数学中考数学压轴题知识点及练习题附解析

一、中考数学压轴题
1．已知：菱形ABCD，点E 在线段BC 上，连接DE，点F 在线段AB 上，连接CF、DF， CF 与DE 交于点G，将菱形ABCD 沿DF 翻折，点A 恰好落在点G 上．
（1）求证：CD=CF；
（2）设∠CED= x，∠DCF= y，求y 与x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（3）在（2）的条件下，当x=45°时，以CD 为底边作等腰△CDK，顶角顶点K 在菱形ABCD 的内部，连接GK，若GK∥CD，CD=4 时，求线段KG 的长．
2．我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN，分别交x轴和y轴于点M，N．点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）
（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，
OA＝2，OC＝1．
①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A，B，C．
②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为．
③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为．
（2）若ω＝120°，O为坐标原点．
①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝23，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．
②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（23，23），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是．
3．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．（1）如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为．
（2）如图3，当∠EPF＝90°，F P平分∠EFC时，求证：EP平分∠AEF；
（3）如图4，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
4．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”．
（1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”：
①个位上的数字是千位上的数字的两倍；
②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数；
（3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”．
例如：1423于4132为“相关和平数”
求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．
5．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”．
（1）①方程2280x x --= 半等分根方程（填“是”或“不是”）；
②若(1)()0x mx n -+=是半等分根方程，则代数式2252
m mn n ++= ； （2）若点(,)p q 在反比例函数8
x y =
的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程吗？并说明理由； （3）如果方程20ax bx c ++=是半等分根方程，且相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上，试说明方程20ax bx c ++=的一个根为53
． 6．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ．
（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；
（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由；
②若12,(33)2
ADH a S ==+，求sin GAB ∠的值．
7．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．
（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B -，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；
（2）若
O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范
围；
（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围．
8．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．
（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °
（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．
②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．
（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．
9．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．
（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；
（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若161A E EC =-，求n m 的值． （3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持
BE n BG m =，设AB=33，试探究点E 移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
10．如图，直角三角形ABC ∆中，90460ACB AC A ∠︒=∠︒＝，，＝，O 为BC 中点，将ABC ∆绕O 点旋转180︒得到DCB ∆．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿
