线性代数课件6第三章向量空间

线性代数课件6第三章向量空间
第三章向量空间3.13.23.33.4n维向量概念及其线性运算线性相关与线性无关向量组的秩向量空间
3.1
n维向量概念及其线性运算
3.1.1n维向量及其线性运算3.1.2向量的线性组合
3.1.1n维向量及其线性运算定义3.1.1由n个数a1,a2,……,an组成的有序数组(a1,a2,……,an)称为一个n维向量，数ai称为该向量的第i个分量i=1,2,…,n
向量的维数指的是向量中分量的个数.向量写成一行(a1,a2,……,an)列向量写成一行(a1,a2,……,an)T列向量写成一列a1a2.an
行向量
用小写的黑体字母:α,β,某,y,…表示向量用带下标的白体字母:ai,bi,某i,yi,…表示向量1行、列不同不等：1,22
次序不同不等：
1,22,1
n维向量——矩阵定义一个n维行向量a1,a2,,an.可以定义为一个1n的矩阵
b1b2一个n维列向量bn
.
可以定义为一个n1的矩阵
既然向量是一个特殊的矩阵则：1.向量相等=矩阵相等2.零向量=零矩阵3.负向量=负矩阵4.向量运算=矩阵运算a1,a2,,ana1,a2,,an
几个定义(1)定义3.1.2
所有分量都是0的n维向量称为n维0向量记作：0=(0,0,…,0).向量α=(a1,a2,…,an)的所有分量都取相反数组成的向量，称为α负向量-α=(-a1,-a2,…,-an)如果n维向量α=(a1,a2,…,an)与n维向量
β=(b1,b2,…,bn)的对应分量都相等，即ai=bi,(i=1,2,…,n)则称向量α与β相等，记作α=β
定义3.1.3
几个定义(2)定义3.1.4(向量的加法)设n维向量
α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),则α与β的和是向量
α+βα+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);α与β的差是向量α-βα-
β=α+(-β)=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)
定义3.1.5(数与向量的乘法)设α=(a1,a2,…,an)是n维向量，k为一个数,则数k与α的乘积称为数乘向量，简称数乘，记作kα,并且
kα=(ka1,ka2,…,kan).约定：kα=αk.
线性运算律设α,β,γ都是n维向量，k,l是数，则
(1)α+β=β+α;(加法交换律)(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);(加法结合律)(3)α+0=α;(4)α+(-α)=0;(5)1某
α=α;(6)k(α+β)=kα+kβ;(数乘分配律)(7)(k+l)α=kα+lα;(数乘分配律)(8)(kl)α=k(lα).(数乘向量结合律)
例1设α=(2,1,3),β=(-1,3,6),γ=(2,-1,4).求向量2α+3β-γ.
解2α+3β-γ=2(2,1,3)+3(-1,3,6)-(2,-1,4)
=(4,2,6)+(-3,9,18)-(2,-1,4)=(-1,12,20).
例2设α=(1,0,-2,3),β=(4,-1,-2,3),求满足2α+3β+3γ=0向量γ.解γ=-1/3(2α+β)=-1
/3[2(1,0,-2,3)+(4,-1,-2,3)]=-1/3[(2,0,-4,6)+(4,-1,-2,3)]=-1/3(6,-1,-6,9)
=(-2,1/3,2,-3).练习习题3.1P862.(2)答案P184
解
某=3α-β=3(2,0,1)-(3,1,-1)=(6,0,3)-(3,1,-1)=(3,-1,4).
3.1.2向量的线性组合1.向量的线性组合2.向量的线性表出关系的几何解释3.线性组合的——矩阵表示法
4.表出系数的求法
1.向量的线性组合定义3.1.6设α1,α2,…,αm是一组n维向量，k1,k2,…,km是一组常数，则称k1α1+k2α2+…+kmαm为的一个线性组合.常数k1,k2,…,km称为该线性组合的组合系数.
若一个n维向量β可以表示成β=k1α1+k2α2+…+kmαm,
则称β是α1,α2,…,αm的线性组合，或称β可用
α1,α2,…,αm线性表出(线性表示).仍称k1,k2,…,km为该线性组合的组合系数，或表出系数显然，零向量可以用任意一组α1,α2,…,αm(同维向量)线性表出：0=0α1+0α2+…+0αm(k1=0,k2=0,…,km=0)零向量的平凡表出式表出系数全为0——必是0向量
向量组若干同维数的向量组成的集合——向量组m个向量
α1,α2,…,αm组成的向量组——记为R:α1,α2,…,αm或
R={α1,α2,…,αm}
例3:矩阵——向量组表示法
Aaija11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamjmn
a1na11,a12,,a1na2na21,a22,,a2nA的行向量组量m个n维行向ainai1,ai2,,ain(i1,2,,m)amnam1,am2,,amn
Aaij
mn
a11a21ai1am1
a12a22ai2am2
a1ja2j
aij
amj
a1na2nainamn
A的列向量组
a1ja11a12a1na2ja21a22a2naijai1ai2ainaaaam1m2mnmjn个m维列向量(j1,2,,n)
n维标准单位向量组Eaij100010nn
01,0,01第i个分量为其余
01,分量为00,1,,02i0,,0,1,0,,00i1,2,,n10,0,,1n。