2019届一轮复习北师大版等差数列等比数列学案

专题三 数列
第一讲 等差数列、等比数列
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对等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n 项和公式建立方程组求解．
2．对等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题．
3．对等差、等比数列的判断与证明，主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节.
1．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97
[解析] 设{a n }的公差为d ，由等差数列前n 项和公式及通项公式，得⎩⎪⎨⎪⎧
S 9＝9a 1＋9×82d ＝27，a 10＝a 1＋9d ＝8，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝－1，
d ＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －2，∴a 100＝100－2＝98.故
选C.
[答案] C
2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )
A ．－24
B ．－3
C ．3
D ．8
[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 23＝a 2·a 6，即(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2或d ＝0(舍去)，又a 1＝1，∴S 6＝6×1＋6×52
×(－2)＝－24.故选A.
[答案] A
3．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1
＝________，S 5＝________.
[解析] ∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴a 2＝2S 1＋1，即S 2－a 1＝2a 1＋1，又∵S 2＝4，∴4－a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝1.
又a n ＋1＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1.
解法一：S n ＋1＝3S n ＋1，由S 2＝4，可求出S 3＝13，S 4＝40，S 5＝121.
解法二：S n ＋1＝3S n ＋1，则S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12.又S 1＋12＝32，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是首项为3
2，公比为3的等比数列，
∴S n ＋12＝3
2×3n －1，即S n ＝3n －12，
∴S 5＝35－12＝121.
[答案] 1 121
4．(2017·绵阳三诊)已知{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为S n ，且S n 为a n 与1
a n
的等差中项．
(1)求证：数列{S 2n }为等差数列； (2)设b n ＝(－1)n a n ，求{b n }的前n 项和T n .
[解析] (1)证明：由题意知2S n ＝a n ＋1
a n ，
即2S n a n －a 2n ＝1.①
当n ＝1时，由①式可得S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入①式得 2S n (S n －S n －1)－(S n －S n －1)2＝1，
整理得S 2n －S 2n －1＝1.
∴{S 2n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知S 2n ＝n ，则S n ＝n ， ∴a n ＝S n －S n －1＝n －
n －1.
∴b n ＝(－1)n
a n
＝
(－1)n n －
n －1
＝(－1)n (n ＋n －1)．
当n 为奇数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…＋(n －1＋n －2)－(n ＋n －1)
＝－n ；
当n 为偶数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(n －1＋n －2)＋(n ＋n －1)
＝n .
∴{b n }的前n 项和T n ＝(－1)n n .
考点一 等差、等比数列的基本运算
1．等差数列的通项公式及前n 项和公式 a n ＝a 1＋(n －1)d ；
S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2
d .
2．等比数列的通项公式及前n 项和公式 a n ＝a 1q n －
1(q ≠0)；
S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q
＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).
[对点训练]
1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 [解析] 等差数列{a n }中，S 6＝
(a 1＋a 6)×6
2
＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5， 又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8， 得d ＝4，故选C. [答案] C
2．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
[解析] 由题意可知，由上到下灯的盏数a 1，a 2，a 3，…，a 7构成以2为公比的等比数列，∴S 7＝a 1(1－27)1－2
＝381，∴a 1＝3.故选B.
[答案] B
3．(2017·湖北省武汉市武昌区高三调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( )
A ．－2
B ．－1 C.12 D.23
[解析] 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×3
2
a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.
[答案] B
4．(2017·东北三校联考)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 5＝9，若数列{b n }满足b 1＝3，b n ＋1＝ab n ，则{b n }的通项公式为________．
[解析] 由题意可得等差数列{a n }的公差d ＝a 5－a 2
5－2＝2，所以a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1，
则b n ＋1＝ab n ＝2b n －1，b n ＋1－1＝2(b n －1)，又因为b 1－1＝2，所以数列{b n －1}是首项为2、公比为2的等比数列，所以b n －1＝2n ，b n ＝2n ＋1.
[答案] b n ＝2n ＋1
等差(比)数列的运算注意两点
(1)在等差(比)数列中，首项a 1和公差d (公比q )是两个最基本的元素．
(2)在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．
【易错提醒】 等比数列前n 项和公式中若不确定q 是否等于1应分q ＝1或q ≠1两种情况讨论．
考点二 等差、等比数列的性质
[对点训练]
1．(2017·广州六校联考)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝99
2，则a 12的值是( )
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
[解析] 因为a 7＋a 9＝2a 8＝16，所以a 8＝8.
因为S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝11a 6＝992，所以a 6＝9
2，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝
a 8＋4d ＝15，故选A.
[答案] A
2．(2017·太原模拟)已知等比数列{a n }满足a 1＝1
4，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )
A ．2
B ．1 C.12 D.1
8
[解析] 由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)， 解得a 4＝2.又a 1＝14，所以q 3＝a 4
a 1＝8，即q ＝2，
故a 2＝a 1q ＝14×2＝1
2.
[答案] C
3．(2017·合肥模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝1，S 10＝3，则S 15的值是________．
[解析] ∵数列{a n }是等比数列，∴S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，∴(S 10－S 5)2＝S 5·(S 15
－S 10)，4＝1×(S 15－3)，得S 15＝7.
[答案] 7
[探究追问] 3题中条件不变，如何求S 100的值？
[解析] 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 5＝1，S 10＝3，所以S 100可表示为等比数列1,2,4，…的前20项和，故S 100＝1×(1－220)
1－2
＝220－1.
[答案] 220－1
等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．
考点三 等差、等比数列的判定与证明
1．证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法 (1)利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数； (2)利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． 2．证明数列{a n }是等比数列的两种基本方法 (1)利用定义，证明a n ＋1
a n (n ∈N *)为一常数；
(2)利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)．
[解] (1)证明：由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3. 由S n ＋1＝4a n ＋2①
知当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1) 又∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，
∴{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34
， ∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为3
4的等差数列．
∴a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －1
4， a n ＝(3n －1)·2n －2.
等差、等比数列的判定与证明应注意的两点
(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n 项和公式，但不能作为证明方法．
(2)a n ＋1a n
＝q 和a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)都是数列{a n }为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．
[对点训练]
若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12
.
(1)求证：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 成等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式．
[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1
S n －1
＝2，
又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n ，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －1
2(n －1)
＝
n －1－n
2n (n －1)＝－1
2n (n －1)
.
当n ＝1时，a 1＝1
2
不适合上式．
故a n
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1
2
，n ＝1，－1
2n (n －1)，n ≥2.
热点课题11 函数与方程思想在数列中的应用
[感悟体验]
1．(2017·西安统测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝13，S 3＝S 11，则S n 的最大值为( )
A ．49
B ．28
C ．－49或－28
D ．28或49
[解析] 由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数性质，知当n ＝7时，S n 最大，且最大值为49.
[答案] A
2．(2017·河南郑州二中期末)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3
(n ∈N *)的最小值为( )
A ．4
B ．3
C ．23－2 D.9
2
[解析] ∵a 1＝1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴(1＋2d )2＝1＋12d .得d ＝2或d ＝0(舍去) ∴a n ＝2n －1，
∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，
∴2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2
.令t ＝n ＋1， 则2S n ＋16a n ＋3
＝t ＋9t －2≥6－2＝4当且仅当t ＝3，
即n ＝2时，∴2S n ＋16
a n ＋3的最小值为4.故选A.
[答案] A。