株洲市第二中学数学高一下期中经典题(课后培优)

一、选择题
1．(0分)[ID ：12424]圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离
为（ ）
A ．1
B ．221-
C ．22
D ．2 2．(0分)[ID ：12399]设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，
若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )
A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．[]0,1
D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
3．(0分)[ID ：12381]对于平面、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( ) A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥
B ．若//,a b b α⊂,则//a α
C ．若//,,,a b αβαγβγ==则//a b
D ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα
4．(0分)[ID ：12377]<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．8π
B ．12π
C ．20π
D ．24π 5．(0分)[ID ：12375]直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为
4，则实数a 的值是（ ）
A ．－3
B ．－4
C ．－6
D ．36-
6．(0分)[ID ：12356]在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A ．12
B ．12
- C 3D ．3 7．(0分)[ID ：12353]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，
(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．2B ．32C 322D ．228．(0分)[ID ：12394]如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q
为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．(0分)[ID ：12392]设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题： ①m αβ=，////n m n α⇒，//n β
②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；
③//αβ，//m m αβ⊂⇒；
④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒
其中正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．(0分)[ID ：12391]已知点()1,2-和3,0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )
A ．,43ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11．(0分)[ID ：12367]如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )
A ．a
B ．2a
C 2a
D ．22
a 12．(0分)[ID ：12403]如图在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点. 设点
P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sinα的取值范围是( )
A ．[√33,
1] B ．[√63
,1] C ．[√63,2√23] D ．[2√23
,1] 13．(0分
)[ID ：12402]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．
的是( )
A ．MN 与1CC 垂直
B ．MN 与A
C 垂直 C ．MN 与B
D 平行
D ．MN 与11A B 平行 14．(0分)[ID ：12380]如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何
体的表面积是（ ）
A ．20＋3π
B ．24＋3π
C ．20＋4π
D ．24＋4π
15．(0分)[ID ：12334]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1
AF FA 的值为( )
A ．1
B ．12或2
C ．22或2
D ．13
或3 二、填空题
16．(0分)[ID ：12477]已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ
＝l ，现有下列结论：
①l ∥平面ABCD ；
②l ⊥AC ；
③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直；
④当x 变化时，l 不是定直线.
其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)
17．(0分)[ID ：12460]正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1CC 上的动点，Q 为1BD 上的动点，则线段PQ 的长度的最小值为______.
18．(0分)[ID ：12523]已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，
224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．
19．(0分)[ID ：12510]若圆的方程为2223()(1)124
k
x y k +++=-，则当圆的面积最大时，
圆心坐标和半径分别为 、 ． 20．(0分)[ID ：12440]圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803，则圆台的侧面积为_____．
21．(0分)[ID ：12499]若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．
22．(0分)[ID ：12434]在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.
23．(0分)[ID ：12472]已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________.
24．(0分)[ID ：12453]在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________.
25．(0分)[ID ：12494]已知双曲线x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的半焦距为
c ，过右焦点且斜
率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y 2=4cx 的准线被双曲线截得的弦长是2√2
3be 2（e 为双曲线的离心率），则e 的值为__________．
三、解答题
26．(0分)[ID ：12602]如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，PA ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．
（1）证明：EF ∥平面PAB ；
（2）若二面角P －AD －B 为60°．
①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；
②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．
27．(0分)[ID ：12550]如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，12
BC AD =
，PA PD =，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．
（1）求证：//PA 平面MNB ；
（2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ．
28．(0分)[ID ：12613]如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，M ，N 分别是BC ，1CC 的中点.
（1）证明：平面AMN ⊥平面11B BCC ；
（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为30，试求三棱锥M ANC -的体积.
29．(0分)[ID ：12541]如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，1AB AA =，,M N 分别为AC ，11B C 的中点.
（1）求证：//MN 平面11ABB A ；
（2）求证：1AN A B ⊥.
