等差数列求和性质..
等差数列求和公式有七种方法,还有一些特殊性质,你都知道吗？
等差数列求和公式有七种方法，还有一些特殊性质，你都知道吗？（一）等差数列求和公式1.公式法2.错位相减法3.求和公式4.分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
5.裂项相消法适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。
只剩下有限的几项。
注意：余下的项具有如下的特点1、余下的项前后的位置前后是对称的。
2、余下的项前后的正负性是相反的。
6.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：（1）证明当n取第一个值时命题成立；（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
【例】求证：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3)=[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5证明：当n=1时，有：1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5假设命题在n=k时成立，于是：1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5则当n=k+1时有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6+ …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… +k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证7.并项求和法（常采用先试探后求和的方法）例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n方法一：（并项）求出奇数项和偶数项的和，再相减。
解读等差数列的规律
解读等差数列的规律等差数列是数学中常见且重要的概念，它在数学、物理、经济学等领域有广泛的应用。
等差数列是指其中每一项与前一项之间的差值都相等的数列。
本文将对等差数列的规律进行解读，以及其在实际问题中的应用。
一、等差数列的定义等差数列是一种特殊的数列，其每一项与前一项之间的差值都是常数d（称为公差）。
等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，n表示项数。
二、等差数列的求和公式等差数列的求和公式是等差数列中的重要性质之一。
对于有限项的等差数列，其求和公式可以表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项的和。
三、等差数列的规律解读1. 公差的意义：公差是等差数列中最重要的参数之一。
公差的正负决定了等差数列的递增或递减趋势。
当公差为正时，等差数列呈递增趋势；当公差为负时，等差数列呈递减趋势。
2. 首项与末项的关系：对于等差数列中的任意两项an、am（n>m），它们之间的关系可以表示为：an = am + (n-m)d。
这一关系可以帮助我们确定等差数列中的任意一项。
3. 等差数列的性质：等差数列有许多重要的性质。
其中包括：任意三项成等差数列、等差数列的中项等于首项与末项的平均值等。
这些性质在解题中常被应用，能够简化问题的分析与计算过程。
四、等差数列在实际问题中的应用等差数列在实际问题中有着广泛的应用。
以下是等差数列的一些典型应用场景：1. 财务管理：等差数列可以用来分析财务数据的趋势与变化。
例如，某企业每年的净收入形成一个等差数列，我们可以通过等差数列的规律预测未来的收入情况，进行财务规划与决策。
2. 人口增长：人口的年增长数也可以看作一个等差数列。
通过研究等差数列的规律，我们可以对人口增长进行预测，为城市规划、社会发展等提供数据支持。
3. 工程建设：等差数列可以用来分析工程建设中的进度与成本。
通过等差数列的求和公式，我们可以计算出工程总进度、总成本等重要参数，帮助优化工程管理与控制。
等差数列的性质与计算
等差数列的性质与计算等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。
在数学中，等差数列是一种常见且重要的数列形式。
本文将探讨等差数列的性质以及如何进行计算。
一、等差数列的性质1. 公差（公共差值）：等差数列中相邻两项之差称为公差，用d表示。
2. 首项：等差数列中的第一项，记作a1。
3. 通项公式：等差数列的通项公式用来表示任意一项的值，通常用an表示第n项。
通项公式可表示为：an = a1 + (n-1)d。
其中，n表示项数。
4. 数列求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式来计算。
求和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)。
其中，Sn表示前n项和。
二、等差数列的计算1. 已知两项求公差：若已知等差数列中的两项a和b，则可以通过计算差值得到公差。
公差d = b - a。
2. 已知首项和公差求任意项：若已知等差数列的首项a1和公差d，可以通过通项公式计算任意一项的值。
an = a1 + (n-1)d。
3. 已知首项和公差求前n项和：若已知等差数列的首项a1、公差d和项数n，可以通过求和公式计算前n项和。
Sn = (n/2)(a1 + an)。
三、示例1. 已知等差数列的首项为5，公差为3，求该数列的第10项的值。
根据通项公式，an = a1 + (n-1)d，代入已知条件得到an = 5 + (10-1)3，计算得到an = 5 + 27 = 32。
因此，该数列的第10项的值为32。
2. 已知等差数列的首项为2，公差为4，求该数列的前5项和。