A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥．
（1）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0<t<10)直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．
（2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在
BC 上以每秒3的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的P R 、，使BPR ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由．
11．问题背景：如图（1），ABC 内接于O ，过点A 作O 的切线l ，在l 上任取一个不同于点A 的点P ，连接PB PC 、，比较BPC ∠与BAC ∠的大小，并说明理由．
问题解决：如图（2），A （0，2）、B （0，4），在x 轴正半轴上是否存在一点P ，使得cos APB ∠最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
拓展应用：如图（3），四边形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥于D ，E 是AB 上一点，AE AD =，P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点，若8AB =，11CD =，tan 2C =，9DEP S =，求sin APB ∠的最大值．
12．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且m=2n -+2n -+4，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标；
（2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、Q ∠的数量关系并说明理由；
（3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线于，若设ADO α∠=，F β∠=，试求2αβ+的值．
13．如图,矩形ABCD 中，AD >AB ，连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90∘得到线段AE ，平移线段AE 得到线段DF (点A 与点D 对应，点E 与点F 对应)，连接BF ，分别交直线AD ，AC 于点G ，M ，连接EF ．
(1) 依题意补全图形；
(2) 求证：EG ⊥AD ；
(3) 连接EC ，交BF 于点N ，若AB =2，BC =4，设MB =a ，NF =b ，试比较()()11a b ++与9+62
14．在菱形ABCD 中，点P 是对角线BD 上一点，点M 在CB 的延长线上，且
PC PM =， 连接PA ．
()1如图①，求证：PA PM =；
()2如图②，连接,AM PM 与AB 交于点,120O ADC ︒∠=求证 =PC AM ；
()3连接AM ，当 90ADC ︒∠=时，PC 与AM 的数量关系是
15．如图，抛物线2(40) y ax bx a =++≠与x 轴交于()() 3,0, 4,0A C -两点，与y 轴
交于点B ．
()1求这条抛物线的顶点坐标；
()2已知AD AB =(点D 在线段AC 上)，有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动：同时另一个点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过()t s 的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；
()3在()2的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ MC +的值最小?若存在，请求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．
16．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且60ECF ∠=︒．
（1）如图1，若AB BC =，求证：AE AF BC +=；
（2）如图2，若4AB BC ==，且点E 为AB 的中点，连接BF 交CE 于点M ，求FM ；
（3）如图3，若AB kBC =，探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系，说明理由．
17．已知抛物线y=﹣x 2﹣2x+3交x 轴于点A 、C （点A 在点C 左侧），交y 轴于点B ．
（1）求A ，B ，C 三点坐标；
（2）如图1，点D 为AC 中点，点E 在线段BD 上，且BE=2DE ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 坐标；
（3）如图2，将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，点P 为△ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在它们的左侧作等边△APR 和等边△AGQ ，求PA+PC+PG 的最小值，并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标（直接写出结果即可）．
18．已知：矩形ABCD 内接于⊙O ，连接 BD ，点E 在⊙O 上，连接 BE 交 AD 于点F ，∠BDC+45°=∠BFD ，连接ED ．
（1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB ；
（2）如图2，点G 是 AB 上一点，过点G 作 AB 的垂线分别交BE 和 BD 于点H 和点K ，若HK=BG+AF ，求证：AB=KG ；
（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O 上有一点N ，连接 CN 分别交BD 和 AD 于10点 M 和点 P ，连接 OP ，∠APO=∠CPO ，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB 的长．
19．已知：AB 为⊙O 的直径，点C 为弧AB 的中点，点D 为⊙O 上一点，连接CD ，交AB 于点M ，AE 为∠DAM 的平分线，交CD 于点E ．
（1）如图1，连接BE ，若∠ACD=22°，求∠MBE 的度数；
（2） 如图2，连接DO 并延长，交⊙O 于点F ，连接AF ，交CD 于点N ．
①求证：DM 2+CN 2=CM 2；
