【名师精选】黄石市大冶市九年级上期末数学试卷(有答案)

2017-2018学年湖北省黄石市大冶市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列是电视台的台标，属于中心对称图形的是（）
A．B． C．D．
2．（3分）成语“水中捞月”所描述的事件是（）
A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定
3．（3分）反比例函数y=经过（）象限．
A．第一和第三B．第二和第四C．第一和第二D．第三和第四
4．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，计划八、九月份共生产零件146万个，设八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（）
A．50（1+）2=146 B．50+50（1+）+50（1+）2=146
C．50（1+）+50（1+）2=146 D．50+50（1+）+50（1+2）=146
5．（3分）用配方法解方程2﹣6﹣5=0时，原方程应边形为（）
A．（+3）2=14 B．（﹣3）2=14 C．（+6）2=41 D．（﹣6）2=41
6．（3分）已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是（）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定
7．（3分）将抛物线y=2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数
表达式是（）
A．y=（+2）2+1 B．y=（+2）2﹣1 C．y=（﹣2）2+1 D．y=（﹣2）2﹣1
8．（3分）已知扇形的弧长为3πcm，半径为6cm，则此扇形的圆心角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
9．（3分）如图所示，二次函数y=a2+b+c的图象中，王慧同学观察得出了下面四条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞﹣1；（3）2a+b＜0；（4）a+b+c＜0，其中正确的有（）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4cm，动点P从点A出发，以lcm/s的速度沿线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是（s）时，△APQ的面积是y（cm2），则能够反映y与之间函数关系的图象大致是（）
A． B．C．
D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．12．（3分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，若∠COB=150°，则∠A=度．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分的面积为．
14．（3分）如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=．
15．（3分）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红
球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球个．
16．（3分）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（a，a）．如图，若曲线与此正方形的边有交点，则a的取值范围是．
三、解答题（共72分）
17．（7分）计算：|﹣2|+（）﹣1﹣（π﹣3.14）0﹣．
18．（7分）先化简，再求值：（+）÷，其中=﹣1．
19．（7分）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出，并写出这个不等
式组的正整数解．
20．（8分）已知关于的一元二次方程2+2﹣（m﹣2）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根1、2满足1﹣2=4，求m的值．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂
线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．
22．（8分）某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定
第一场比赛的人选．
（1）若已确定甲参加第一次比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，写出参加第一场比赛选手的所有可能，并求选中乙、丙两
位同学参加第一场比赛的概率．
23．（8分）某公司在销售一种进价为10元的产品时，每年总支出为10万元（不含进货支出），经过若干年销售得知，年销售量y（万件）是销售单价（元）的一次函数，并得到如
下部分数据：
销售单价（元）12141618
年销售量y（万件）7654
（1）求出y关于的函数关系式；
（2）写出该公司销售这种产品的年利润w（万元）关于销售单价（元）的函数关系式；当
销售单价为何值时，年利润最大？
24．（9分）如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．
（1）如图2，在等边△ABE中，D、C分别是边AE、BE的中点，连接CD，问四边形ABCD 是互补等对边四边形吗？请说明理由．
（2）如图3，在等腰△ABE中，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠AEB．
（3）如图4，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中．直线y=﹣+3与轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=a2+b+c经过B，C两点，与轴负半轴交于点A，连结AC，A（﹣1，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；
（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标．
2017-2018学年湖北省黄石市大冶市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列是电视台的台标，属于中心对称图形的是（）