根据求和公式，Sn = (n/2)(a1 + an)，代入已知条件得到Sn = (5/2)(2+ 2 + (5-1)4)，计算得到Sn = 5(2 + 10) = 60。
因此，该数列的前5项和为60。
总结：本文介绍了等差数列的性质与计算方法。
通过学习等差数列的公差、首项、通项公式以及求和公式，我们可以准确地计算等差数列中任意一项的值以及前n项的和。
等差数列在数学和实际生活中都具有很高的应用价值，希望本文能对读者有所帮助。
等差数列求和
等差数列求和等差数列求和是初中数学中的重要知识点，它在数学中有着广泛的应用。
通过学习等差数列求和，我们可以更好地理解数列的性质和规律，并且能够解决一些实际问题。
在本文中，我将以举例、分析和说明的方式，详细介绍等差数列求和的方法和应用。
一、等差数列的概念和性质等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之差都相等的数列。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
等差数列的性质有很多，其中最重要的是等差数列的通项公式和求和公式。
二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指通过已知的一些条件，可以直接求出数列中任意一项的公式。
对于等差数列而言，通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
通过这个公式，我们可以快速计算出等差数列中任意一项的值。
例如，对于等差数列1，3，5，7，9，如果要求第10项的值，可以使用通项公式an = a1 + (n-1)d，代入a1=1，d=2，n=10，得到a10=1+(10-1)×2=19。
因此，等差数列1，3，5，7，9的第10项为19。
三、等差数列的求和公式等差数列的求和公式是指通过已知的一些条件，可以直接求出数列中前n项的和。
对于等差数列而言，求和公式可以表示为：Sn = (a1 + an) × n / 2，其中Sn表示前n项的和，a1表示第一项，an表示第n项，n表示项数。
通过这个公式，我们可以快速计算出等差数列前n项的和。
例如，对于等差数列1，3，5，7，9，如果要求前5项的和，可以使用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，代入a1=1，an=9，n=5，得到S5 = (1 + 9) × 5 / 2 = 25。
因此，等差数列1，3，5，7，9的前5项的和为25。
四、等差数列求和的应用举例等差数列求和在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些具体的例子：例1：小明每天存钱，第一天存1元，第二天存2元，第三天存3元，以此类推。
数列的求和与数列的性质
数列的求和与数列的性质数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
在数学中，数列的求和是指根据数列的规律，将其中的每一项相加得到一个和。
数列的性质则是指数列中的数之间所具有的一些特定特征或规律。
本文将围绕数列的求和和数列的性质展开讨论。
一、数列的求和数列的求和是数学中的基本概念之一，通过求和可以得到数列中各项数值的总和。
数列的求和有以下几种常见的方法：1.等差数列的求和公式等差数列是指数列中相邻两项的差值都相等的数列。
等差数列的求和公式是通过数列的首项、末项以及项数来计算的，其公式为："公式：Sn = n * (a1 + an) / 2"其中，Sn表示数列的和，n表示数列的项数，a1表示数列的首项，an表示数列的末项。
2.等比数列的求和公式等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。
等比数列的求和公式是通过数列的首项、末项以及项数来计算的，其公式为："公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)"其中，Sn表示数列的和，n表示数列的项数，a1表示数列的首项，q表示数列的公比。
3.部分和在某些情况下，我们只需要计算数列的前n项的和，而不是计算整个数列的和。
这时我们可以使用部分和的方法，通过将数列的前n项相加来求和。
二、数列的性质数列的性质描述了数列中的数之间所具有的一些特定特征或规律。
下面介绍几种常见的数列性质：1.通项公式通项公式是指数列中任意一项与其位置索引之间的关系式。
通常通过观察数列的规律，可以得到数列的通项公式。
2.递推公式递推公式是指数列中后一项与前一项之间的关系式。
递推公式可以通过观察数列的差值或比值的规律来得到。
3.等差数列的性质等差数列具有以下性质：- 任意一项与公差之和等于相邻两项的和；- 中项等于首尾两项的平均数；- 等差数列的和与项数成正比，公比为项数的一半。
4.等比数列的性质等比数列具有以下性质：- 等比数列中，任意一项与公比的幂之和等于相邻两项的比值之差；- 等比数列不存在公差，只存在公比；- 等比数列的和与项数成正比，公比为项数的一次幂。
等差数列的计算与性质
等差数列的计算与性质等差数列是数学中常见且重要的数列之一，它具有一些特殊的性质和计算方法。
本文将通过分析等差数列的定义、公式、求和公式以及一些常见性质，来详细介绍等差数列的计算方法和特点。
一、等差数列的定义与公式等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的一种数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示数列的第n项。
例如，如果我们有一个等差数列的首项为3，公差为2，我们可以用通项公式计算出该数列的第5项如下：a₅ = 3 + (5-1)×2 = 11通过等差数列的通项公式，我们可以轻松地计算出任意项的值。
二、等差数列的求和公式除了计算单独项的值外，求解等差数列的和也是非常常见的问题。
等差数列的前n项和可以用下面的求和公式表示：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n / 2其中，Sₙ表示等差数列的前n项和。