②如图3，当AD=1，AB=10时，请直接写出．．．．
线段ME 的长． 20．如图，抛物线25y ax bx =+-交x 轴于点A 、B （A 在B 的左侧），交y 轴于点
C ，且OB OC =，()2,0A -．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 为第四象限抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，设P 点横坐标为t ，线段PD 的长度为d ，求d 与t 的函数关系式．（不要求写出t 的取值范围） （3）在（2）的条件下，F 为BP 延长线上一点，且45PFC ∠=︒，连接OF 、CP 、PB ，FOB ∆的面积为3600169
，求PBC ∆的面积． 21．如图，已知ABF 为等腰直角三角形，90BAF ∠=︒，D 、C 为直线AF 上两点，且满足DF AC =，连接BD 、BC ，过点A 作AE BD ⊥于点E ，交BF 于点H ，连接CH ．
（1）若30BAE ∠=︒，1BE =，求DE 的长；
（2）若点M 是线段BF 上的动点，连AM 并延长交BD 于N ，当M 在线段BF 的什么位置上时，AH BN =？请说明理由；
（3）在（2）的结论下，判断线段CH 、AH 、BD 的数量关系．请说明理由．
22．如图1，以AB 为直径作⊙O ，点C 是直径AB 上方半圆上的一点，连结AC ，BC ，过点C 作∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作AB 的平行线交CB 的延长线于点E ．
（1）如图1，连结AD ，求证：∠ADC ＝∠DEC ．
（2）若⊙O 的半径为5，求CA •CE 的最大值．
（3）如图2，连结AE ，设tan ∠ABC ＝x ，tan ∠AEC ＝y ，
①求y 关于x 的函数解析式；
②若CB BE ＝45
，求y 的值． 23．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形AEFG （a>b ），开始时，点E 在AB 上，如图1．将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转．
（1）如图2，小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转，连接BE 、DG ，当点G 恰好落在线段BE 上时，小亮发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG 的长．
（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG ，点E 在DA 的延长线上，连接BF 、DF ．当FG 平分∠BFD 时，请你帮他求a ：b 及∠FBG 的度数．
（3）如图4，BE 的延长线与直线DG 相交于点P ，a=2b ．当正方形AEFG 绕点A 从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P 运动的路线长（用含b 的代数式表示）．
24．如图，二次函数2
3y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)B ，另一个交点为A ，且与y 轴相交于C 点
（1）则m =_________；C 点坐标为___________；
（2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由．
（3）P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q
①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；
②点P 的横坐标为(04)t t <<，当t =________时，四边形PBQC 的面积最大．
25．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-
与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；
（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、中考数学压轴题
1．D
解析：（1）见解析；（2）y=
1603x +；（2）2 【解析】
【分析】
（1）根据翻折的性质得△DFG ≌△DFA ，从而推导得出∠FDC=∠DFG ，进而得到CF=DC ； （2）在等腰△DGC 和等腰△CFD 中，可用y 表示出∠GDC 、∠FDC 的值，从而求出∠ADF ，根据∠ADE=∠DEC ，得出y 与x 的关系式；
（3）先证△KCD 是等腰直角三角形，根据CD 的长得到KC 的值，然后再△KGC 中求得KG 的值.
【详解】
（1）∵将菱形ABCD 沿DF 翻折，点A 恰好落在点G 上
∴△DFG ≌△DFA ，∠AFD=∠FDC
∴∠AFD=∠DFG
∴∠FDC=∠DFG
∴CF=DC ；
（2）∵AD=DG=DC=FC ，∠DCF=y
∴在△DGC 中，∠DGC=y ，∠GDC=180－2y
在△CFD 中，∠CFD=∠CDF=902y -
∴∠FDG=∠FDC －∠GDC=
3902y - ∴∠ADF=∠FDG=
3902y -，∴∠ADE=3y －180 ∵AD ∥BC
∴∠ADE=∠DEC ，即3y －180=x
化简得：y=1603
x +； （3）如下图，过点K 作CD 的垂线，交CD 于点I ，延长KG 交BC 于点L ，过点C 作GL 的垂线，交GL 于点Q ，过点C 作GD 的垂线，交GD 于点N ，
∵x=45°，
∴y=75°，∠ADE=x=45°
∴∠DGC=∠DCG=75°，
∴∠NDC=30°，
∴∠ADC=45°+30°=75°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=75°，
∵KG∥DC，
∴KG∥AB，∠KGD=∠NDC=30°，
∴∠GLC=∠B=75°，∠KGC=30°+75°=105°，
∴∠LGC=75°，
∴∠CGL=∠CGN，
∴GC是∠LGN的角平分线，
∴CQ=CN，
∵CD=4，∠CDE=30°，
∴在Rt△CND中，CN=2，
∴CQ=2，
∵KG∥CD，
∴∠QKI=∠KIC=90°
∵CQ⊥KL
∴四边形CQKI是矩形，
∵CK=KD，KI⊥CD，
∴CI=ID=2，
∴CI=CQ=2，
∴矩形CQKI是正方形
∴IK=CQ=2，
∴在Rt△KIC中，CK=22，
如下图，过点G作CK的垂线，交CK于点M，
∴△KGM是等腰直角三角形，△GMC是直角三角形，且∠C=30°，
设GM=x，
则在Rt△GKM中，KM=GM=x，
在Rt△GMC中，CG=2x，3x，
∴322
解得：62
∴2=232
x.
【点睛】
本题考查菱形的性质和翻折的性质，需要注意，翻折后的图形和翻折前的图形时完全相等的，这个条件不可忽略.