30．(0分)[ID ：12532]如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A ＝6，M 是CC 1的中点．
(1)求证：A 1B ⊥AM ；
(2)求二面角B --AM--C 的平面角的大小．.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
2．B
3．C
4．C
5．A
6．A
7．B
8．A
9．B
10．D
11．D
12．B
13．D
14．A
15．B
二、填空题
16．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF则PQ∥平面MEF又平面MEF∩平面MPQ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC 故
17．【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段的长度的最小值转化为在平面上投影线段的最小值然后转化为点到直线的距离的最小值【详解】当平面时线段与其在平面上
投影相等当与平面不平行时是斜线段大于其在平面上
18．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB的中点OAC的中点E连OCOE则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关
19．【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大此时所以圆心为半径为1考点：圆的方程
20．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半
21．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与
22．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接
23．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力
24．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面
25．62【解析】试题分析：由题意得抛物线的准线为x=-c它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a所以2b2a=223be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=62
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.
【详解】
由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=，
圆心到直线的距离
d ==
所以圆上的点到直线的距离的最小值为1.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO OPQ PO
∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2
OPQ π
∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO ，即满足2PO ，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．
【详解】
由分析可得：22200PO x y =+
又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--
要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO
故22220
000103634PO x y y y ==+-+ 解得0825y ，0605x 即0x 的取值范围是6[0,]5，
故选：B ．
【点睛】
解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO ，从而得到不等式求出参数的取值范围． 3．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
若
由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有
错误； 若
此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面 外时,才有错误；
由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=，则//a b 为真命题, 正确；
若
此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相
交线时,才有//,D βα错误.
故选C.
考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系. 4．C
解析：C
【解析】
【分析】
先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.
【详解】
三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC 是直角三角形，且2ABC π
∠=，2223BC AC AB ∴-=PA ⊥平面ABC ，且PAC 是
直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==
++2025==，5R ∴=，
则球O 的表面积2420S R ππ==.
故选：C
【点睛】
本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可.
【详解】
由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-， 则圆心坐标为(1,1)-，半径1r a =-，
又由圆心到直线的距离为112
22d -++==，
所以由圆的弦长公式可得222(1)(2)4a --=，解得3a =-，故选A.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
6．A
解析：A
【解析】
如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，
则,MN BD NP AC ，
∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．
又由题意得PQ MQ ⊥，11,22
PQ AB MQ CD ==.
设2AB BC CD ===，则PM =
又1122
MN BD NP AC ==== ∴PNM ∆为等边三角形，
∴60PNM =︒∠，
∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为
12
．选A ． 点睛：
用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.
【详解】
由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -,
所以圆心为()0,0.=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值.
223416,故m =
故选：B
【点睛】
本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型. 8．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案．
【详解】
对于B 项，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ，
同理可证，C ，D 项中均有AB ∥平面MNQ .
故选：A.
【点睛】
本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】
对于选项①，,//m n m αβ⋂=不能得出,////n n αβ，因为n 可能在α或β内，故①错误；
对于选项②，由于,,m m αββα⊥⊥⊄，则根据直线与平面平行的判定，可得//m α，故②正确；
对于选项③，由于//αβ，m α⊂，则根据面面平行的性质定理可得//m β，故③正确； 对于选项④，由于,αβαγ⊥⊥，则,βγ可能平行也可能相交，故④错误.
故选：B
【点睛】
本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，考查学生的空间想象能力和推理判断能力.
10．D
解析：D
【解析】
设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B 3 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1). ()
121, 3.0130PA PB k k ---==-==--
∵点(1,−2)和(33
,0)在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧， ∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθ<3，tanθ≠0.
解得30,34
ππ
θθπ<<<<.
本题选择D 选项. 11．D
解析：D
【解析】
【分析】
设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.