例如，对于一个等差数列的首项为2，公差为3，我们可以通过求和公式计算前4项的和如下：S₄ = (2 + a₄) × 4 / 2 = (2 + (2 + (4-1)×3)) × 2 = 26这个公式的推导比较简单，我们可以利用分组的方法将等差数列的所有项两两相加，并根据等差数列的性质进行简化。
三、等差数列的性质除了上述的计算方法外，等差数列还具有一些其他的重要性质，下面将对其中几个常见性质进行介绍。
1. 公差与项数的关系在等差数列中，我们可以根据公差和项数之间的关系来推导出一些有用的结论。
设前n项和为Sₙ，首项为a₁，公差为d，则有：aₙ = a₁ + (n-1)d将等差数列的最后一项表示为aₙ，代入前n项和的公式可以得到：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n / 2 = (a₁ + (a₁ + (n-1)d)) × n / 2= (2a₁ + (n-1)d) × n / 2 = n(a₁ + aₙ) / 2根据等差数列的性质，我们可以得到公差与项数的关系式：d = (aₙ - a₁) / (n-1)这个关系式可以帮助我们在已知某个等差数列的首项、末项和项数时，求解公差。
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式等差数列常常出现在数学的各个领域，求解等差数列的和是其中一项基本的问题。
本文将介绍等差数列的求和公式，并通过几个实例来说明其应用。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指一个数列中的每两个相邻的数之间的差值都相等的数列。
通常用字母a表示首项，d表示公差（任意项与前一项的差值），第n项则用an表示。
根据等差数列的定义，可以得到如下性质：1. 第n项的数值可由首项与公差计算得出：an = a + (n-1)d。
2. 第n项与第m项之间的差为(m-n)d。
二、等差数列的求和公式为了求解等差数列的和，我们引入了求和符号Σ（sigma）来简化表示。
对于等差数列而言，求和公式的推导如下：设等差数列的首项为a，公差为d，根据等差数列的性质，该数列可表示为：a, a+d, a+2d, ..., a+(n-1)d。
将n项分别与首项相加，得到如下等式：S = a + (a+d) + (a+2d) + ... + [a+(n-1)d]。
反向相加，得到如下等式：S = [a+(n-1)d] + [a+(n-2)d] + ... + (a+d) + a。
将两个等式相加，每一列的和都为2S：2S = [2a+(n-1)d] + [2a+(n-1)d] + ... + [2a+(n-1)d]。
由于每一列的和相同，可以简化为：2S = n * [2a+(n-1)d]。
整理得到等差数列的求和公式：S = n/2 * [2a+(n-1)d]。
三、等差数列求和公式应用实例接下来，我们通过几个实例来应用等差数列的求和公式，以更好地理解其应用。
实例1：求等差数列3, 7, 11, 15, ..., 99的和。
解：首项a = 3，公差d = 4，末项an = 99。
根据等差数列求和公式：S = n/2 * [2a+(n-1)d]，代入已知数据：S = 25/2 * [2 * 3 + (25-1) * 4]，计算可得：S = 25/2 * [6 + 24 * 4] = 25/2 * 102 = 1275。
等差数列性质公式总结
等差数列性质公式总结等差数列，是指数列中的每一项都与它的前一项之差保持相等的数列。
等差数列具有许多性质和公式，本文将对这些性质和公式进行总结。
以下是对等差数列性质公式的详细总结：一、基本概念与公式1. 等差数列：数列中的每一项都与它的前一项之差相等，这个差值称为公差d。
记作a1, a2, a3, ...，其中a1为首项，d为公差，则等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 前n项和公式：等差数列的前n项和Sn = (a1 + an) * n / 2 或Sn = (2a1 + (n-1)d) * n / 2。
3. 首项与末项的关系：an = a1 + (n-1)d。
4. 公差与项数的关系：d = (an - a1) / (n-1)。
5. 首项与末项的平均值：(a1 + an) / 2 = a[(n+1) / 2]，其中a是中项的下标。
6. 首项与末项的乘积：a1 * an = a[m + (n-m)/2] * a[m - (n-m)/2]，其中m为项数之和。
7. 通项求和：已知a1，an和n，求等差数列的每一项之和Sn。
Sn = (a1 + an) * n / 2。
二、相邻项间的关系8. 任意两项的平均值：(an + a(n+1)) / 2 = a[(n+2) / 2]。
9. 任意三项的关系：a(n-1) + a(n+1) = 2an。
10. 任意四项的关系：a(n-2) + a(n-1) + a(n+1) + a(n+2) = 2(an + an+1)。
11. 连续奇(偶)数项之和：an + a(n-2) + ... + a3 + a1 =(n+1)a[(n+1)/2]。
12. 连续奇(偶)数项之和：an + a(n-2) + ... + a4 + a2 = na[n/2]。
13. 间隔和公式：a1 + a3 + a5 + ... + a(2n-1) = n^2。
14. 间隔和公式：a2 + a4 + a6 + ... + a(2n) = n(n+1)。
等差数列通项求和及其性质
等差数列通项求和及其性质1.等差数列概念及通项公式1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
2) 等差数列的判定方法:（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
3) 等差数列的通项公式：如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。