2．B
解析：（1）①（2，0），（12），（﹣12y2x；③y＝﹣
2
2
x2；
（2）①半径为2，M（
33
33
）；②2＜r＜4
【解析】
【分析】
（1）①如图2−1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．求出OE、OF、CF、OD、BE即可解决问题；
②如图2−2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
③如图3−3中，作QM∥OA交OD于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．解直角三角形即可解决问题；
②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．求出FN＝NE＝1时，⊙M的半径即可解决问题；
【详解】
解：（1）①如图2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．
由题意OC ＝CD ＝1，OA ＝BC ＝2，
∴BD ＝OE ＝1，OD ＝CF ＝BE
＝2， ∴A(2,0)，
B(1,2)，C(﹣1,2)，
故答案为：A(2,0)，B(1,2)，C(﹣1,2)．
②如图2﹣2中，作BE ∥OD 交OA 于E ，作PM ∥OD 交OA 于M ．
∵OD ∥BE ，OD ∥PM ，
∴BE ∥PM ，
∴BE OE PM OM
=， ∴21y x
=， ∴y ＝2x ．
故答案为：y ＝2x ．
③如图2﹣3中，作QM ∥OA 交OD 于M ．
222
MQ DM OA DO
x y ∴=-∴= ∴222
y x =-+
故答案为：y＝﹣
2
2
x+2．
（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．
∵ω＝120°，OM⊥y轴，
∴∠MOA＝30°，
∵MF⊥OA，OA＝23，
∴OF＝FA＝3，
∴FM＝1，OM＝2FM＝2，
∴圆M的半径为2
∵MN∥y轴，
∴MN⊥OM，
∴MN＝2
3
3
，ON＝2MN＝
4
3
3
，
∴M
4323
,
33
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
．
②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．
∵MK∥x轴，ω＝120°，
∴∠MKO＝60°，
∵MK＝OK＝3
∴△MKO是等边三角形，
∴MN＝3，
当FN＝1时，MF＝3﹣1=2，
当EN＝1时，ME＝3+1=4，
观察图象可知当⊙M的半径r的取值范围为2＜r＜4．
故答案为：2＜r＜4．
【点睛】
本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、平面斜坐标系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．3．E
解析：（1）∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）见解析；（3）
①150°，∠EQF=180°－1
2
∠EPF
【解析】
【分析】
（1）如下图，过点P作AB的平行线，根据平行线的性质可推导出角度关系；
（2）如下图，根据（1）的结论，可得∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°，利用△EPF内角和为180°可推导得出∠PEF+∠PFE=90°，从而得出∠PEF=∠AEP；
（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°，再利用角平分线的性质得出
∠PEQ+∠PFQ=150°，最后在四边形EPFQ中得出结论；
②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF°，再利用角平分线的性质得出
∠PEQ+∠PFQ=180°－1
EPF
2
，最后在四边形EPFQ中得出结论．
【详解】
（1）如下图，过点P作PQ∥AB
∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD ∴∠AEP=∠EPQ，∠QPF=∠PFC 又∵∠EPF=∠EPQ+∠QPF
∴∠EPF=∠AEP+∠PFC
如下图，过点P作PQ∥AB
同理，AB ∥QP ∥CD
∴∠AEP+∠QPE=180°，∠QPF+∠PFC=180°
∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=∠AEP+∠EPQ+∠QPF+∠PFC=360°
（2）根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°
∵PF 是∠CFE 的角平分线，∴∠PFC=∠PFE
在△PEF 中，∵∠EPF=90°，∴∠PEF+∠PFE=90°
∴∠PEF+∠PFE=∠AEP+∠PFC
∴∠PEF=∠AEP ，∴PE 是∠AEF 的角平分线
（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°
∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=300°
∵EQ 、QF 分别是∠PEB 和∠PFD 的角平分线
