2021-2022学年华东师大版八年级数学下册第十八章平行四边形专题测试练习题(精选)
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八年级数学下册第十八章平行四边形专题测试
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、如图,在平行四边形ABCD 中,∠A +∠C =130°,则∠B 的度数为( )
A .130°
B .115°
C .105°
D .95°
2、下面性质中,平行四边形不一定具备的是( )
A .对角互补
B .邻角互补
C .对角相等
D .对角线互相平分
3、如图,在四边形ABCD 中,//AD BC ,12cm AD =,18cm BC =,点P 在AD 边上以每秒4cm 的速度从点A 向点D 运动,点Q 在BC 边上,以每秒2cm 的速度从点C 向点B 运动,当直线PQ 在四边形ABCD 内部截出一个平行四边形时,点P 运动了( )
A .2秒
B .2秒或3秒
C .2秒或4秒
D .4秒
4、如图,平行四边形ABCD 的周长为16,AC 、BD 相交于点O ,OE ⊥AC 交AD 于E ,则△DCE 的周长为( )
A .4
B .6
C .8
D .10
5、如图,ABCD 的面积是12,点E ,F 在AC 上,且AE EF FC ==,则BEF 的面积为( )
A .2
B .3
C .4
D .6
6、某街区街道如图所示,其中CE 垂直平分,//,//AF AB CD BC DF .从B 站到E 站有两条公交线路;线路1是B D A E →→→,线路2是B C F E →→→,则两条线路的长度关系为( )
A .路线1较短
B .路线2较短
C .两条路线长度相等
D .两条线路长度不确定
7、下列图形中,三角形ABC 和平行四边形ABDE 面积相等的是( )
A .②③
B .③④
C .②③④
D .①②③④
8、如图,在平行四边形 ABCD 中,BC =2AB =8,连接 BD ,分别以点B ,D 为圆心,大于12BD 长为半
径作弧,两弧交于点E 和点F ,作直线EF 交AD 于点I ,交BC 于点H ,点H 恰为BC 的中点,连接AH ,则AH 的长为( )
A .
B .6
C .7
D .9、如图,在平行四边形纸片ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点
E ,∠AEB =45°,BD =4,将纸片沿对角线AC 对折,使得点B 落在点B ′的位置,连接DB ',则DB '的长为( )
A .
B .
C .
D .15
10、如图所示,在 ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,过点O 的直线EF 分别交AD 于点E ,BC
于点F , 35
AOE BOF S S ==, ,则 ABCD 的面积为( )
A .24
B .32
C .40
D .48
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(10小题,每小题4分,共计40分)
1、如图,在△ABC 中,90ACB ∠=︒,3BC =,6AC =.点D 在AC 边上,连结BD ,将△ABD 沿直线BD 翻折得△A BD ',连结A C '.当四边形A DBC '为平行四边形时,该四边形的周长是____.
2、平行四边形ABCD 中,∠ABC 的平分线把AD 分成5和7两部分,则平行四边形ABCD 的周长为__.
3、在平行四边形ABCD 中,BF 平分∠ABC ,交AD 于点F ,CE 平分∠BCD ,交AD 于点E ,AB =6,EF =2,则BC 的长为_____.
4、如图,在ABCD 中,4AB =,6BC =,ABC ∠的平分线交AD 于点E ,则ED =______.
5、如图,在平行四边形ABCD 中,80B ∠=︒,AE 平分BAD ∠交BC 于点E ,//CF AE 交AE 于点F ,则∠1=______度.
6、如图,在四边形ABCD 中,//AD BC ,且,6cm AD BC BC >=,点P ,Q 分别从A ,C 两点同时出发,点P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动,点Q 以2cm/s 的速度由向C 运动B ,则_____秒后四边形ABQP 成为一个平行四边形.
7、在ABCD 中,2BC AB =,若E 为BC 的中点,则AED =∠_______.
8、如图,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ∥BC ,且∠BAD 、∠ADC 的角平分线AE 、DF 分别交BC 于点E 、F .若EF =2,AB =5,则AD 的长为_______.
9、如图,在ABCD 中,M 是BC 的中点,且9,12,10AM BD AD ===,则ABCD 的面积是_________.