说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。
通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *. 2.等差数列性质2.1等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.2已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝…. (2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.2.3等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列． 3.等差数列求和（倒序相加法） 等差数列的前n 项和：① 2)(1n n a a n S +=②d n n na S n 2)1(1-+= 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。
等差数列与等比数列的性质与求和
等差数列与等比数列的性质与求和等差数列与等比数列是数学中常见的两种数列类型。
它们在数学和实际应用中有着广泛的应用。
本文将分别介绍等差数列与等比数列的性质以及它们求和的方法。
一、等差数列的性质与求和等差数列是指数列中每一项与其前一项之差都相等的数列。
如果一个数列满足这个条件，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的性质如下：1. 任意项与对应项之差相等。
等差数列的每一项与其前一项之差都相等，即an - an-1 = d。
2. 等差数列的前n项和为n倍首项与公差之和的一半。
等差数列的前n项和Sn可以表示为：Sn = (a1 + an) * n / 2 = (2a1 + (n-1)d) * n / 2。
二、等比数列的性质与求和等比数列是指数列中每一项与其前一项的比都相等的数列。
如果一个数列满足这个条件，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，r表示公比，n 表示项数。
等比数列的性质如下：1. 任意项与对应项之比相等。
等比数列的每一项与其前一项的比都相等，即an / an-1 = r。
2. 等比数列的前n项和为首项与公比的n次幂减一的商与公比减一的商。
等比数列的前n项和Sn可以表示为：Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)。
三、等差数列与等比数列的应用等差数列和等比数列在数学和实际应用中都有着广泛的应用。
等差数列的应用包括：1. 数学中常见的算术运算中，如加减、乘除等。
2. 财务、经济学中的计算和推导。
3. 物理学中时间、距离等方面的推导。
等比数列的应用包括：1. 数学中常见的指数运算，如乘方、开方等。
2. 经济学、金融学中的计算和推导。
3. 生物学、物理学中比例关系的研究。
等差数列的基本性质与求和公式
等差数列的基本性质与求和公式等差数列是一种常见的数列，其中每个数与它的前一个数之间的差值是恒定的。
学习等差数列的基本性质以及求和公式对于数学的学习和应用都具有重要意义。
本文将介绍等差数列的基本概念、性质和求和公式，并通过例题来帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、等差数列的定义和特点等差数列是指数列中相邻两项之差恒为一个常数的数列。
该常数称为等差数列的公差，用字母d表示。
一般来说，等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，n为项数。
等差数列的基本特点有以下几个方面：1. 公差d确定了等差数列的增量。
2. 任意相邻两项之间的差值都是公差d。
3. 等差数列的首项a1和公差d唯一决定了整个数列。
二、等差数列的求和公式求等差数列的和是常见的数学问题，可以通过等差数列的求和公式来解决。
等差数列的求和公式如下：Sn = (a1 + an) × n / 2其中Sn表示前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。
三、等差数列求和公式的推导等差数列的求和公式并不是凭空给出的，它可以通过数学推导得到。
以下是等差数列求和公式的推导过程：1. 设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。
2. 可以将Sn分为两个部分：从a1开始的前n项和与从an开始的前n项和。
这两个部分的和恰好等于整个数列的和。
3. 根据等差数列的通项公式，可以写出an = a1 + (n - 1)d。
4. 将前n项和相加，并利用等差数列首项和末项之间的关系，得到Sn = (a1 + an) × n / 2。
四、例题解析为了更好地理解等差数列的基本性质和求和公式，我们来看几个例题。
1. 求等差数列2, 5, 8, 11, ...的前6项和。
首项a1 = 2，公差d = 3，项数n = 6。
代入求和公式Sn = (a1 + an) ×n / 2，得到Sn = (2 + 2 + (6 - 1) × 3) × 6 / 2 = 72。
等差数列求和性质
数)，那么这个数列一定是等差数列吗？
开 关
3．如果{an}是一个等差数列，那么{|an|}还是等差数列吗？如果不再
是等差数列，如何求{|an|}的前n项和？
这一节课我们就来解答上面的问题．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
探究点一 数列{an}的前n项和Sn与an的关系
问题 我们已经知道，如果通项公式an已知，就能求出Sn；反
正整数时，Sn 取到最值．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
探究 按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前 n项和Sn取到最值时序号n的规律.