∴∠PEQ=QEB ，∠PFQ=∠QFD
∴∠PEQ+∠PFQ=150°
在四边形PEQF 中，∠EQF=360°－∠EPF －(∠PEQ+∠PFQ)=360°－60°－150°=150° ②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF
∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=360°－∠EPF
∵EQ 、QF 分别是∠PEB 和∠PFD 的角平分线
∴∠PEQ=∠QEB ，∠PFQ=∠QFD
∴∠PEQ+∠PFQ=()1360EPF 2∠︒－=180°－1EPF 2
∠ ∴在四边形PEQF 中： ∠EQF=360°－∠EPF －(∠PEQ+∠PFQ)=360°－EPF ∠－(180°－
1EPF 2∠)=180°－1EPF 2∠ 【点睛】
本题考查“M ”型模型，解题关键在过两条平行线中间的点作已知平行线的平行线，然后利用平行线的性质进行角度转化可推导结论．
4．（1）1001；9999；（2）2754和4848；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据“和平数”的定义可直接得出最小的“和平数”是1001，最大的“和平数”是9999；
（2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤，则个位数字是2a ，又由029a ≤≤得到a 的可能取值为1，2，3，4；根据百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，可知m +n =12，得到122
a m +=
，由a 的可能取值可得m 的取值，即可求得符合条件的“和平数”；
（3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ，计算
它们的和，根据“和平数”的定义可知a+b=c+d ，因式分解可得原式= 1111(a+b )，即可证明．
【详解】
解：（1）根据“和平数”的定义可得：
最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，
故答案为1001；9999；
（2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤，
则个位数字是2a ，
又∵029a ≤≤，
∴a 的可能取值为1，2，3，4；
∵百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，
∴m+n =0或m+n =12，
∵“和平数”中a+m =n+2a ，
当m+n =0时，即m=n =0，则此时a =0，不符合题意，
∴m+n =12，
∴a+m =12−m +2a ，解得：122
a m +=， ∵a 的可能取值为1，2，3，4；且m 为正整数，
∴m 的可能取值为7，8；
当a =2时，m =7，这个“和平数”是2754；
当a =4时，m =8，这个“和平数”是4848；
综上所述，满足条件的“和平数”是2754和4848；
（3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ， ∴(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++
110011001111a b c d =+++
1100()11()a b c d =+++
由“和平数”的定义可知：a+b =c+d ，
∴原式1100()11()a b a b =+++
1111()a b =+，
∵a ，b 为正整数，则1111()a b +能被1111整除，
即(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++能被1111整除，
∴任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．
【点睛】
本题考查新定义运算、因式分解的应用；能够读懂题意，根据数的特点，确定数的取值范围，进行正确的因式分解是解题关键．
5．（1）①不是；②0；（2）若点(,)p q 在反比例函数8y x =的图象上，则关于x 的方程
260px x q -+=是半等分根方程，理由详见解析；（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）①解方程2280x x --=，根据“半等分根方程”定义作出判断即可；②解方程(1)()0x mx n -+=得11x =，2n x m =-，所以12n m -=或2n m -=，即：n =-2m 或m =-2n ，分别代入代数式2252
m mn n ++=结果均为0 （2）根据点(,)p q 在反比例函数8y x =的图象上，得到8q p =，代入260px x q -+=，得到关于x 的方程2860px x p
-+=，解方程，用含p 的式子表示x ，根据“半等分根方程”定义判断即可；
（3）根据两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线上，且纵坐标相等，可以求出对称轴为52
x =，根据方程20ax bx c ++=是半等分根方程，得到两根关系，根据抛物线对称轴为 12522
x x +=，即可求出两个根，问题得证． 【详解】