【详解】
解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，
则ABEG 四点共面，
且平面1//A BGE 平面1B HI ，
又1//B F 面1A BE ，
F ∴落在线段HI 上，
正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，
1122HI CD a ∴==， 即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是
22
a ． 故选D ．
【点睛】
本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
设正方体的棱长为1，则A 1C 1=√2,A 1C =√3,A 1O =OC 1=√1+12=√32,OC =√12，所以cos∠A 1OC 1=
32+32−22×32=13,sin∠A 1OC 1=2√23，cos∠A 1OC =32+12−32×√32=−√33,sin∠A 1OC =
√63. 又直线与平面所成的角小于等于90∘，而∠A 1OC 为钝角，所以sinα的范围为[√6
3
,1]，选B. 【考点定位】
空间直线与平面所成的角. 13．D
解析：D
【解析】
【分析】
先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.
【详解】
如图：连接1C D ，BD ，
在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．
1CC ⊥平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；
AC BD ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；
∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.
14．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，
下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体， 故该几何体的表面积是
20＋3π，
故选A.
考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积. 15．B
解析：B
【解析】
【分析】
易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果.
【详解】
1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，
所以1BD CC ⊥，
又BA BC =，D 为AC 中点，
所以BD AC ⊥，又1AC CC C =，
所以BD ⊥平面11AAC C ，
1C F 平面11AAC C ，
所以1C F BD ⊥，
因为DF BD D =，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，
在四边形11AAC C 中，123
1AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，
由22211C D DF C F =+得()()2219143x x ⎡⎤+=+++-⎣⎦
， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =， 所以112AF FA =或者1
2AF FA =， 故选：B.
【点睛】
本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．
二、填空题
16．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF则PQ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC故解析：④
【解析】
【详解】
连接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，则PQ∥平面MEF，
又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，
∴l∥平面ABCD，故①成立；
又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；
∵l∥EF∥BD，故直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；
当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立．
即不成立的结论是④.
17．【解析】【分析】首先根据数形结合分析可
知线段的长度的最小值转化为在平面上投影线段的最小值然后转化为点到直线的距离的最小值【详解】当平面时线段与其在平面上投影相等当与平面不平行时是斜线段大于其在平面上
解析：22 【解析】
【分析】
首先根据数形结合分析可知线段PQ 的长度的最小值转化为PQ 在平面ABCD 上投影线段的最小值，然后转化为点到直线的距离的最小值.
【详解】
当//PQ 平面ABCD 时，线段PQ 与其在平面ABCD 上投影相等，
当PQ 与平面ABCD 不平行时，PQ 是斜线段，大于其在平面ABCD 上投影的长度， ∴求线段PQ 的最小值就是求其在平面ABCD 上投影的最小值，
点P 在平面ABCD 的投影是点C ，点Q 在平面ABCD 的投影在BD 上，
∴求线段PQ 的最小值转化为点C 到BD 的距离的最小值，
连接,AC BD ，交于点O ，AC BD ⊥，
∴点C 到BD 的距离的最小值22
CO =.
故答案为：
22
【点睛】 本题考查几何体中距离的最小值，意在考查空间想象能力和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.
18．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB 的中点OAC 的中点E 连OCOE 则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O 为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关 解析：323
π 【解析】
结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得在底面ACB ∆中，
90,22ACB AC BC ∠=︒==。

取AB 的中点O ，AC 的中点E ，连OC,OE 。

则
122
OA OB OC AB ====.
∵DA DC =,
∴DE AC ⊥.
∵平面BAC ⊥平面DAC ,
∴DE ⊥平面DAC ,
∴DE OE ⊥.
又11=2,222
DE AC OE BC === ∴222OD OE DE +=.
∴2OA OB OC OD ====.
∴点O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，球半径为2.