序
本号
等差数列
基本量 前 n 项和 Sn Sn 的最值
课
时 栏 目 开
1 1,3,5,7,9，…，
a1＝_1_， d＝_2_
Sn＝_n_2
(Sn)min＝1， 此时 n＝1__
前n项和Sn的最小值．
解 方法一 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.
本 ∴a1<a2<…<a6<a7＝0<a8<a9<….
课 时
∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值．
栏 目
易求S7＝－42，∴(Sn)min＝－42.
开
关
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2.2.2（二）
方法二 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12.
时
栏
故S23＝S24最小.
目
开
关
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2.2.2（二）
[问题情境]
1．如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，那么这个数列确定了吗？
本
如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？
等差数列的通项求和及其性质
等差数列通项求和及其性质1.等差数列概念及通项公式1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
2) 等差数列的判定方法:（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
3) 等差数列的通项公式：如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。
说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。
通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *. 2.等差数列性质2.1等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.2已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2. 2.3等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列． 3.等差数列求和（倒序相加法） 等差数列的前n 项和：① 2)(1n n a a n S +=②d n n na S n 2)1(1-+= 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。
高中数学知识点总结等差数列与等比数列的求和性质
高中数学知识点总结等差数列与等比数列的求和性质等差数列（Arithmetic Progression）和等比数列（Geometric Progression）是高中数学中常见的数列类型，它们在数学和实际问题的解决中起到了重要的作用。
本文将对等差数列和等比数列的求和性质进行总结和讨论。
一、等差数列的求和性质等差数列是指一个数列中每个相邻的两个数之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则该数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d等差数列的前n项和（即等差数列的求和）可以通过以下公式来计算：Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2其中，Sₙ表示前n项和。
例如，若我们有等差数列：2，4，6，8，10，则首项a₁为2，公差d为2。
若我们要计算前5项的和，则利用公式可以得到：S₅ = (2 + 10) × 5/2 = 12 × 5/2 = 30所以，该等差数列的前5项和为30。
二、等比数列的求和性质等比数列是指一个数列中每个相邻的两个数之比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则该数列的通项公式为：aₙ = a₁ × r^(n-1)等比数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sₙ = a₁ × (1 - rⁿ)/(1 - r)其中，Sₙ表示前n项和。
例如，若我们有等比数列：3，6，12，24，48，则首项a₁为3，公比r为2。
若我们要计算前4项的和，则利用公式可以得到：S₄ = 3 × (1 - 2⁴)/(1 - 2) = 3 × (1 - 16)/(-1) = 3 × (-15) = -45所以，该等比数列的前4项和为-45。
以上就是等差数列和等比数列的求和性质的总结。
这些性质在解决数学问题时非常有用，可以帮助我们计算数列的和，从而更好地理解和应用这些数列。
通过掌握这些概念和公式，我们能够更加高效地解决与等差数列和等比数列相关的问题。
等差数列求和公式的性质
等差数列求和公式的性质
1 等差数列求和公式
等差数列求和公式是解决等差数列的和问题的重要工具。
本文主要针对等差数列求和公式的性质展开讨论。
1.1 公式形式
等差数列求和公式的形式是：
Sn=n/2[a1+an]
其中，S是求和的结果，n是数列的项数，a1是数列的首项，an 是数列的末项。
1.2 性质
等差数列求和公式有以下几个特性：
（1）当a1和an都是正数时，Sn一定大于0；
（2）当a1和an都是负数时，Sn一定小于0；
（3）当an-a1能够被n整除时，Sn一定能得出整数的结果；
（4）当an-a1不能够被n整除时，Sn一定能得出小数的结果。
1.3 应用
等差数列求和公式广泛应用于数学中，可以从中心位置判断等差数列的全部项与等差数列的和，可以有效地把等差数列减少为两个数
字相加。
它对于求数列的前n项和和后n项和十分有用。
此外，它也可以被用来解决其他数学问题。
2 结论
等差数列求和公式是解决等差数列和问题的重要工具，具有特定的性质，并且在数学的解决问题中有广泛的应用。
等差数列的通项求和及其性质
等差数列通项求和及其性质1. 等差数列概念及通项公式1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
2) 等差数列的判定方法：(1)定义法：对于数列a n，若a n1 a n d (常数)，则数列a n是等差数列。
(2)等差中项：对于数列a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列a n是等差数列。
3) 等差数列的通项公式：如果等差数列a n的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为a n a1 (n 1)d。
说明：该公式整理后是关于n的一次函数。