解：（1）①解方程2280x x --=得124,2x x ==-，不符合“半等分根方程”定义， 故答案为：不是；
②解方程(1)()0x mx n -+=得11x =，2n x m =-，所以12n m -=或2n m -=，即：n =-2m 或m =-2n ，
当n =-2m 时，()()22225522022m mn n m m n m +
+=+-+-=； 当m =-2n 时，()()22225522022m mn n n n n n +
+=-+-+=； 故答案为：0；
（2）若点(,)p q 在反比例函数8y x =
的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程
理由：∵点(,)p q 在反比例函数8y x =
的图象上 ∴8q p
=代入方程260px x q -+=得： 2860px x p -+
=
解得：12x p =，24x p = ∵1212
x x = ∴方程260px x q -+=是半等分根方程
（3）∵相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上， ∴抛物线的对称轴为：(1)(4)522
t t x ++-== 又∵方程20ax bx c ++=是半等分根方程
∴设20ax bx c ++=的两个根分别为1x 和2x 令1212x x =则有：12522
x x += 所以153
x =，2103x = 所以方程20ax bx c ++=的一个根为
53得证． 【点睛】
本题为“新定义问题”，考查了学生自主学习的能力，解决此题关键是理解新定义概念，并结合所学数学知识进行解答．
6．E
解析：（1）EF =
，见解析；（2）BK =；（3）①AGH 是等边三角
形，见解析；②
14 【解析】
【分析】
（1）连接EF ，AC ，由菱形的性质，可证Rt AEB Rt AFD ∆≅∆，然后得到AEF ∆为等边
三角形，由解直角三角形得到AE =，即可得到答案；
（2）由菱形的性质和等边三角形的性质，求出AF 的长度，然后得到BF 的长度，然后由相似三角形的性质，得到AB BK FB BA
=，即可求出答案； （3）①由等边三角形的性质，先证明ABG ACH ≅，然后得到AG AH =，然后得到60BAH GAB GAH ︒∠+∠=∠=，即可得到答案；
②由三角形的面积公式得到1DH =，然后得到AHF △为等腰直角三角形，再由解直角三角形的性质，即可求出答案．
【详解】
解：（1）EF =；
理由：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，
,60,//AB AD BC ABC ADC AD BC ︒∴==∠=∠=，
120BAD ︒∴∠=，
∵AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ，
90AEB AFD ︒∴∠=∠=
Rt AEB Rt AFD ∴∆≅∆，
,30AE AF BAE DAF ∴=∠=∠=︒，
60EAF ∴∠=︒，
AEF ∴∆为等边三角形，
EF AE ∴=.
连接AC ，1602BAC BAD ︒∴∠=∠= 30EAC ︒∴∠= 在Rt AEC ∆中，tan EC EAC AE ∠=
3AE EC ∴=，
3EF EC ∴=
（2）如图：
∵四边形ABCD 是菱形，60,ABC AB a ︒∠==， ACD ∴是等边三角形，//,,60AB CD AD CD a ADC ︒==∠=.
AF CD ⊥，垂足为F ，
1,902CF DF a BAF AFD ︒∴==
∠=∠= 在Rt ADF 中，sin AF ADF AD ∠=
， 3AF ∴=
在Rt ABF 中，22BF AB AF =+，
72
BF a ∴= AK BF ⊥，垂足为K ，
90AKB FAB ︒∴∠=∠=
ABK FBA ∠=∠
~Rt AKB Rt FAB ∴∆∆，
AB BK FB BA
∴=， 27BK a ∴=， （3）如图：
①AGH 是等边三角形.
理由：连接AC .
,60AB BC ABC ︒=∠=，
ABC ∴为等边三角形，
,60AB AC ABC ACB ︒∴=∠=∠=，
120ABG ︒∴∠=. //AB CD ，
60BCH ABC ︒∴∠=∠=，
120ACH ︒∴∠=
ABG ACH ∴∠=∠，
又BG CH =，
ABG ACH ∴≅，
,AG AH GAB HAC ∴=∠=∠.
60BAH HAC BAC ︒∠+∠=∠=，
60BAH GAB GAH ︒∴∠+∠=∠=，
AGH ∴为等边三角形；
②ADC 为等边三角形，
2,1AD DC AC CF DF ∴=====，
AF ∴=.
1
(32
ADH S =， 11
(322
DH ∴⨯=，
1DH ∴=
1CH DH CD ∴=-=，HF DH DF =-=
AF HF ∴=，
AHF ∴为等腰直角三角形，
45AHF ︒∴∠=.
过点C 作CM AH ⊥，垂足为M .
在Rt CMH 中，sin CM CHM CH
∠=， 1
2
CM ∴=， 在Rt AMC 中，
sin CM MAC AC ∠=， 1
sin 4
MAC ∴∠=
. 又GAB HAC ∠=∠， 1
sin sin 4GAB HAC ∴∠=∠=
； 【点睛】
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，正确作出辅助线进行解题．
7．A
解析：（1）()1,1E -；（2）12m -≤≤-或01m ≤≤3）9t ≤≤.