10、从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线,如果这两条高线夹角为135︒,则这个平行四边形的各内角的度数为_________.
三、解答题(5小题,每小题6分,共计30分)
1、如图,点B ,E ,C ,F 在一条直线上,AB =DE ,AB ∥DE ,BE =CF .
(1)求证:△ABC ≌△DEF ;
(2)连接AD ,求证:四边形ACFD 是平行四边形.
2、如图,在方格纸中,已知格点ABC ∆和格点O .
(1)画出ABC ∆关于点O 对称的'A B C ''∆;
(2)若以点A 、O 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形,则点D 的坐标为________.(写出所有可能的结果)
3、如图在平面直角坐标系中,点A (-2,0),B (2,3),C (0,4).
(1)判断△ABC 的形状,并说明理由;
(2)点D 为平面直角坐标系中的点,以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为平行四边形,写出所有满足条件的点D 的坐标.
4、如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1.
(1)过点B 分别画BE //AD ,BF CD ⊥,BE 与CD 相交于点E ,BF 与CD 相交于点F ;
(2)求BEF 的面积.
5、已知:如图,在ABCD 中,2AB AD =,M 为AB 的中点,连接,DM MC .求证:DM MC ⊥.
-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
由平行四边形ABCD 中,若∠A +∠C =130°,可求得∠C 的度数,继而求得∠B 的度数.
【详解】
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,
∵∠A+∠C=130°,
∴∠C=65°,
∴∠B=180°−∠C=115°.
故选:B.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质.此题比较简单,根据平行四边形对角相等解答是解此题的关键.2、A
【解析】
【分析】
直接利用平行四边形的性质:对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等,进而分析得出即可.【详解】
解:A、平行四边形对角不一定互补,故符合题意;
B、平行四边形邻角互补正确,故不符合题意;
C、平行四边形对角相等正确,故不符合题意.
D、平行四边形的对角线互相平分正确,故不符合题意;
故选A.
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质,熟练掌握相关性质是解题关键.
3、B
【解析】
【分析】
构成平行四边形有两种情况,情况一:PD=QC ;情况二:AP=BQ
【详解】
设点P 、Q 运动的时间为t 秒,依题意得,
2CQ t =,182BQ t =-,4AP t =,124PD t =-,
①当BQ AP =时,四边形APQB 是平行四边形,即1824t t -=,解得3t =.
②当CQ PD =时,四边形CQPD 是平行四边形,即2124t t =-,解得2t =.
所以当直线PQ 将四边形ABCD 截出一个平行四边形时,点P 运动了2秒或3秒,
故选B .
【点睛】
本题考查梯形上动点构成平行四边形的问题,注意分情况讨论是解题关键.
4、C
【解析】
【分析】
先证明AE =EC ,再求解AD +DC =8,再利用三角形的周长公式进行计算即可.
【详解】
解:∵平行四边形ABCD ,
∴AD =BC ,AB =CD ,OA =OC ,
∵EO ⊥AC ,
∴AE =EC ,
∵AB +BC +CD +AD =16,
∴AD +DC =8,
∴△DCE的周长是:CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=8,
故选:C.
【点睛】
本题考查的是平行四边形性质,线段垂直平分线的性质,证明AE=EC是解本题关键.
5、A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质可知△ABC的面积是平行四边形面积的一半,再进一步确定△BER和△ABC的面积关系即可.
【详解】
解:∵S▱ABCD=12,
∴S△ABC=1
2
S▱ABCD=6,
∴S△ABC=1
2×AC×高=1
2
×3EF×高=6,
得到:1
2
×EF×高=2,
∵△BEF的面积=1
2
×EF×高=2.
∴△BEF的面积为2.
故选:A.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质,对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形,本题解题关键是利用三角形的面积计算公式找出所求三角形与已知三角形的面积关系.
6、C
【解析】
【分析】
由于路线1的路程为BD+DA+AE,路线2的路程为BC+CF+FE,将问题变为比较它们的大小这一数学问题.
【详解】
解:这两条路线路程的长度一样.理由如下:
延长FD交AB于点G.
∵BC∥DF,AB∥DC,
∴四边形BCDG是平行四边形,
∴DG=CB.