∴3432=233V ππ⨯=
球。

答案：323
π。

点睛：
（1）本题是一道关于求三棱锥外接球体积的题目，得到外接球的球心所在位置是解题的关键，结合题意取AB 的中点O ，易得OA=OB=OC=OD=2，进而可确定三棱锥外接球的半径，然后利用球的体积公式进行计算即可。

（2）对于折叠性问题，要注意折叠前后的两个图形中哪些量（位置关系、数量关系）发生了变化、哪些没发生变化。

19．【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大此时所以圆心为半径为1考点：圆的方程
解析：(0,1)-，1
【解析】
试题分析：圆的面积最大即半径最大，此时0k =()2
211x y ∴++=，所以圆心为(0,1)-半径为1
考点：圆的方程 20．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半 解析：360π
【解析】
【分析】
首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k ，下底半径为3k ，由因为母线与底面的夹角是60，得到母线长为2k ，高为3k .就可以根据轴截面的面积解出6k =，代公式求出侧面积即可.
【详解】
圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3
所以设圆台的上底半径为2k ，下底半径为3k ，
由于母线与底面的夹角是60，所以母线长为2k 3k . 由于轴截面的面积为1803，
所以()46332k k k +=6k =.
所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12.
所以圆台的侧面积为()121812360ππ+⨯=.
故答案为：360π
【点睛】
本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题. 21．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与
解析：4
【解析】
因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直
线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,2,
当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为
()()
2212a b ++-()2221832a -+≥所以切线长的最小值为()22(32)2-
=4. 故答案为4
点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.
22．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接 解析：43
π 【解析】
【分析】
根据题意可得，BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，得出PB 为三棱锥的最长边，PA AB ⊥，根据直角三角形的性质，PB 边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为PB .
【详解】
PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,
,,AC BC PA AC A BC ⊥=∴⊥平面PAC ，BC PC ⊥，
,,,,PB BC PB PC PA AC PC AC PC PA ∴>>⊥∴>>，
所以三棱锥中最长边为2PB =，
设PB 中点为O ，在,Rt PAB Pt PBC ∆∆中，
12
AO CO PB ==，所以三棱锥的外接球的球心为O ， 半径为41,3V π∴=
. 故答案为:
43
π. 【点睛】 本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应用，属于中档题.
23．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力
解析：28
【解析】
【分析】
由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可.
【详解】
由棱台的体积公式可得棱台的体积：
(()
1211416832833V S S h =⨯++⨯=⨯++⨯=.
故答案为：28．
【点睛】
本题主要考查棱台的体积公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
24．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面 解析：23 【解析】
【分析】
作出直线BE 和平面11ABB A 所成的角，解直角三角形求得线面角的正弦值.
【详解】
设F 为1AA 的中点，连接,,EF EB BF ，根据正方体的性质可知EF ⊥平面11ABB A ，所以EBF ∠是直线BE 和平面11ABB A 所成的角.设正方体的边长为2，在Rt EBF ∆中2EF =，2222213BE =++=，所以2sin 3EF EBF BE ∠=
=. 故答案为：23
【点睛】
本小题主要考查线面角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.
25．62【解析】试题分析：由题意得抛物线的准线为x=-c 它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a 所以2b2a=223be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=62
解析：√62 【解析】
试题分析：由题意，得抛物线的准线为x =−c ，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被双曲线截得的弦长为2b 2
a ，所以2
b 2a =2√23be 2，即b a =√23e 2，所以
，整理，得2e 4−9e 2+1=0，解得e =
√62或e =√3．又
过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，所以e =√62． 考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．
【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中a,b,c 的关系式，求值问题就是建立关于a,b,c 的等式，求取值范围问题就是建立关于a,b,c 的不等式．
