二次函数知识点总结及相关典型题目(教用)甄选

二次函数知识点总结及相关典型题目(教用)（优选.）
二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分 基础知识
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.
2.二次函数2ax y =的性质
（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.
（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.
①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；
②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为
2ax y =）
（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.
4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中a
b a
c k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；
②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0
<a 时，开口向下；
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a
相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422
--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为
()k h x a y +-=2
的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称
图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，
对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到
万无一失.
9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c
bx ax y ++=2的对称轴是直线
a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a
b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b
（即a 、b 异号）时，对
称轴在y 轴右侧.
（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交
点（0，c ）：
①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,
与y 轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在
y 轴右侧，则 0<a
b . 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通
常选择一般式.
（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择
顶点式.
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点
式：()()21x x x x a y --=.
12.直线与抛物线的交点
（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).
（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交
点(h ,c bh ah ++2).
（3）抛物线与x 轴的交点
二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、
2x ，是对应一元二次方程02=++=∆c bx ax 的两个实数根.抛物
线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别
式判定：
①有两个交点⇔04b 2>-=∆ac ⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.
（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交
点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是
k c bx ax =++2的两个实数根.
（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()
02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 c bx ax y n
kx y ++=+=2的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x
轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的
两个根，故
a
c x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=
-=44422
2122122121 第二部分 典型习题
１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ D ）
A.（2，－2）
B.（1，－2）
C.（1，－3）
D.（－1，－3）
２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）
Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0
第２,３题图 第4题图 ３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ）
A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0
B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0
C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0
D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
４.如图，已知中，BC=8，BC 上的高，D 为BC 上一点，
，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到
BC 的距离为，则
的面积关于的函数的图象大致为
（ Ｄ ）
2482,484
EF x EF x y x x -=⇒=-∴=-+
５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．
6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2
x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、
2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x k
－＝，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．
7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛
物线的解析式为()c x b x y ++-=102.
（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；
（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式.
解：（1）102-=x y 或642--=x x y
将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24
b b b +++-，由题意得21016100224
b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-. （2）22--=x y
8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二
次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．
（1）求此二次函数的解析式；
第9题
（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.
解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a
故所求的解析式为:322--=x x y .
（2)函数图象如图所示.
由图象可得，当输出值y 为正数时，
输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．
9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且
在这四天中每昼夜的体温变化
情况相同．他们将一头骆驼前
两昼夜的体温变化情况绘制成
下图．请根据图象回答： ⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体
温从最低上升到最高需要多少时间?
⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?
⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到
22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解
析式．
解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的
体温是上升的
它的体温从最低上升到最高需要12小时
⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃ ⑶()221024216
12≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334
(2+++=x a ax y 与x 轴
交于A 、
B 两点，与y 轴交于点
C ．是否存在实
数a ，使得
△ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由．
解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．
设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0）， 由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，a x 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a 34-，0）． ∴ |334|+-=a
AB ，522=+=OC AO AC ，
=+=22OC BO BC 224|34|+-a
． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=a
a a a a AB ， 252=AC ，1691622+=
a BC ． 〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BC AC AB +=， 得)16916(259891622++=+-a
a a ． 解得 41
-=a ．
∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），9
6252=AB ，252=AC ，94002=BC ． 于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=a a a ． 解得 94=a ．
当94
=a 时，39
43434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题
意．
〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°． 由222AB AC BC +=，得
)98
916(25169162
2+-+=+a a
a ． 解得 9
4=a ．不合题意．
综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当4
1
-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.
（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB
m 的值；
（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.
解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根.
∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;
又AB ＝∣x 1 — x 2
∴m 2－4m ＋3=0 .
解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,
∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②
①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N. ∴2a m =±- .
这时M 、N 到y 2m - 又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×1
2
×（2－m 2m - ∴解得m=－7 .