∵CE垂直平分AF,
∴FE=AE,DE∥AG,
∴FD=DG,
∴CB=FD.
又∵BC∥DF,
∴四边形BCFD是平行四边形.
∴CF=BD.①
∵CE垂直平分AF,
∴AE=FE,FD=DA.②
∴BC=DA.③
路线1的长度为:BD+DA+AE,路线2的长度为:BC+CF+FE,
综合①②③,可知路线1路程长度与路线2路程长度相等.
故选C.
【点睛】
本题是一个图形在交通方面的应用题,解此类图形应用题的关键是建立合理的数学模型,并利用图形知识来解决这一模型,从而解决实际问题.考查线段的垂直平分线的性质,平行四边形判定与性质,中位线等知识.
7、C
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式和平行四边形的面积公式解答即可.
【详解】
解:①三角形ABC的面积=1
244
2
⨯⨯=,平行四边形ABDE的面积=4×2=8,不相等;
②三角形ABC的面积=1
448
2
⨯⨯=,平行四边形ABDE的面积=4×2=8,相等;
③三角形ABC的面积=1
448
2
⨯⨯=,平行四边形ABDE的面积=4×2=8,相等;
④三角形ABC的面积=1
448
2
⨯⨯=,平行四边形ABDE的面积=4×2=8,相等;
故选:C.【点睛】
此题考查平行四边形的性质,关键是根据三角形的面积公式和平行四边形的面积公式解答.
8、A
【解析】
【分析】
连接DH,根据作图过程可得EF是线段BD的垂直平分线,证明△DHC是等边三角形,然后证明∠AHD=90°,根据勾股定理可得AH的长.
【详解】
解:如图,连接DH,
根据作图过程可知:EF是线段BD的垂直平分线,
∴DH=BH,
∵点H为BC的中点,
∴BH=CH,BC=2CH,
∴DH=CH,
在▱ABCD中,AB=DC,
∵AD=BC=2AB=8,
∴DH=CH=CD=4,
∴△DHC是等边三角形,
∴∠C=∠CDH=∠DHC=60°,
在▱ABCD中,∠BAD=∠C=60°,AD∥BC,
∴∠DAH =∠BHA ,
∵AB =BH ,
∴∠BAH =∠BHA ,
∴∠BAH =∠DAH =30°,
∴∠AHD =90°,
∴AH
故选:A .
【点睛】
本题考查了作图-基本作图,线段垂直平分线的性质,等边三角形的判定和性质,平行四边形的性质,勾股定理等知识点,解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法.
9、A
【解析】
【分析】 先利用平行四边形的性质得到122
BE DE BD ===,再由折叠的性质得到45BEA B EA '==∠∠,2B E BE '==,由此可得到90B ED '=∠,再利用勾股定理求解即可.
【详解】
解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴122
BE DE BD ===, 由折叠的性质可知:45BEA B EA '==∠∠,2B E BE '==,
∴90B EB BEA B EA ''∠=∠+∠=,
∴18090B ED B EB ''==∠-∠,
∴在直角三角形B ED '中
B D '==
故选A .
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质,折叠的性质,勾股定理,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
10、B
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的性质可得,OB OD AD BC =,再根据三角形全等的判定定理证出DOE BOF ≅,根据全等三角形的性质可得5DOE BOF S
S ==,从而可得8AOD S =△,然后根据平行四边形的性质即可
得.
【详解】
解:∵四边形ABCD 是平行四边形,
,OB OD AD BC ∴=, EDO FBO ∴∠=∠,
在DOE △和BOF 中,
∵EDO FBO OD OB DOE BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
,
()DOE BOF ASA ∴≅,
5DOE BOF
S S ∴==, 358AOD AOE DOE S S S ∴=+=+=,
则ABCD 的面积为44832AOD S
=⨯=,
故选:B .
【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点,熟练掌握平行四边形的性质是解题关键.