通项公式的变形：a n = a m+ (n- d, m n€ N.2. 等差数列性质a + b2.1等差中项：如果a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A=-^厂.2.2已知｛a n｝为等差数列，d为公差，S为该数列的前n项和.(1) 有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a1+ a n= a2 + a n-1 = a3+ a n-2=・・・=a k + a n-k+1(2) 等差数列｛a n｝中，当m+ n= p+ q 时，a m+ a n= a p+ a q( m n, p, q€ N*).特别地，若m+ n=2p,贝U 2a p= a m+ a n(m n, p€ N*).(3) 相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k, a k+m, a k+ 2m,…仍是等差数列，公差为mc(k, m€ N*).(4) 若数列｛a n｝, ｛b n｝是公差分别为d1, d2的等差数列，则数列｛pa n｝, ｛a n+ p｝, ｛pa n + qb n｝都是等差数列(p, q都是常数)，且公差分别为pd1, d1, pd1+ qd2.2.3等差数列的单调性当d>0时，数列｛a n｝为递增数列；当d<0时，数列｛a n｝为递减数列；当d = 0时，数列｛a n｝为常数列.3. 等差数列求和(倒序相加法)等差数列的前n项和：① S n n(a1 an)②S n na1 垃9d2 2说明：对于公式②整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
等差数列求和与性质
合作探究：
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100+101
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创设情景
平行四 三角形 边形
若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每 一层都比它下面一层 多放一支，最上面 一层有很多支铅笔， 老师说有n支。问： 这个V形架上共放 着多少支铅笔？ 问题就是： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n 若用首尾配对相加法，需要分类讨论.
倒序相加法
计算： 1
分析：这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项 和.
2
3 (n 1) n ①
2 ＋1 ②
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋
2 1 2 3 (n 1) n n (n 1)
n (n 1) 1 2 3 (n 1) n 2
10 10 1 S10 10 500 50 7250 万元 2
答
变式练习
一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最 上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1 块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？
解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦 片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1， n=19. 于是，屋顶斜面共铺瓦片：
n(n 1) Sn na1 d 2
2．等差数列前n项和五个元素,只要 知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另 两个元素.
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又 a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1
n(a1 an ) 2Sn n(a1 an ) 即S n 2
求和公式
等差数列的 前n项和等 等差数列的前n项和的公式： 于首末两项 的和与项数 n(a1 an ) 乘积的一半。
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式等差数列是指数列中任意两项之差都相等的数列。
求解等差数列的和是数学中常见的问题，它有一个简洁的求和公式可以帮助我们高效地解决这个问题。
本文将详细介绍等差数列的求和公式及其推导过程。
一、等差数列定义及性质等差数列可以表示为：a，a+d，a+2d，a+3d，...，a+nd，...其中，a为首项，d为公差，n为项数。
等差数列具有以下性质：1. 通项公式：第n项an = a + (n-1)d；2. 前n项和Sn = (a + an) * n / 2。
二、等差数列求和公式的推导过程为了推导等差数列的求和公式，我们先来考虑一个等差数列的和S1和S2的关系。
设等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，则有：S1 = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-1)d)，(1)S2 = (a+(n-1)d) + (a+(n-2)d) + ... + a。
(2)将式子(2)的每一项与式子(1)的对应项相加，可得：S1 + S2 = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d)。
(3)上式中一共有n项，每一项的和都是2a + (n-1)d，因此：S1 + S2 = n * (2a + (n-1)d)。
(4)由等差数列的通项公式an = a + (n-1)d，可以将式子(4)进一步化简为：S1 + S2 = n * (a + an)。
(5)另一方面，根据等差数列前n项和的定义，可以得到：Sn = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-1)d。
将式子(1)乘以2，再与式子(1)相加，可以得到：2S1 = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d)。
上式中一共有n项，每一项的和都是2a + (n-1)d，因此：2S1 = n * (2a + (n-1)d)。
等差数列求和性质
17世纪：德 国数学家莱布 尼茨对等差数 列求和公式进
行了推广
18世纪：瑞士 数学家欧拉对 等差数列求和 公式进行了深 入研究提出了
欧拉公式
19世纪：英国 数学家哈密顿 对等差数列求 和公式进行了 推广提出了哈
密顿公式
20世纪：美国 数学家柯朗对 等差数列求和 公式进行了推 广提出了柯朗
公式
等差数列求和公式的现代应用
倒序相加法
步骤：将等差数列倒序排列然 后依次相加得到新数列的和
证明：利用数学归纳法证明新 数列的和等于原数列的和
原理：将等差数列倒序相加得 到新的数列新数列的和为原数 列的和
应用：在等差数列求和公式的 证明中倒序相加法是一种常用
的方法
裂项相消法