【解析】
【分析】
（1）首先要理解点A 是图形M 的“倍增点”的定义，将三个点逐一代入验证即可； （2）分两种情况:①点"倍增点”在O 的外部，分别求得“倍增点”横坐标的最大值和最小值，②点"倍增点"在O 的内部，依次求得“倍增点"横坐标的最大值和最小值，即可确
定“倍增点”横坐标的范围；
（3）分别求得线段GH 两端点为T "倍增点”时横坐标的最大值和最小值即可．
【详解】
（1）()1,2D -到线段BC 的距离为2，
22(12)(20)1332DC =--+-=<⨯
∴()1,2D -不是线段BC 的倍增点；
()1,1E -到线段BC 的距离为1，
22(12)(10)103EC =--+-=>,
∴在线段BC 上必存在一点P 使EP=3，∴()1,1E -是线段BC 的倍增点；
()0,2F 到线段BC 的距离为2，
22(02)(20)2232FC =-+-=<⨯
∴()0,2F 不是线段BC 的倍增点；
综上，()1,1E -是线段BC 的倍增点；
（2）设直线l 上“倍增点”的横坐标为m ，
当点在O 外时，222(2)8,m m +-+≤
解方程222(2)8m m +-+=，
得1131m =+，2131m =-
当点在O 内部时，22224(2)3(44(2))m m m m ++-+≥--+-+
解得：m≥0或m≤-2
∴直线l 上“倍增点”的橫坐标的取值范围为
1312m -≤≤-或0131m ≤≤+；
（3）如图所示，
当点G(1,0)为T "倍增点"时，
T(9,0)，此时T 的横坐标为最大值，
当点H(0,1)为T “倍增点”时，
则T(63，此时T 的横坐标为最小值；
∴圆心T(t, 0)的横坐标的取值范围为：639t -≤≤．
【点睛】
在正确理解点A 是图形M 的“倍增点”定义的基础上，利用（1）判断是否是倍增点的不
等关系式，即可列不等式组求解范围．
8．A
解析：（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45°
【解析】
【分析】
（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；
（2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；
②证明和推理过程同①的求解过程；
（3）由（2）的证明求解思路，不难得出EAF ∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，
∠MON=90°，所以求解出的∠ABO 一定要小于90°，注意解得取舍.
【详解】
（1）(
)11801802
118090180451352AEB EBA BAE OBA BAO ∠=︒-∠-∠=︒-
∠+∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒
（2）①如图所示
AD 与BO 交于点E ，
()9060301180307521909030602
180180756045OBA DBO NBC DEB OEA OAB D DBE DEB ∠=︒-︒=︒
∠=∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒
②∠D 的度数不随A 、B 的移动而发生变化
设BAD α∠=，因为AD 平分∠BAO ，所以2BAO α∠=，因为∠AOB=90°，所以
180902ABN ABO AOB BAO α∠=︒-∠=∠+∠=+。

因为BC 平分ABN ∠，所以45ABC α∠=︒+。

又因为180ABC ABD D BAD ∠=︒-∠=∠+∠。

所以
4545D ABC BAD αα∠=∠-∠=︒+-=︒
（3）因为∠BAO 与∠BOQ 的平分线交于点E ，
所以135AOE ∠=︒，
所以
()11118045454518090222
E EAO AOE EAO BAO ABO ABO ∠=︒-∠-∠=︒-∠=︒-∠=︒-︒-︒-∠=∠
因为AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的平分线， 所以11118090222EAF BAO GAO ∠=
∠+∠=⨯︒=︒在△AEF 中，若有一个角是另一个角的3倍，
则①当3EAF E ∠=∠时，得30E ∠=︒，此时60ABO ∠=︒
②当3EAF F ∠=∠时，得60E ∠=︒，此时12090ABO ∠=︒>︒，舍去。

③当3F E ∠=∠时，得19022.54E ∠=
⨯︒=︒，此时45ABO ∠=︒ ④当3E F ∠=∠时，得39067.54
E ∠=⨯︒=︒，此时13590ABO ∠=︒>︒，舍去。

综上可知，∠ABO 的度数为60°或45°。

【点睛】
前两问熟练运用三角形内角和定理、两角互余、两角互补、对顶角相等、角平分线性质等角的关系即可求解；第三问需先证明EAF ∠=90°，再分情况进行讨论.