二、填空题
1、6+
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得A ′C =BD ,A ′D =BC =3,再由翻折的性质得AD =A ′D =3,则CD =AC -AD =3,然后
证△BCD 是等腰直角三角形,得BD BC =
【详解】
解:∵四边形A 'DBC 为平行四边形,
∴A ′C =BD ,A ′D =BC =3,
由翻折的性质得:AD =A ′D =3,
∴CD =AC -AD =6-3=3,
∴CD =BC ,
∵∠ACB =90°,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴BD=
)=6+
∴四边形A'DBC的周长=2(BD+BC)=2×(
故答案为:6+
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识;熟练掌握翻折变换和平行四边形的性质,证明△BCD为等腰直角三角形是解题的关键.
2、34或38##38或34
【解析】
【分析】
由平行四边形ABCD推出∠AEB=∠CBE,由已知得到∠ABE=∠CBE,推出AB=AE,分两种情况(1)当AE=5时,求出AB的长;(2)当AE=7时,求出AB的长,进一步求出平行四边形的周长.
【详解】
解:如图,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,AD∥BC,
∴∠AEB=∠CBE,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE,
(1)当AE=5时,AB=5,
平行四边形ABCD的周长是2×(5+5+7)=34;
(2)当AE=7时,AB=7,
平行四边形ABCD的周长是2×(5+7+7)=38;
3、10或14##14或10
【解析】
【分析】
=,通过BF和CE 利用BF平分∠ABC, CE平分∠BCD,以及平行关系,分别求出AB AF
=、DE DC
是否相交,分两类情况讨论,最后通过边之间的关系,求出BC的长即可.
【详解】
解:四边形ABCD是平行四边形,
==,AD BC
∥,
AB CD
∴=,6
AD BC
∠=∠,
∴∠=∠,DEC ECB
AFE FBC
BF平分∠ABC, CE平分∠BCD,
∴∠=∠,DCE ECB
∠=∠,
ABF FBC
∠=∠,
AFE ABF
∴∠=∠,DCE DEC
∴由等角对等边可知:6
==,
AF AB
DE DC
==,6
情况1:当BF与CE相交时,如下图所示:
=+-,
AD AF DE EF
AD
∴=,
10
∴=,
BC
10
情况2:当BF与CE不相交时,如下图所示:
=++
AD AF DE EF
AD,
∴=
14
BC
∴=,
14
故答案为:10或14.
【点睛】
本题主要是考查了平行四边形的性质,熟练运用平行关系+角平分线证边相等,是解决本题的关键,还要注意根据BF和CE是否相交,本题分两类情况,如果没考虑仔细,会漏掉一种情况.
4、2
【解析】
【分析】
由四边形ABCD 为平行四边形,得到AD 与BC 平行,AD BC =,利用两直线平行得到一对内错角相等,由BE 为角平分线得到一对角相等,等量代换得到AEB ABE ∠=∠,利用等角对等边得到4AB AE ==,由AD AE -求出ED 的长即可.
【详解】
解:∵四边形ABCD 为平行四边形,
∴//,6AD BC AD BC ==,
∴AEB EBC ∠=∠,
∵BE 平分ABC ∠,
∴ABE EBC ∠=∠,
∴AEB ABE ∠=∠,
∴4AB AE ==,
∴642ED AD AE BC AE =-=-=-=.
故答案为:2.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质,熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键.
5、50
【解析】
【分析】
先利用平行四边形的性质,得//AD BC ,求得100BAD ∠=︒,再利用角平分线定义求50DAE ∠=︒,利用平行线性质,即可找到∠1与DAE ∠关系,即可得到答案.
【详解】
解:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴//AD BC .
∴180********∠=︒-∠=︒-︒=︒BAD B .
∵AE 平分,BAD ∠ ∴1502
DAE BAD ∠=∠=︒
∵//AD BC
∴50AEB DAE ∠=∠=︒
∵//CF AE
∴150AEB ∠=∠=︒
故填:50.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质,解答本题的关键是通过平行线的性质找到角与角之间的关系. 6、2
【解析】
【分析】
设运动时间为t 秒,则AP =t ,QC =2t ,而四边形ABQP 是平行四边形,所以AP =BQ ,则得方程t =6-2t 求解.
