高考数学二轮复习讲义 数形结合

高考数学二轮复习讲义 数形结合
一、课前导读
⑴数形结合是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻找解决问题的方法的一种数学思想。

⑵数形结合的本质是：
几何图形的性质反映了数量关系 数量关系决定了几何图形的性质
⑶数形结合作为一种数学思想方法大致分为： ①借助数的精确性来阐明形的某些属性
②借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系 ⑷数形结合作为手段主要用于：
①平面几何、立体几何的一些算法（与解三角形有关的计算） ②解析几何中点与坐标、曲线与方程、区域(区间)与不等式的对应 ③函数与它的图象以及有关几何变换
④三角函数的概念、向量及其运算的几何意义 ⑤集合的图示 ⑥导数的几何背景
二、典型例题 ★2
2
1log log a
b <<、若0,则（ ）
()1A a b <<<0()1B b a <<<0()1C a b >>()1D b a >>
★22cos sin x y x x π
≤=+、若
，则的最小值为_______4
★343()7()17()1()1
x x a a A a B a C a D a --<><<>≥、不等式+有实数解，则的取值范围是（ ）
★2242)y x y x y x
-、若实数,满足(+=3，则的最大值为_______
★25402x y x y x y x y ++=-2、若，满足-2，则的最大值为_____
★2643x x x m m -+=、关于的方程有四个不等实根，则的取值范围为___________ ★
7{{}A x y y B x y y x a A B a ==+⋂≠∅、（，），（，）=，若，则的
取值范围为_____________
★
1
8()log ()0()x a f x f x f x +=>∞、已知在区间(-1,0)上有，则在(-,-1)上是____函数(填
增或减)
★★229[1,1]()442()13()13()12()12
[1,1]()442a f x x a x a x
A x
B x x
C x
D x x x f x x a x a a
∈-=-+-<<<><<<>∈-=-+-、对于任何，函数+()的值总大于零，则 的取值范围是（ ）
或 或 变题：对于任何，函数+()的值总大于零，则 的取值范围是_____________
★★10()(0)(0,)()1,(1)0y f x x x f x x f x =≠∈+∞=--<、若奇函数在时，则的解集为_________
★★211(0,1)x x a x ax a a a +>≠、关于的方程=-+2的解的个数为_____
★★212AB y x M AB
M y 、定长为3的线段的两个端点在抛物线=2上移动,为线段 的中点,求点到轴的最短距离
★★213()3[2,2]()f x x ax x f x a a =+∈-≥、已知函数+,当时,恒成立,求的取值范围
★★14[0,2]sin x a x x a π∈+=、已知，为实数，讨论的解的个数
★★
15sin 0021a a θθπαβαβ++=+在(，)上有相异二解、 （）求的取值范围 （2）求的值
★★★
1635320x y R x y -+--=222、若圆()+()=上有且仅有两点到直线4的距离为1，
R 则的范围为____________
★
★
★
172,2OB OA OA OB αα→
→
→
→
、向量=(2,0)，=()，则,的夹角的范围是________
★★★18S ABC αα、正三棱锥-，其相邻两侧面所成的角为，则的取值范围为________
★★★19x R y ∈=、，则
★★★220()log ()log 10()log (205),()()
a a a
f x a x
g x x f x g x a =-+=-<、设函数，若 不等式的整数解只有1，求的取值范围
★★★2
2
2221cos sin cos sin ,1
cos cos 0,0202
22
a b c a b c b a a b ac ααββα
β
+=+=+=≠≠++=、已知，且
()，求证：
三、巩固练习
★1523()()()()x x A B C D <<-<、命题甲：0；命题乙：，则甲是乙的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条件
★2()[37]5()[73]()()()()f x f x A B C D --、如果奇函数在区间，上是增函数，且最小值是，那么在区间
，上是（ ）
增函数且最小值是-5 增函数且最大值是-5 减函数且最小值是-5 减函数且最大值是-5
★2321()()()()x x A B C D =+、方程的实根的个数是（ ）
1 2 3 4
★4log
2log 20log 2log 2()()()()d
c b a a b c
d A a b c d B a b d c C b a c d D b a d c
<<<<>>>>>><<<<<<、若，则、、、的大小关系为（ ）
★536
34()()()2()A B C D π1、球面上有个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，
经过这个点的小圆的周长为，则这个球的半径为（ ）
★62,3(3,2(0,2)A B P P l AB -、已知点（-）、）、，过点的直线与线段有公共点， l k 则直线的斜率的取值范围为____________
★
73102360_______
kx y k x y k -++=+-=、设直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是
★8_____、三边的长都是整数，且最大边长为9的三角形的个数是
★22
91916
,x y -、设圆过双曲线=的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线
上则圆心到双曲线中心的距离是_______
★★100sin tan 2
παααα<<<<、已知,求证：
★★21112
()(1)(3)()(2)(3)()(2)(3)(4)()(3)
x y x x y y x A B C D -=-=、设函数，则下列命题中正确的是（ ）
（1）图象上一定存在两点，这两点的连线平行于轴 （2）图象上任意两点的连线都不平行于轴
（3）图象关于直线对称（4）图象关于原点中心对称 和 和 和和
★★12101____x x <<>+、“若-”，这一命题的否命题的真值为
★★138040()()()()P P A B C D αβαβ︒︒、已知平面、成角，为空间的一定点，则过点且与平面、所
成的角都等于的直线至多有（ ） 1条 2条 3条 4条
★★14、10个相同的小球放入1、2、3号盒中，要求每个盒子的球数不小于它的编号数，
则不同的放入种数为_______
★★2115log 0(0,2
m
x x m -<、方程不等式在)时成立，则的取值范围是_______
★★
222160(0)2ax bx a ab a b b +=>∅-、已知方程+的解集是，则+的取值范围是_____________
★
★★
171(2)__________x k x a a k a --+、若方程=，对任意实数都有解，则实数的取值范围是
★★★18,(2,2)(),()()OA OB A a b B b a a b OP R OA OB
λ→→
→
→→≠=-∈、已知点（），若，
P 则点的轨迹方程是____________
★★★221212112222191,259
((4,0)x y F F PF PF PF PF PF B F MF MB MF MB +--+、设椭圆=上一点、为焦点,=4,求 变题:(1)若去掉条件=4，求的最大值
(2)若、,求的最大值 (3)在(2)中求的最大值
★★★2200,2,244;442,2
x x ax b a b b a b b αβαβαβ+=<<<+<<+<<<、已知关于的实系数二次方程+有两个实根。

