且连续. 证略
同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续; y arctan x 在区间(,)内单调增加且连续; y arc cot x在区间(,)内单调减少且连续. 总之, 反三角函数 arcsin x, arccos x, arctan x, arc cot x 在它们的定义域内都是连续的.
第十节 连续函数的运算与性质
定理1 若函数 f ( x), g( x)在点 x0 处连续, 则 f ( x) g( x), f ( x) g( x),
f (x) g( x)
(g( x0 )

0)
在点 x0 处也连续. 例如, sin x, cos x 在(,)内连续,故
tan
x

sin cos
x0 2 处连续 , 于是
lim
x2
e 2x
x

1

e2 22
1

e2 5
.
幂指函数
形如 f ( x) u( x)v( x)(u( x) 0)的函数称为幂指函数.
因为
u( x)v( x) e , v( x)ln u( x)
故幂指函数可化为复合函数.
易见: 若 lim u( x) a 0, lim v( x) b, 则 lim u( x)v( x) lim ev( x)ln u( x) elim[ v( x)ln u( x )] e bln a a b .
复合函数的连续性
结合上述两步得, 0, 0, 当 0 | x x0 | 时, 恒有
| f (u) f (a) || f [( x)] f (a) | ,
lim f [ ( x)] f (a) f [lim ( x)].
x x0
x x0
y sin u 在(,) 内连续,

y

sin
1 x
在
(,0)

(0,)
内连续.
例1
求 lim ln(1 x) .
x0
x
解
lim
ln(1
x)

lim
ln(1
1
x)x
x0
x
x0

lnlxim0 (1

1
x)x

ln e 1 .
例 2 求 lim cos( x 1 x) . x
初等函数的连续性
讨论 的不同值(均在其定义域内连续).
定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指 包含在定义域内的区间. 注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 但在其 定义域内不一定连续.
例如, y cos x 1, D : x 0,2 ,4 ,
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 )) 则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x)在区间 I 上的最大(小)值.
例如, y 1 sin x, x [0,2 ], ymax 2, ymin 0.
y sgn x, 在(,)上, ymax 1, ymin 1. 在(0,)上, ymax ymin 1.
f(x)在[a b]上必能取得到最大值和最小值。
证 构造辅助函数法反证。 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 设M=sup{f(x)},
但对x[a,b],f(x)M.考虑辅助函数 F(x)=1/(M-f (x))
则F(x)是[ab]上的恒正的连续函数,由有界性定理可知， 存在正数K，使得F(x)K。从而
即 lim u( x)v( x) ab
注意公式成立的条件
1
例6 求 lim( x 2e x ) x1 .
解
x0
lim( x
1
2e x ) x1
[lim( x

2e )] x
lim
x0
1 x1

1 2
.
有界性最大值和最小值定理
定义 对于在区间 I 上有定义的函数 f ( x), 如果 有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有
定理知存在>0,M>0,对xu(,)[a,b],有 |f(x)|M
但对充分大的n应有[an bn] u(,)[a,b],于是就得到f(x) 在这样的[an,bn]上有界,构成矛盾. 因此函数 f (x)在[a b]上有 界
下面再证：设函数f(x)在闭区间[a b]上连续，则
解 因为
3
(1 2 x)sin x
(1 2 x)21xsin1 x6 ,
所以
3
lim(1 2 x)sin x
x0

lim
x0
(1

2
x
)
1 2x

x sin
x6
e6 .
初等函数的连续性
三角函数及反三角函数 在它们的定义域内是连续 的;
指数函数 y a x (a 0,a 1)在(,)内单调
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
例如，函数
y

tan
x
在开区间



2
,
2

内是连续的，但
它在开区间



2
,

2

内既无最大值也无最小值；
又如,函数
y
在闭区间0,2 上有间断点 x 1，这
函数 f x 在闭区间0,2 虽然有界， 1
在0点的领域内没有定义, 函数在区间[1,) 上
连续.
2. 初等函数求极限的方法(代入法)
lim f ( x)
x x0
f ( x0 )
( x0 定义区间).
例5
求
lim
x2
ex 2x 1
.
解
因为
f (x)
e x 是初等函数 , 2x 1
且
x0

