2021年广东省佛山市高明第四高级中学高三数学文联考试卷含解析

2020-2021学年广东省佛山市高明第四高级中学高三数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知定义在R上的函数满足：且，
，则方程在区间[-5，1]上的所有实根之和为
(A) -5 (B) -6 (C) -7 (D) -8
参考答案：
C
略
2. 如果存在正实数，使得为奇函数，为偶函数，我们就称函数为“Θ函数”．现给出下列四个函数：①②
③④．其中“Θ函数”的个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
参考答案：
B
3. ①命题“”是真命题②命题“”是假命题
③命题“”是真命题④命题“”是假命题
其中正确的是（）
A、②④
B、②③
C、③④
D、①②③
参考答案：
B
4. 为了得到的图象，可以把的图象 ( )
A．向右平移1 个单位 B．向左平移1个单位.
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
参考答案：
D
5. 函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）
A.[6K-1，6K+2](K∈Z)
B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)
C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)
D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)
参考答案：
B【知识点】函数的图像与性质. C4
解析：由图可得,又最低点
B(2,-2),所以，因为0≤φ≤π，所以
，即，解不等式得
f（x）的递增区间是[6k-4,6k-1] (K∈Z).故选B.
【思路点拨】先根据图像求得函数解析式，再利用正弦函数的单调区间求f（x）的递增区间.
6. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：
①若，，则；
②若//，，则m //；
③若，，，则；
④若，，，则．
其中正确命题的序号是
(A) ①③(B) ①②(C)③④(D) ②③
参考答案：
D
略
7. 与椭圆共焦点且过点P的双曲线方程是：
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
8. 已知i是虚数单位，若，则z＝（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
9. 函数在的图像大致为( )
参考答案：
A 10. 已知命题p：?x∈R，9x2－6x＋1>0；命题q：?x∈R，sin x＋cos x＝，则（）
A p是假命题 B．q是真命题
C．p∨q是真命题 D．p∧q是真命题
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数在R上是减函数，则实数
取值集合是
参考答案：
12. 在△ABC中，已知,，BC边上的中线，则________．
参考答案：
【分析】
根据图形，由中线长定理可得：，再利用余弦定理可得：
解得的值，再次利用余弦定理求解出，根据同角三角函数关系解得．
【详解】解：如图所示，
由中线长定理可得：，
由余弦定理得到：
，即．
联立成方程组，
解得：，
故
由可得，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了余弦定理的知识，方程思想是解决本题的关键.
13. 甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到四个不同岗位服务，每个岗位至少有
一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是
．
参考答案：
14. 在一段线路中有4个自动控制的常用开关A 、B 、C、D，如图连接在一起。

假定在2019年9月份开关A，D能够闭合的概率都是0.7，开关B，C能够闭合的概率都是0.8，则在9月份这段线路能正常工作的概率为
参考答案：
0.9676
15. 在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意取两个，则编号的和是奇数的概率为（结果用最简分数表示）.
参考答案：
从袋中任意取两个球，共有种。

若编号为奇数，则有种，所以编号的和是奇数的概率为。

16. 给出下列命题：
（1）在△ABC中，若A＜B，则sinA＜sinB；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数y=sin2x的图象；
（3）在△ABC中, 若AB=2,AC=3,∠ABC=,则△ABC必为锐角三角形;
（4）在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；
其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号)。

参考答案：
（1）（3）（4）
17. 已知对任意实数，有.若，则
________.
参考答案：
考点：二项式定理
【方法点睛】赋值法研究二项式的系数和问题
“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分IO分）选修4-5:不等式选讲
设f(x)=｜x＋1｜一｜x－2｜.
（I）若不等式f(x)}≤a的解集为．求a的值；
（II）若R. f(x)十4m＜m2，求m的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）f(x)＝其图象如下：
…3分
当x＝时，f(x)＝0．
当x＜时，f(x)＜0；当x＞时，f(x)＞0．
所以a＝
0．
…6分
（Ⅱ）不等式f(x)＋4m＜m2，即f(x)＜m2－4m．因为f(x)的最小值为－3，所以问题等价于－3＜m2－4m．
解得m＜1，或m＞3．
故m的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋
∞)．…10分
19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA = 2，AD = DC = 1，点E在SD上，且AE⊥SD。

（1）证明：AE⊥平面SDC；
（2）求三棱锥B—ECD的体积。

参考答案：
（1）见解析；（2）1/15
(Ⅰ)证明：侧棱底面，底面
. ……………………….1分
又底面是直角梯形，垂直于和
,又
侧面,……………………….3分
侧面
平面……………………….5分
(Ⅱ)
……7分
在中
，
……9分
又因为，
所以点B到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离AE……11分
所以
……12分
20. 已知函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数，讨论的单调性.
参考答案：
(1)有题意得，所以.
又因为，其切线方程为，即.
(2)，
则，令，得，，
①当时，恒成立，所以在上递增；
②当时，令，得或.
即在，上递增，在递减，
③当时，在，上递增，在递减.
21. 已知函数（其中）.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意的，关于x的不等式恒成立，求a的取值范围. 参考答案：
解：（1）的定义域为
（i）若，则.由得或；由得
在上单调递增，在上单调递减；
（ii）若，则在上单调递增；
（iii）若，则，由得或；由得
在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，（i）若，
当时，即时，在上单调递增，在上单调递减.
，故对不恒成立；
当时，即时，在上单调递增，
（ii）若在上单调递增，则，故；
综上所述，的取值范围为.
22. 已知抛物线上相异两点，，.
⑴若的中垂线经过点，求直线的方程；
⑵若的中垂线交轴于点，求的面积的最大值．
参考答案：
解：⑴设的中点，则
：…………3分令，，则
…………5分：即：………… 6分
⑵：
令，则
即
：即
…………8分
联立，得
…………11分
…………12分令，则
，
令
当时，………… 15分略。