证明：
（1）如果，那么2，且（2）如果2，且，那么
★★★21、2人相约9点到10点在一地点会面，早到的人要等20分钟才能离开，
则2人会面的概率是______
答 案
二、典型例题 1、B ； 2
； 3、C ； 4
5、10；
6、0<m<1 ；
7、[－
]； 8、增； 9、B ； 10、{012}x x x <<<或； 11、２； 12、
3
2
； 13、－７≤m ≤２； 14、a>2时无解；a= 2±时,1
解；202a a -<<<<,2解
,0a ≤≤解 15
、(2,(2)-⋃；
73
3
ππ或
16、(4,6)； 17、[15◦,75◦]； 18、[60◦,180◦]； 19、(－1,1)； 20、2≤ a<5
2
；
21、证明：设(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ ，
则,A B 在直线ax by c +=上，又在圆2
2
1x y +=上
∵2
2
1
cos
cos 222α
β
+=
∴cos cos 1αβ+=-
即11(cos cos )22
αβ+=- 取AB 中点C ，则12(,)22a c
C b
+-
又,AB OC ⊥∴1AC AB k k ⋅=-
即2211
2
a c a
b b +-⋅=--，化简得：22
20a b ac ++=
二、巩固练习
1、A ；
2、B ；
3、C ；
4、A ；
5、B ；
6、5423k k ≤-≥
或； 7、11
(,)63
-；
8、25； 9、
163； 11、B ； 12、真； 13、C ； 14、15； 15、1(,1)16； 16、4
(,)5
-+∞； 17、1
[,1]3
； 18、(0)y x x =-≠；19、
25,12 21、解：设,x y 分别为2人到达的时刻，060,060x y ≤≤≤≤
则20x y -≤，由图知：所求概率为22
260(6020)5
609
--=
x
y
60。