【详解】
解:如图,设t 秒后,四边形APQB 为平行四边形,
则AP =t ,QC =2t ,BQ =6-2t ,
∵AD ∥BC ,
∴AP ∥BQ ,
当AP =BQ 时,四边形ABQP 是平行四边形,
∴t=6-2t,
∴t=2,
当t=2时,AP=BQ=2<BC<AD,符合.
综上所述,2秒后四边形ABQP是平行四边形.
故答案为:2.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定,关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
7、90
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和已知推出AB=BE=AF=DF,AF=BE,AF∥BE,得到平行四边形AFEB,推出AF=DF=EF,然后推出∠AEB=∠AEF,∠FED=∠CED,由此即可求解.
【详解】
解:取AD的中点F,连接EF,
∵平行四边形ABCD,BC=2AB,E为BC的中点,
∴AD∥BC,AD=BC=2AB=2BE=2AF=2DF,
∴AB=BE=AF=DF,
∴AF=BE,AF∥BE,
∴∠EAF=∠AEB,四边形AFEB是平行四边形,
∴EF=AB=AF=DF,
∴∠AEF=∠EAF,
∴∠AEB=∠AEF,
同理可得∠FED=∠CED,
∵∠AEB+∠AEF+∠FED+∠CED=180°,
∴∠AEF+∠FED=∠AED=90°
故答案为:90°.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定,等腰三角形的性质与判定,能求出AF=DF=EF是解此题的关键.
8、8
【解析】
【分析】
根据题意由平行线的性质得到∠ADF=∠DFC,再由DF平分∠ADC,得∠ADF=∠CDF,则∠DFC=
∠FDC,然后由等腰三角形的判定得到CF=CD,同理BE=AB,则四边形ABCD是平行四边形,最后由平行四边形的性质得到AB=CD,AD=BC,即可得到结论.
【详解】
解:∵AD∥BC,
∴∠ADF=∠DFC,
∵DF平分∠ADC,
∴∠ADF=∠CDF,
∴∠DFC=∠CDF,
∴CF=CD,
同理BE=AB,
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,
∴AB=BE=CF=CD=5,
∴BC=BE+CF﹣EF=5+5﹣2=8,
∴AD=BC=8,
故答案为:8.
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定和性质和平行线的性质以及平行四边形的性质等知识,解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质以及平行四边形的性质.
9、72
【解析】
【分析】
求▱ABCD的面积,就需求出BC边上的高,可过D作DE∥AM,交BC的延长线于E,那么四边形ADEM 也是平行四边形,则AM=DE;在△BDE中,三角形的三边长正好符合勾股定理的逆定理,因此△BDE 是直角三角形;可过D作DF⊥BC于F,根据三角形面积的不同表示方法,可求出DF的长,也就求出了BC边上的高,由此可求出四边形ABCD的面积.
【详解】
解:作DE∥AM,交BC的延长线于E,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC=10
又∵AM∥DE,
∴四边形ADEM是平行四边形,
∴DE =AM =9,ME =AD =10,
∵M 是BC 的中点,
∴BM =12BC =1
2AD =5,
∴BE =BM +EM =15,
在△BDE 中,∵BD 2+DE 2=144+81=225=BE 2,
∴△BDE 是直角三角形,且∠BDE =90°,
过D 作DF ⊥BE 于F , ∴1122BD DE BE DF ⋅=⋅, ∴DF =365
BD DE BE ⋅=, ∴S ▱ABCD =BC •FD =10×
365=72. 故答案为:72.
【点睛】
此题主要考查平行四边形的性质与判定和勾股定理的逆定理,正确地作出辅助线,构造直角三角形是解题的关键.
10、45,135,45,135︒︒︒︒
【解析】
【分析】
先根据题意,画出图形,利用四边形的内角和等于360°,可得45C ∠=︒ ,然后利用平行四边形的
对角相等,邻角互补,即可求解.
【详解】
解:根据题意画出图形,如下图,
根据题意得:135EAF ∠=︒ ,90E F ∠=∠=︒ ,
在四边形AECF 中,
360EAF E C F ∠+∠+∠+∠=︒ ,
∴45C ∠=︒ ,
在平行四边形ABCD 中,BAD C ∠=∠ ,180ABC C ∠+∠=︒ ,ADC ABC ∠=∠ ,
∴45BAD C ∠=∠=︒,18045135ADC ABC ∠=∠=︒-︒=︒,
∴这个平行四边形的各内角的度数为45,135,45,135︒︒︒︒.