2
是其定义区间内的点 , 所以 f ( x) e x 在点 2x 1
x

loga (1
y)
ln(1 ln a
y)
,
易见当 x 0 时 , y 0 , 所以
lim a x 1 x0 x

lim y ln a y0 ln(1 y)
lim y0
ln a 1 ln a .
ln(1 y) y
3
例 4 求 lim(1 2 x)sin x . x0
调减少)且连续.
证略
例如,
y

sin
x
在
[

2
,2
]上单调增加且连续,
故
y arcsin x 在 [1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续;
y arctan x 在区间(,)内单调增加且连续;
反函数的连续性
定理2 若函数 y f ( x) 在区间 I x 上单调增加(或
在这些孤立点的领域内没有定义.
y x2( x 1)3 , D : x 0 及 x 1.
初等函数的连续性
在这些孤立点的领域内没有定义.
y x2( x 1)3 , D : x 0 及 x 1.
初等函数的连续性
在这些孤立点的领域内没有定义.
y x2( x 1)3 , D : x 0 及 x 1.
但是既无最大值也无最小值.
o
y f (x)
x 12
证 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 假如f(x)在闭区间[a,b] 上无界,将[a,b]等分为两个小区间,[a,(a+b)/2]与[(a+b)/2,b],则 f(x)至少在其中之一上无界,把它记为[a1,b1];再将它等分为两 个小区间[a1,(a1+b1)/2]与[(a1+b1)/2,b1],同样f(x)至少在其中之 一上无界,把它记为[a2,b2];…这样的步骤一直做下去,便得到
解 lim cos( x 1 x) x
coslxim (
x 1 x)( x 1 x1 x
x)
coslxim
1 x1
x
cos0 1 .
例 3 求 lim a x 1 . x0 x
解 令ax 1 y , 则
x x
,
cot
x

cos sin
x x
,
sec
x

1 cos
x
,
csc
x

1 sin
x
在其定义域内连续.
反函数的连续性
定理2 若函数 y f ( x) 在区间 I x 上单调增加(或
单调减少)且连续, 则它的反函数 x ( y)也在对应
的区间 I y { y | y f ( x), x I x }上 单调增加(或单
| f (u) f (a) | ,
又
lim
x x0

(
x)

a,
对上述
,

0, 当
0 | x x0 | 时, 恒有 | ( x) a || u a | ,
结合上述两步得, 0, 0, 当
复合函数的连续性
结合上述两步得, 0, 0, 当
意义 1. 极限符号可以与连续函数符号互换;
2.定理3给出了变量代换(u ( x))的理论依据.
定理4 设函数 u ( x) 在点 x0 处连续, 且 ( x0 ) u0 , 而函数 y f (u)在点 u u0 处连续,
复合函数的连续性
定理4 设函数 u ( x) 在点 x0 处连续, 且 ( x0 ) u0 , 而函数 y f (u)在点 u u0 处连续,
单调减少)且连续, 则它的反函数 x ( y)也在对应
的区间 I y { y | y f ( x), x I x }上 单调增加(或单
调减少)且连续. 证略
同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续; y arctan x 在区间(,)内单调增加且连续;
且连续;
对数函数 y loga x (a 0,a 1)在(0,)内单
调且连续;
y x a loga x y au , u loga x在(0,)
内连续.
讨论 的不同值(均在其定义域内连续).
初等函数的连续性
讨论 的不同值(均在其定义域内连续).
复合函数的连续性
定理4 设函数 u ( x) 在点 x0 处连续, 且 ( x0 ) u0 , 而函数 y f (u)在点 u u0 处连续,
则复合函数 f [ ( x)]在点 x0 处也连续.
注意 定理4是定理3的特殊情况.
例如,
u

1 x
在
(,0)
(0,)内连续,
复合函数的连续性
定理3 若 lim ( x) a, 函数 f (u) 在点 a 处
x x0
连续, 则有 lim f [ ( x)] f (a) f [lim ( x)].
x x0
x x0
证 f (u) 在点 u a处连续, 0, 0,
当| u a | 时,恒有
的零点.
零点定理 设函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续, 且 f (a)与 f (b) 异号(即 f (a) f (b) 0), 那么在开区 间(a,b)内至少有函数 f ( x)的一个零点, 即至少有
f (x)M-1/K x[a,b] 这与M是f(x)为[a,b]上的上确界矛盾。因此存在 x[a,b],使 f () =M。 同理可证存在[a,b],使得f()=inf{f(x)}=m。
定理2.零点定理与介值定理
定义 如果 x0 使 f ( x0 ) 0, 则 x0 称为函数 f ( x)
定理1(有界性和最大值和最小值定理) 在闭区间 上连续的函数有界且一定有最大值和最小值.
若 f ( x) C[a, b], y
则 1 ,2 [a, b],
y f (x)
使得 x [a, b],
有 f (1 ) f ( x),
f (2 ) f ( x).
oa
2
1 b x
一个闭区间套{[an,bn]}, an≤an+1,bn≥bn+1, 区间长度趋于零， 且f(x)在其中任何一个闭区间[an,bn]上都无界。{an}单调上 升有上界,{bn}单调下降有下界，又由于an-bn0,故存 在[ab],使
=liman=limbn (n)
因为[ab],而f(x)在点处连续,由函数极限的局部有界性