三、解答题
26．
（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②
1111． 【解析】
试题分析：（1）要证明//EF 平面PAB ，可以先证明平面//EF MA ，利用线面平行的判定定理，即可证明//EF 平面PAB ；（2）①要证明平面PBC ⊥平面ABCD ，可用面面垂直的判定定理，即只需证明PB ⊥平面ABCD 即可；②由①BE ⊥平面PBC ，所以FEB ∠为直线EF 与平面PBC 所成的角，由3PB =ABP ∠为直角，即可计算,AM EF 的长度，在Rt EBF ∆中，即计算直线EF 与平面PBC 所成的角的正弦值． 试题解析：（1）证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM ．
因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝12
BC ．由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ． 又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形， 所以EF ∥AM ．又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB ．
（2）①证明：如图，连接PE ，BE ．
因为PA ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，
所以∠PEB 为二面角P －AD －B 的平面角．
在△PAD 中，由PA ＝PD 5AD ＝2，可解得PE ＝2．
在△ABD 中，由BA ＝BD 2，AD ＝2，可解得BE ＝1．
在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，由余弦定理，可解得PB 3
从而∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB ．
又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ．
又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD ．
②连接BF ．由①知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角． 由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角． 而MB ＝12PB ＝3，可得AM ＝11，故EF ＝11． 又BE ＝1，故在Rt △EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝211． 所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为
21111．
考点：直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．
【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据BE ⊥平面PBC ，可以确定FEB ∠为直线EF 与平面PBC 所成的角，可放置在Rt EBF ∆中，即计算直线EF 与平面PBC 所成的角的正弦值．
27．
（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）通过证明//NQ PA ，即可得到本题结论；
（2）由题，先证PM AD ⊥和AD MB ⊥，即可得到AD ⊥平面PMB ，由此即可得到本题结论.
【详解】
（1）连接AC 交MB 于Q ，连接,NQ MC ．
因为//AM BC ，12
AM AD BC ==， 所以四边形ABCM 是平行四边形，
所以Q 是AC 的中点．又N 是PC 的中点，
所以//NQ PA ，
因为NQ ⊂平面MNB ，PA ⊄平面MNB ，
所以//PA 平面MNB ；
（2）因为PA PD =，AM MD =，所以PM AD ⊥，
因为//MD BC ，MD BC =，
所以四边形BCDM 是平行四边形，
所以//MB DC ，因为=90ADC ∠︒，即AD DC ⊥，所以AD MB ⊥，
因为PM MB M ⋂=，,PM MB ⊂平面PMB ，
所以AD ⊥平面PMB ，又AD ⊂平面PAD ，
所以平面PAD ⊥平面PMB ．
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定与面面垂直的判定，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.
28．
（1）证明见解析（2 【解析】
【分析】
（1）先证明AM ⊥平面11BB C C ，即可由线面垂直推证面面垂直；
（2）根据线面角求得棱柱的高，即可由棱锥的体积公式求得结果.
【详解】
（1）证明：如图，由直三棱柱111ABC A B C -知1AM BB ⊥，
又M 为BC 的中点知AM BC ⊥，又1
BB BC B =，
所以AM ⊥面11B BCC ，
又AM ⊂平面AMN ，
所以平面AMN ⊥平面11B BCC .
（2）如图：设AB 的中点为D ，连接1A D ，CD .
因为ABC 是正三角形，所以CD AB ⊥.
由直三棱柱111ABC A B C -知1CD AA ⊥.
所以CD ⊥平面11A ABB ，所以1CA D ∠为直线1A C 与平面11A ABB 所成的角.
即130CA D ∠=︒， 所以13224432
A C CD ==⨯
=，所以16A D =， 在1Rt AA D △中， 221136442AA A D AD =-=-=111422222
AA NC =⨯== 三棱锥M ANC -的体积即为三棱锥N AMC -的体积，所以
2113146422332AMC S V NC ⎫⋅=⨯⨯⨯=⎪⎪⎝⎭=△. 【点睛】
本题考查由线面垂直推证面面垂直，以及由线面角求线段长，涉及棱锥的体积求解，属综合中档题.
29．
（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）取AB 的中点P ，连接1,PM PB ，通过中位线定理求证四边形1PMNB 是平行四边形，进而求证；
（2）连接1AB ，，设法证明11A B AB ⊥，111A B B C ⊥，进而证明1A B ⊥平面1AB N ，求得1A B AN ⊥.
【详解】
解：（1）如图，取AB 的中点P ，连接1,PM PB ，,M P 分别是,AC AB 的中点，。