2019年湖北省孝感市综合高级中学高三数学文联考试卷含解析

2019年湖北省孝感市综合高级中学高三数学文联考试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数
C．一定是奇函数 D．一定是偶函数
参考答案：
D
【知识点】正弦函数的奇偶性；三角函数的最值．C3
解析：（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值
图象左移一个单位，是偶函数，即f（x+1）是偶函数，所以判定A、B、C是错误的．
故选D．
【思路点拨】由题意根据图象平移可以判定A、B、C是错误的，验证D即可．
2. 已知i是虚数单位，复数=（）
A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
参考答案：
A
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：复数===2+i，
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3. （5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）
A． B． C． D． 7
参考答案：
A
【考点】：由三视图求面积、体积．
空间位置关系与距离．
【分析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，分别计算体积后，相减可得答案．
解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，
正方体的棱长为2，故体积为：2×2×2=8，
三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，故体积为：
××1×1×1=，
故几何体的体积V=8﹣=，
故选：A
【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
4. 已知函数f（x）=2cos（x+φ）图象的一个对称中心为（2，0），且f（1）＞f （3），要得到函数，f（x）的图象可将函数y=2cos x的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
参考答案：
C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】结合条件利用余弦函数的图象和性质求得ω和φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）=2cos（x+φ）图象的一个对称中心为（2，0），
∴+φ=kπ+，k∈Z，
故可取φ=﹣，f（x）=2cos（x﹣），满足f（1）＞f（3），
故可将函数y=2cos x的图象向右平移个单位，得到f（x）=2cos（x﹣）的图象，
故选：C．
5. 已知集合，则（）
A． B． C .D．
参考答案：
C
6. 设，则
＝（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
7. 已知数列满足，则=
A．－1 B．－2 C．－3 D．1－log340
参考答案：
C
8. （5分）（2015?青岛一模）已知点G是△ABC的外心，，，是三个单位向量，
且2++=，如图所示，△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，则G点的轨迹为（）
A．一条线段 B．一段圆弧
C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
参考答案：
B
【考点】：轨迹方程．
【专题】：计算题；直线与圆．
【分析】：确定点G是BC的中点，△ABC是直角三角形，∠A是直角，BC=2，根据△ABC 的顶点B、C分别在x轴和y轴的非负半轴上移动，即可得出结论．
解：∵点G是△ABC的外心，且2++=，|
∴点G是BC的中点，△ABC是直角三角形，∠A是直角
∵，，是三个单位向量，
∴BC=2
∵△ABC的顶点B、C分别在x轴和y轴的非负半轴上移动
∴G的轨迹是以原点为圆心1为半径的圆弧，
故选：B．
【点评】：本题考查向量在几何中的应用，解题的关键是判断三角形的形状，属于中档题．
9. 已知i为虚数单位，复数z=（1+2i）i对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
B
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z对应点的坐标得答案．
【解答】解：∵z=（1+2i）i=2i2+i=﹣2+i，
∴复数z=（1+2i）i对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限．
故选：B．
10. 集合，，则（）
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设复数（其中为虚数单位），则复数的实部为，虚部为．
参考答案：
2，1
12. 已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为_______．
参考答案：
13. 已知函数的定义域为,则函数的定义域为
参考答案：
（0，1/2）
略
14. 若向量满足且则向量的夹角为__________.
参考答案：
15. 已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是
参考答案：
由题意可知方程组为，解得。