故答案为:45,135,45,135︒︒︒︒.
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质,四边形的内角和定理,熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
三、解答题
1、(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)先根据平行线的性质可得B DEF ∠=∠,再根据线段的和差可得BC EF =,然后根据三角形全等的判定定理(SAS 定理)即可得证;
(2)先根据平行四边形的判定与性质可得,AD BE AD BE =,从而可得AD CF =,再根据平行四边形的判定即可得证.
【详解】
证明:(1)AB DE ,
B DEF ∴∠=∠,
BE CF =,
BE CE CF CE ∴+=+,即BC EF =,
在ABC 和DEF 中,AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ()ABC DEF SAS ∴≅△△;
(2),AB DE AB DE =,
∴四边形ABED 是平行四边形,
,AD BE AD BE ∴=,
BE CF =,
AD CF ∴=, 又点,,,B E C F 在一条直线上,且AD BE ,
AD CF ∴,
∴四边形ACFD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点,熟练掌握三角形全等的判定定理和平行四边形的判定是解题关键.
2、(1)见解析;(2)(-2,2),(-2,-4),(2,-2)
【解析】
【分析】
(1)将△ABC绕着点O旋转180°,即可作出其关于点O对称的△A′B′C′;
(2)根据平行四边形的不同位置,分三种情况进行讨论,得出点D的三种不同的坐标.【详解】
解:(1)如图:
△A′B′C′即为所求;
(2)如图,四边形ACOD1、四边形AD2CO、四边形ACD3O都是平行四边形,
由图可得,D1(-2,2),D2(-2,-4),D3(2,-2)
故点D的坐标为(-2,2),(-2,-4),(2,-2).
【点睛】
本题主要考查了中心对称作图以及平行四边形,解决问题的关键是掌握中心对称的概念以及平行四边形的性质.作图时注意,中心对称的两个图形,对应点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.
3、(1)△ACB是直角三角形,理由见解析;(2)D1(0,-1),D2(-4,1),D3(4,7).
【解析】
【分析】
(1)根据勾股定理的判定即可确定△ABC的形状;
(2)根据平行四边的性质与判定定理,结合图形,即可得出答案.
【详解】
解:(1)∵ 222
AB
4325
4220
AC=+=,22215
BC=+=,222
∴ 222
=+
AB AC BC
∴△ACB是直角三角形;
(2) D1(0,-1),D2(-4,1),D3(4,7)
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定,平行四边形的性质和判定,平面直角坐标系中点的坐标,解题的关键结合平行四边形的性质写出点的坐标.
4、 (1)见解析
(2)5
【解析】
【分析】
(1)根据平行四边形的性质可画出BE //AD ;根据勾股定理可计算BF ,CF ,运用勾股定理逆定理判断出BCF ∆是直角三角形可得出BF CD ⊥;
(2)运用勾股定理得出EF ,再运用三角形面积公式求出即可.
(1)
如图,BE ,BF 即为所求;
(2)
∵BF =EF =
∴11522BEF S BE EF ∆==⨯=
【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图,掌握三角形的面积的求法与勾股定理及其逆定理的应用是解题的关键.
5、见解析
【解析】
【分析】
由在▱ABCD中,AB=2AD,M为AB的中点,易证得DM,CM分别平分∠ADC与∠BCD,即可求得∠CDM+∠DCM=90°,即可证得结论.
【详解】
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB∥CD,
∴∠CDM=∠AMD,∠DCM=∠BMC,
∵AB=2AD,M为AB的中点,
∴AD=AM=BM=BC,
∴∠ADM=∠AMD,∠BCM=∠BMC,
∴∠ADM=∠CDM=1
2∠ADC,∠DCM=∠BCM=1
2
∠BCD,
∵AD∥BC,
∴∠ADC+∠BCD=180°,
∴∠CDM+∠DCM=90°,
∴∠DMC=90°,
即DM⊥MC.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质.注意证得DM,CM分别平分∠ADC与∠BCD是关键.。