2.3.3直线与平面垂直的性质

讨论
l
α β
垂直于同一条直线的两个平面平行
讨论
6. 已知直线 ⊥平面 ,垂足为 ，直线 已知直线l 平面α 垂足为 垂足为A， AP⊥l. AP与α 关系如何 ⊥ 与 关系如何?
β
l P M
α
A
练习
1. 设a、b为两相交直线，已知 ⊥α,a⊥b， 为两相交直线， 、 为两相交直线 已知a⊥ ⊥ ， b在平面 外， 在平面α外 在平面 求证：b∥α. 求证： ∥
讨论
1. 设a、b为直线，α为平面，若a⊥α， 为直线， 为平面 为平面， 、 为直线 ⊥ ， b∥α，则a与b的位置关系如何？为什么？ 的位置关系如何？ ∥ ， 与 的位置关系如何 为什么？
a b α β c
讨论
2. 设a、b为直线 为平面 若a⊥α, 为直线,α为平面 、 为直线 为平面,若 ⊥ a∥ b ,则b与α的位置关系如何？为什么？ 的位置关系如何？ ∥ 则 与 的位置关系如何 为什么？ 如何用文字语言表述这个结论？ 如何用文字语言表述这个结论？
a b
α
c
如果两条平行线中的一条垂直于一个 平面， 平面，则另一条也垂直于这个平面
举例
求证:如果两条平行直线中的一条垂直 例2. 求证 如果两条平行直线中的一条垂直 于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面 那么另一条也垂直于这个平面. 于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面
证明：设 m α内的任意一条直线． 证明： 是 内的任意一条直线．
l
α β
如果一条直线垂直于两平行平面中的 一个,则这条直线也垂直于另一个平面 则这条直线也垂直于另一个平面. 一个 则这条直线也垂直于另一个平面
5. 设l为直线，α、β为平面 若l⊥α, l⊥ 为直线， 、 为平面 为平面,若 ⊥ ⊥ 为直线 β ，则α、β的位置关系如何？为什么？如 的位置关系如何？ 、 的位置关系如何 为什么？ 何用文字语言表述这个结论？ 何用文字语言表述这个结论？
直线与平面 垂直的性质
复习
1. 直线和平面垂直的定义如何？ 直线和平面垂直的定义如何？
如果一条直线和一个平面相交,并且 如果一条直线和一个平面相交 并且 和这个平面内的任意一条直线都垂直,则 和这个平面内的任意一条直线都垂直 则 这条直线和这个平面垂直.其中直线叫 称这条直线和这个平面垂直 其中直线叫 平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点 平面叫做直线的垂面 做平面的垂线 平面叫做直线的垂面 交点 叫做垂足 垂足. 叫做垂足 l
A B
D α P
C
∵ 证明： 证明： AD ⊥ α，BC ⊥ α ∴ AD // BC，AD ⊥ DC ∵ AB // α，DC是平面 ABCD与平面 α的交线 ∴ AB//CD ∵ PA ⊥ AB ∴ PA ⊥ CD 又AD ⊥ DC ∴ CD ⊥ 平面PAD
作业
P81 练习 6，7. ，
思考题
α A
2. 直线和平面垂直的判定定理
l
α
如果一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直，那么这条直线垂直于 相交直线都垂直， 这个平面. 这个平面.
举例
在空间四边形ABCD中， 例1 在空间四边形 中 AB=BC=CD=DA，求证：AC⊥BD. ，求证： ⊥
A
D E B C
思考
线面垂直的判定定理解决了线面垂直 的条件；反之， 的条件；反之，在直线与平面垂直的条 件下，能得到哪些结论？ 件下，能得到哪些结论？
a ⊥α ⇒ a ⊥ m m ⊂ α ⇒ b ⊥ m ⇒b ⊥ α a // b m ⊂ α
a a// 已知： 已知： ⊥α， b ． 求证： 求证： ⊥α ． b
定义方法判定
讨论
3. 设a、b为直线，α为平面，若a⊥α， 为直线， 为平面 为平面， 、 为直线 ⊥ ， b⊥α ，则直线 、b的位置关系如何？为什 则直线a、 的位置关系如何 的位置关系如何？ ⊥ 么？如何用文字语言表述这个结论？ 如何用文字语言表述这个结论？
证明： ∵ 证明： AB ⊥ AC且AB ⊥ AD ∴ AB ⊥ 平面ACD ∵ E、F分别为 BC、AC的中点 ∴ EF//AB ∴ EF ⊥ 平面ACD
A F E C
B
D
练习
3. 如图，AB∥α，AD⊥α，BC⊥α，垂足 ， ⊥ ， 求证： ⊥平面PAD. 求证：CD⊥平面
△ABC中，∠ABC＝90O PA⊥平面 中 ＝ ⊥平面ABC， ， 垂足为A， 垂足为 ， AN⊥PB于N ⊥ 于 (1)求证 AN⊥平面 求证: 求证 ⊥平面PBC (2)若AM⊥PC于M， 若 ⊥ 于 ， 求证： ⊥平面AMN 求证：PC⊥平面
P N A B C
β a b c
α
证明： 证明：过直线 a ， b 做平面 β ， 与 α 相交于直线 c ∵a ⊥ α ∴a ⊥ c ∵ a ⊥ b 且 b ， c在平面 β 内 ∴ b // c ∴ b // α
练习
2. 在四面体 在四面体ABCD中，E、F分别是 、 分别是BC、 中 、 分别是 AC的中点，已知，AB ，AC、AD两两互 的中点， 的中点 已知， 、 两两互 相垂直，求证： ⊥平面ACD. 相垂直，求证：EF⊥平面
a b c P
α
垂直于同一平面的两直线平行. 垂直于同一平面的两直线平行
讨论
4. 设l为直线，α、β为平面 若l⊥ α , 为直线， 、 为平面 为平面,若 ⊥ 为直线 α ∥β ，则l与β的位置关系如何？为什么？ 的位置关系如何？ 与 的位置关系如何 为什么？ 如何用文字语言表述这个结论？ 如何用文字语言表述这个结论？