A．B． C．D．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
2．（3分）成语“水中捞月”所描述的事件是（）
A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定
【解答】解：水中捞月是不可能事件，
故选：C．
3．（3分）反比例函数y=经过（）象限．
A．第一和第三B．第二和第四C．第一和第二D．第三和第四
【解答】解：∵反比例函数y=中=1＞0，
∴图象在一三象限，
故选：A．
4．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，计划八、九月份共生产零件146万个，设八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（）
A．50（1+）2=146 B．50+50（1+）+50（1+）2=146
C．50（1+）+50（1+）2=146 D．50+50（1+）+50（1+2）=146
【解答】解：根据题意得：八月份生产零件为50（1+）（万个）；九月份生产零件为50（1+）
2（万个），
则满足的方程是50（1+）+50（1+）2=146，
故选：C．
5．（3分）用配方法解方程2﹣6﹣5=0时，原方程应边形为（）
A．（+3）2=14 B．（﹣3）2=14 C．（+6）2=41 D．（﹣6）2=41
【解答】解：2﹣6=5，
2﹣6+9=14，
（﹣3）2=14．
故选：B．
6．（3分）已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是（）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定
【解答】解：∵OP=3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．
故选：A．
7．（3分）将抛物线y=2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）
A．y=（+2）2+1 B．y=（+2）2﹣1 C．y=（﹣2）2+1 D．y=（﹣2）2﹣1
【解答】解：将抛物线y=2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y=（﹣2）2+1．
故选：C．
8．（3分）已知扇形的弧长为3πcm，半径为6cm，则此扇形的圆心角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：解：∵l=，l=3πcm，r=6cm，
∴3π＝，
解得n=90°．
故选：D．
9．（3分）如图所示，二次函数y=a2+b+c的图象中，王慧同学观察得出了下面四条信息：
（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞﹣1；（3）2a+b＜0；（4）a+b+c＜0，其中正确的有（）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由图可知，抛物线与轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故（1）正确；
∵抛物线与y轴的交点（0，c）在（0，﹣1）的上方，
∴c＞﹣1，故（2）正确；
∵对称轴=﹣＜1，且a＞0，
∴﹣b＜2a，则2a+b＞0，故（3）错误；
由图象知，当=1时，y＜0，即a+b+c＜0，故（4）正确；
故选：C．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4cm，动点P从点A出发，以lcm/s的速度沿线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是（s）时，△APQ的面积是y（cm2），则能够反映y与之间函数关系的图象大致是（）
A． B．C．
D．
【解答】解：当点Q在AD上运动时，0≤≤1，
y=?AP?AQ=?（2）?=2；
当点Q在CD上运动时，1＜≤3，
y=?AP?AD=??2=；
当点Q在CB上运动时，3＜≤4，
y=?AP?CB=??（8﹣2）=﹣2+4，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，3）．【解答】解：点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）．
12．（3分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，若∠COB=150°，则∠A=75度．
【解答】解：∵OC=OB，∠COB=150°，
∴∠OBC=∠OCB=15°，
∴∠AOB=150°，
由圆周角定理得，∠A=∠AOB=75°，
故答案为：75．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分
的面积为．
【解答】解：连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=（垂径定理），
故S△OCE=S△ODE，
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°（圆周角定理），
∴OC=2，
故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．
故答案为：．
14．（3分）如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=6．
【解答】解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于||=4，
∴S1+S2=4+4﹣1×2=6．
故答案为6．
15．（3分）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红
球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球8个．
【解答】解：由题意可得，
摸到黑球和白球的频率之和为：1﹣0.4=0.6，
∴总的球数为：（8+4）÷0.6=20，
∴红球有：20﹣（8+4）=8（个），
故答案为：8．
16．（3分）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（a，a）．如图，若曲线与此正方形的边有交点，则a的取值范围是≤a．
【解答】解：∵A点的坐标为（a，a）．
根据题意C（a﹣1，a﹣1），
当C在曲线时，则a﹣1=，