16. 从名男生和名女生中选人，分别从事项不同的工作，若这人中至少有名女生，则选派方案共有种。

（用数字作答）
参考答案：
17. 甲、乙两人独立解同一个问题，甲解出这个问题的概率是，乙解出这个问题的概率是，那么恰好有一人解出这个问题的概率是．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知点A为圆上任意一点，点，线段AC的中垂线交AB 于点M.
（1）求动点M.的轨迹方程；
（2）若动直线l与圆相切，且与动点M的轨迹交于点E、F，求面积的最大值（O为坐标原点）.
参考答案：
（1）；
（2）.
【分析】
（1）由题意可得则由椭圆的定义可得轨迹方
程.
（2）先考虑动直线斜率存在时，设为y=kx+m与椭圆方程联立，由直线l与圆O相切，利用根的判别式求出k与m的关系，由弦长公式、三角形面积公式，结合换元法利用二次函数求最值的方法能求出△OEF面积的最大值，再考虑斜率不存在时，可直接求得点的坐标，求得面积，比较后得到结论．
【详解】（1）由题知，
的轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为.
（2）①当的斜率存在时.设的方程为
由得:
可得与圆相切，
从而，
令，得
.
当且仅当即时取等号.
.
②当的斜率不存在时.易得的方程为或.此时
.
由①②可得:的最大值为.
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积公式及最值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．
19. 已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．
（1）求证：f（x）≥5；
（2）若对任意实数x，15﹣2f（x）＜a2+都成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于f（x）的分段函数，从而求出f（x）的最小值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出a的范围即可．
【解答】（Ⅰ）证明：∵，
∴f（x）的最小值为5，∴f（x）≥5．…
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：15﹣2f（x）的最大值等于5．…
∵，
“=”成立，即，
∴当时，取得最小值5．
当时，，
又∵对任意实数x，都成立，
∴．∴a的取值范围为．…
20. 已知函数．
（1）设x＝2是函数f（x）的极值点，求m的值，并求f（x）的单调区间；（2）若对任意的x∈（1，＋∞），f（x）＞0恒成立，求m的取值范围．
参考答案：
（1）（x＞0），．因为x＝2是函数，f（x）的极值点，
所以，故．
令，
解得或x＞2．
所以f（x）在（0，）和（2，＋∞）上单调递增，在（，2）上单调递减．
（2），
当m≤1时，f′（x）＞0，则f（x）在（1，＋∞）上单调递增，
又f（1）＝0，所以恒成立；
当m＞1时，易知在（1，＋∞）上单调递增，
故存在x0∈（1，＋∞），使得f′（x0）＝0，
所以f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增，
又f（1）＝0，则f（x0）＜0，这与f（x）＞0恒成立矛盾．
综上，m≤1．
21. 设函数和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有
成立，称函数与在上互为“函数”.
（1）函数与在上互为“函数”，求集合；
（2）若函数(与在集合上互为“函数”,求证：；
（3）函数与在集合且，上互为“函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式.
参考答案：
（1）由得化简得，，或
解得或，，即集合
(若学生写出的答案是集合的非空子集，扣1分，以示区别。

)（2）证明：由题意得，（且）变形得，，由于且因为，所以，即
（3）当，则，由于函数在上是偶函数
则所以当时，
由于与函数在集合上“ 互为函数”
所以当，恒成立,对于任意的()恒成立,即
所以,即
所以,当（）时,
所以当时，
………2分
略
22. 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求sinα的值．
参考答案：
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】计算题．
【分析】（1）由题意推出∠BAC=120°，利用余弦定理求出BC=28，然后推出渔船甲的速度；
（2）方法一：在△ABC中，直接利用正弦定理求出sinα．
方法二：在△ABC中，利用余弦定理求出cosα，然后转化为sinα．
【解答】解：（1）依题意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α．
在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC
=122+202﹣2×12×20×cos120°=784．
解得BC=28．
所以渔船甲的速度为海里/小时．
答：渔船甲的速度为14海里/小时．
（2）方法1：在△ABC中，因为AB=12，∠BAC=120°，BC=28，∠BCA=α，
由正弦定理，得．
即．
答：sinα的值为．
方法2：在△ABC中，因为AB=12，AC=20，BC=28，∠BCA=α，
由余弦定理，得．
即．
因为α为锐角，所以=．
答：sinα的值为．
【点评】本题是中档题，考查三角函数在实际问题中的应用，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力．。