裂项相消法的基本思想：将数列中的每一项分解为两个部分使其中一部分与另一项的某一部 分相消从而简化求和过程。
计算等差数列的前n项和
实际应用案例
计算等差数列的前n项和的立方和
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
计算等差数列的前n项和的平方和
计算等差数列的前n项和的n次方和
数学归纳法
基本思想：从最简单的情况开始逐步推广到一般情况 步骤：假设n=k时成立证明n=k+1时也成立 应用：等差数列求和公式的证明 注意事项：需要证明每一步都是正确的不能跳跃或省略步骤
公式推导
等差数列的定义：数列中相邻两项的差值相等 等差数列的通项公式：n=1+(n-1)d 等差数列的前n项和公式：Sn=n/2(1+n) 公式推导过程：利用等差数列的通项公式和前n项和公式推导出等差数列的前n项和公式
公式应用
求和公式：Sn=n/2(1+n)
应用范围：适用于等差数列的求和
等差数列求和公式是什么_有哪些性质
等差数列求和公式是什么_有哪些性质等差数列的性质1、公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d。
2、公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd。
3、若{an}{bn}为等差数列，则{ an ±bn }与{kan +bn}(k、b为非零常数)也是等差数列。
4、对任何m、n ，在等差数列中有：an = am + (n-m)dm、n∈N+)，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性。
5、一般地，当m+n=p+qm，n，p，q∈N+)时，am+an=ap+aq。
6、公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)。
7、在等差数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项。
8、当公差d0时，等差数列中的数随项数的增大而增大;当d0时，等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时，等差数列中的数等于一个常数。
等差数列的相关知识点1、等差数列基本公式：末项=首项+(项数-1)__公差项数=(末项-首项)÷公差+1首项=末项-(项数-1)__公差和=(首项+末项)__项数÷2末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。
2、Sn=na(n+1)/2n为奇数;sn=n/2(An/2+An/2+1)n为偶数3、等差数列如果有奇数项，那么和就等于中间一项乘以项数，如果有偶数项，和就等于中间两项和乘以项数的一半，这就是中项求和。
4、公差为d的等差数列{an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。
将求和公式代入即可。
当n为偶数时，等差中项为中间两项，这两项的和等于首尾两项和，也等于二倍的总和除以项数n。
高考数学必背公式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b=-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1__X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac0注：方程有两个不等的实根b2-4ac0注：方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前 n 项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+ … +(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+ …n3=n2(n+1)2/41__2+2__3+3__4+4__5+5__6+6__7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角 B 是边 a 和边 c 的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c__h 斜棱柱侧面积 S=c__h正棱锥侧面积S=1/2c__h 正棱台侧面积 S=1/2(c+c)h圆台侧面积S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi__r2圆柱侧面积S=c__h=2pi__h 圆锥侧面积 S=1/2__c__l=pi__r__l弧长公式l=a__r a 是圆心角的弧度数 r 0 扇形面积公式 s=1/2__l__r 锥体体积公式V=1/3__S__H 圆锥体体积公式 V=1/3__pi__r2h斜棱柱体积V=SL 注：其中,S是直截面面积， L 是侧棱长柱体体积公式V=s__h 圆柱体 V=pi__r2h高中文科数学必背公式总结公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到 2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及 3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上 k∈Z)高三数学如何复习高三数学最为关键的是式子变形和解题思维，这需要从题目所给的题设和问题去寻求答案，而不是一拿到题就马上联想到哪个知识点或者做过类似得题。
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按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前
n项和Sn取到最值时序号n的规律.
序 号 等差数列 基本量 前 n 项和 Sn Sn 的最值 (Sn)min＝1， 此时 n＝1 __
本 课 时 栏 目 开 关
1 1,3,5,7,9，…，
1， a1＝__
d＝__ 2
Sn＝__ n
2
2
－5，－3, －1,1,3，…，
本 课 时 栏 目 开 关
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2.2.2（二）
[问题情境] 1．如果已知数列 {an}的前 n项和 Sn的公式，那么这个数列确定了吗？ 如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？ 2．如果一个数列的前 n项和的公式是 Sn＝ an2＋ bn＋ c(a， b， c为常 数 )，那么这个数列一定是等差数列吗？ 3．如果 {an}是一个等差数列，那么{|an|}还是等差数列吗？如果不再 是等差数列，如何求 {|an|}的前 n项和？ 这一节课我们就来解答上面的问题．
2.2.2（二）
2.2.2 等差数列的前n项和(二)
学习要求 1．熟练掌握等差数列前 n项和的性质，并能灵活运用． 2．掌握等差数列前 n项和的最值问题． 3．理解 an与 Sn的关系，能根据Sn求 an.