12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； （2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：
（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2．
∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），
∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．
（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0），
∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线
a ax ax y 342＋＋＝ 上，
∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．
∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(2
1＝OD CD AB ⋅+．∴
93)42(2
1
＝＋a ． ∴ a ±1．
∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或
342---ax x y ＝．
（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，
00＜y ，
且
2
5
00
＝x y ．∴ 0025x y ＝－．
①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，
∴3402
00＋＋＝x x y ．
解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧'-'．＝，＝452
100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（2
1
-，4
5）．
设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小．
∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小．
∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
.23,2
1＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2
321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得
2
1＝y ．
∴ 点P 坐标为（－2，2
1
）．
②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．
解方程组⎪⎩⎪⎨
⎧---.
34,250200
00x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 02
0＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．
综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，2
1
），使△APE 的周长最小． 解法二：
（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），
∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴
a ax ax y 342＋＋＝．
令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．
（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线
a ax ax y 342＋＋＝上，
∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．
∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(2
1
＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3．
∴ 33＝a ．∴ a ±1．
∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．
（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． ∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ． 由PF ∥EQ ，可得
EQ
PF BQ BF ＝
．∴ 4
5251PF
＝．∴ 2
1
＝PF ．
∴ 点P 坐标为（－2，2
1
）． 以下同解法一．
13.已知二次函数的图象如图所示．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．
（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．
解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ， ∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ．
其顶点M 的坐标是⎪⎭
⎫ ⎝⎛-492
1，
． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.2
1
4920b k b k ，
．解得23=k ，3-=b ． ∴ 线段BM 所在的直线的解析式为32
3
-=x y ．
∴
32
3-=
t h ，其中
22
1
<<t ．∴
t t s )3322(212121-++⨯⨯=
12
1
432+-=t t ． ∴ s 与t 间的函数关系式是12
14
3
2+-=t t S ，自变量t 的取值范围是22
1<<t ．
（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭
⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭
⎫
⎝⎛-452
32，
P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ．
222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．
分以下几种情况讨论：
i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.
5)1()2(22
2222n m n m m m n ，
解得：2
5
1=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭
⎫
⎝⎛47251，P ．
ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.
5)2()1(22
2222n m n m m m n ，
解得：02
343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭
⎫
⎝⎛45232，－P ．
iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边
AC 的对角∠APC 不可能是直角．
（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个
顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），
以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边
AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭
⎫
⎝⎛-52
51，，
F ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-585
4，．
图a 图b
14.已知二次函数2
2－
y的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数
＝ax
的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．
解：根据题意，得a－2＝－1.
∴ a＝1．∴这个二次函数解析式是2
2
y＝．
x
因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x轴有两个交点．
15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶
11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．
（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际
桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）．
解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 10
9
2＋
＝ax y ． 因为点A （2
5-，0）（或B （
2
5
，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得125
18＝－a ．
因此所求函数解析式为)2
5
25(109125182≤≤-x x y ＋＝－
． （2）因为点D 、E 的纵坐标为
209， 所以10
9
125182092＋－
x =，得24
5
±
＝x ． 所以点D 的坐标为（245－
，20
9），点E 的坐标为（245，
20
9）． 所以2
2
5)245(245＝
－＝
-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为 385227501.0110002
2
5≈⨯⨯＝（米）．
16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠
0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．
（1）a 、c 的符号之间有何关系?
（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的
比例中项，试证
a 、c 互为倒数；
（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值． 解:
（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．
（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则
210x x ＜＜．
∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．
据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ a
c x x =⋅21． 由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c a c
＝＝．
所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．
（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a
a b x x ，∴ a ＞0．
解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，
∴ a a ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==－． ∵ 34=AB ， ∴ 3432＝a
．得21=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，a
a a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝， ∴ a x 321-＝，a
x 322+＝． ∴ a a a x x OA OB AB 32323212＝－－＝
－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴ 3432＝a
，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点．
（1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；
（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：
（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．
解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．
∵ A 、B 是直线333+-
=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是
的中点． ∴ EC ⊥OA ．
∴ 232,2321====OB EN OA ON ．
连结OE ．∴ 3=
=OE EC ． ∴ 23
=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标
为（23,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．
∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 39
2=a ． ∴ x x y 8
3293
22-=为所求． （3）∵ 33
tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°．
由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602
121ABO OBD ． ∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2．
∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．
∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．
∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ．
即直线PA是⊙E的切线．
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