9．A
解析：（1
；（2
3
）存在，6 【解析】
【分析】
（1）作A 1H ⊥AB 于H ，连接BD ，BD 1，则四边形ADA 1H 是矩形．解直角三角形，求出∠ABA 1，得到旋转角即可解决问题；
（2）由△BCE ∽△BA 2D 2，推出222A D CE n CB A B m ==，可得CE=2n m
，由11A E EC =
推出1A C EC =A 1
2n m ，推出BH=A 1
2
n m
，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；
（3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；先证明△FDG ∽△FME
，得到3
FG F FM FE D ==，再结合已知条件和解直角三角形求出PM 和FM 的长度，即可得到PF 的最小值.
【详解】
解：（1）作A 1H ⊥AB 于H ，连接BD ，BD 1，则四边形ADA 1H 是矩形．
∴AD=HA 1=n=1，
在Rt △A 1HB 中，∵BA 1=BA=m=2，
∴BA 1=2HA 1，
∴∠ABA 1=30°，
∴旋转角为30°，
∵22125+=
∴D 到点D 1所经过路径的长度3055π⋅⋅=； （2）∵△BCE ∽△BA 2D 2， ∴222A D CE n CB A B m
==， ∴2
n CE m
=， ∵161EA EC
=， ∴16A C EC
= ∴A 12
6n m
， ∴BH=A 12
22
6n m n m -=， ∴4
22
26n m n m
-=⋅， ∴m 4﹣m 2n 2=6n 4， ∴24
2416n n m m
-=•， ∴3n m = （3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；
由（2）可知，33
BE n BG m ==， ∵四边形BEFG 是矩形， ∴3FG FE = ∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°， ∴∠DFG=∠MFE ，
∵DF ⊥PF ，即∠DFM=90°，
∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°， ∴∠FDG=∠FME ，
∴△FDG ∽△FME ， ∴3FG F FM FE D ==， ∵∠DFM=90°，tan 33FD FMD FM ∠=
=， ∴∠FDM=60°，∠FMD=30°， ∴3FM DM =； 在矩形ABCD 中，有
33AD AB = 3333
=，则3AD =， ∵MN ⊥AB ，
∴四边形ANMD 是矩形，
∴MN=AD=3，
∵∠NPM=∠DMF=30°，
∴PM=2MN=6，
∴NP=33AB =，
∴DM=AN=BP=2，
∴
33
23
22
FM DM
==⨯=，
∴63
PF PM MF
=+=+；
【点睛】
本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.
10．C
解析：（1）2
2
33
(06)
53
103343(68)
33
3031503(810)
2
t t
S t t t
t t t
⎧
+
⎪
⎪
⎪⎪
=-+-<
⎨
⎪
⎪
-+<
⎪
⎪⎩
，S的最大值为63；（2）存在，m的值为
16
5
或32163
-或
16
3
或1423
-.
【解析】
【分析】
（1）分06
t、68
t和810
t三种情况分别表示出有关线段求得两个变量之间的函数关系即可．
（2）分两种情形：①如图31
-中，由题意点P在AB上运动的时间与点R在BC上运动的时间相等，即8
m=．当RP BR
=时，当PB BR
=时，当PR PB
=时，分别构建方程求解即可．②如图32
-中，作RH BC
⊥于H．首先证明90
BPR
∠=︒，根据BP PR
=构建方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图21
-中，当06
t时，点P与点Q都在AB上运动，
PM AC
⊥，//
NQ PM，
90
ANQ AMP
∴∠=∠=︒，
AQ t=，2
AP t
=+，60
A
∠=︒，。