本 课 时 栏 目 开 关
2.2.2（二）
学法指导 1．任何一个数列 {an}与它的前n项和Sn之间都有一个等量关系式， 此公式为： an＝
d 2 d x ＋(a1－ )x 上的点集，坐标为(n，Sn)(n∈N*)． 2 2 因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当 d＞0 时，Sn 有最 小 值；当 d＜0 时，Sn 有最 大 值；且 n 取最接近对称轴的 正整数时，Sn 取到最值．
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2.2.2（二）
探究
S1 Sn－ Sn－1
n＝ 1， n≥ 2
，题中已知一个数列的
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前 n项和，则可利用此公式求得此数列的通项公式，同时要注 意此公式是一个分段的函数，所以在使用此公式求解时，要分 类讨论． 2．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是 利用函数解决数列问题的一个重要应用． 3．等差数列的前 n项和与二次函数联系十分紧密，要辨析它们之 间的关系，从更高境界处理等差数列的前n项和问题 .
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探究点一 数列{an}的前n项和Sn与an的关系 问题
2.2.2（二）
我们已经知道，如果通项公式an已知，就能求出Sn；反
过来，如果已知数列{an}的前n项和Sn，能否求出它的通项 公式an?
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答 对所有数列都有：Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，Sn－1＝a1＋ a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1；当n＝ 1时，有a1＝S1.所以an与Sn的关系为 an＝
2或3 此时 n＝ ______
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4
－ 1,－ 2,－ 3， a1＝ ___ -1 ， － 4,－ 5，…， d＝ ____ -1
1 1 -1 － n2－ n (Sn)max＝ _____, 2 2 Sn＝ _________
此时 n＝ ____ 1
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探究点二 问题 ＝
2.2.2（二）
等差数列前 n 项和的最值 nn－1 d 2 d 由于 Sn＝na1＋ d＝ n ＋(a1－ )n，当 d＝0 时，Sn 2 2 2
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d 2 ，一次项 na1；当 d≠0 时，此解析式可以看作二次项系数为___
d a1－ 2 ，常数项为 0 的二次函数，其图象为抛物线 y＝ 系数为______
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2（二）
1．前 n项和Sn与 an之间的关系 对任意数列{an}，Sn是前 n项和， Sn与 an的关系可以表示为 n＝ 1， S1 an＝ S －Sn－1 n≥ 2.n a ＋a n n n－1 1 n na1＋ d 2 2．等差数列前n项和公式 Sn＝__________ ＝ ____________. 2 3．若等差数列{an}的前n项和公式为 Sn＝ An2＋Bn＋C，则 A
2.2.2（二）
通过上面的例子，我们看到等差数列前n项和的最值在项的符号 分界点处取到，据此完善下列结论： (1)若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为____ 正 项(或0)，所以将
本 大 值． 课 这些项相加即得 {Sn}的最 ____ 时 负 项(或0)，所以将 栏 (2)若 a1＜ 0， d＞ 0，则数列的前面若干项为 ____ 目 小 值； 开 这些项相加即得 {Sn}的最 ____ 关
-5 ， a1＝__ 2 d＝__
n －6n Sn＝ ______
2
-9 (Sn)min＝____,
此时 n＝____ 3
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2.2.2（二）
3
4,2,0，－ 2， － 4，…，
a1＝ ___ 4 ， d＝ ___ -2
n ＋5n Sn＝－ _____0，d＜ 特别地，若a1＞ 0， d＞ 0，则S1是{Sn}的最____ 大 值． 0，则S1是{Sn}的最____
S ，n＝1， 1 Sn－Sn－1，n≥2.
注意这一关系适用于所有数列，并且如
果能统一用一个解析式an＝f(n)(n∈N＋)来表示,应当统一表示．
2.2.2（二）
若数列 {a n }有2n项，则S偶 - S奇 ？S偶：S奇 ? 若有2n 1项结果又是如何？
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d d a1－ 2 ， B＝ ________ 0 2 ， C＝ ____. ＝ ____
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2.2.2（二）
4．已知数列{an}的通项公式是 an＝2n－ 48，则Sn取得最小值 时， n为 23或24 ．
解析 ∵a24＝0，∴a1，a2，…，a23<0， 故S23＝S24最小.