解得a=+1，
当A在曲线时，则a=，
解得a=，
∴a的取值范围是≤a．
故答案为≤a．
三、解答题（共72分）
17．（7分）计算：|﹣2|+（）﹣1﹣（π﹣3.14）0﹣．
【解答】解：原式=2﹣+2﹣1﹣3
=﹣．
18．（7分）先化简，再求值：（+）÷，其中=﹣1．
【解答】解：（+）÷
=
=
=，
当=﹣1时，原式=．
19．（7分）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出，并写出这个不等式组的正整数解．
【解答】解：
解不等式①，得＜4，
解不等式②，得≥﹣2，
所以，原不等式组的解集是﹣2≤＜4
在数轴上表示如下：
所以，原不等式组的正整数解是1，2，3．
20．（8分）已知关于的一元二次方程2+2﹣（m﹣2）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根1、2满足1﹣2=4，求m的值．
【解答】解：
（1）∵关于的一元二次方程2+2﹣（m﹣2）=0有实数根，
∴△≥0，即22﹣4[﹣（m﹣2）]≥0，解得m≥1；
（3）∵1﹣2=4，
∴21﹣（1+2）=4，
又由根与系数的关系可得1+2=﹣2，
∴21+2=4，解得1=1，
∴1+2﹣（m﹣2）=0，解得m=5．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．
【解答】证明：（1）如图1，连接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF=90°，
∴BF是圆O的直径．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）如图2，连结DE．
∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC=EH．
∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，
∴∠CDE=∠HFE．
在△CDE与△HFE中，
，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD=HF．
22．（8分）某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定
第一场比赛的人选．
（1）若已确定甲参加第一次比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，写出参加第一场比赛选手的所有可能，并求选中乙、丙两
位同学参加第一场比赛的概率．
【解答】解：（1）根据题意，甲参加第一场比赛时，有（甲，乙）、（甲，丙）两种可能，∴另一位选手恰好是乙同学的概率；
（2）画树状图如下：
所有可能出现的情况有6种，其中乙丙两位同学参加第一场比赛的情况有2种，
∴选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率为=．
23．（8分）某公司在销售一种进价为10元的产品时，每年总支出为10万元（不含进货支出），经过若干年销售得知，年销售量y（万件）是销售单价（元）的一次函数，并得到如
下部分数据：
销售单价（元）12141618
年销售量y（万件）7654
（1）求出y关于的函数关系式；
（2）写出该公司销售这种产品的年利润w（万元）关于销售单价（元）的函数关系式；当
销售单价为何值时，年利润最大？
【解答】解：（1）设y=+b，
根据题意，得：，
解得：，
则y=﹣+13；
（2）∵该公司年利润w=（﹣+13）（﹣10）﹣10=﹣（﹣18）2+22，
∴当=18时，该公司年利润最大，最大值为22万元．
24．（9分）如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．
（1）如图2，在等边△ABE中，D、C分别是边AE、BE的中点，连接CD，问四边形ABCD 是互补等对边四边形吗？请说明理由．
（2）如图3，在等腰△ABE中，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠AEB．
（3）如图4，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【解答】解：（1）四边形ABCD是互补等对边四边形，
理由：如图2，∵△ABE是等边三角形，
∴AE=BE，
连接AC，BD，
∵点D是AE的中点，
∴BD⊥AE，
∴∠ADB=90°，
同理：∠BCA=90°，
∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°
∴四边形ABCD是互补等对边四边形．
（2）∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵四边形ABCD是互补等对边四边形，
∴AD=BC，
在△ABD和△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
∴∠ADB=∠BCA，
又∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA==90°﹣∠AEB，∴∠ABD=90°﹣∠EAB=90°﹣（90°﹣∠AEB）=∠AEB，
同理：∠BAC=∠AEB，
∴∠ABD=∠BAC=∠AEB；
（3）仍然成立；
理由如下：如图4所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，
∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，
又∠ADB+ADG=180°，
∴∠BCA=∠ADC，
又∵AG⊥BD，BF⊥AC，
∴∠AGD=∠BFC=90°，
在△AGD和△BFC中，
∴△AGD≌△BFC，
∴AG=BF，
在△ABG和△BAF中，
∴△ABG≌△BAF，
∴∠ABD=∠BAC，
∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠EDB+∠ECA=180°，
∴∠AEB+∠DHC=180°，
∵∠DHC+∠BHC=180°，
∴∠AEB=∠BHC．
∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，
∴∠ABD=∠BAC=∠AEB．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中．直线y=﹣+3与轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=a2+b+c经过B，C两点，与轴负半轴交于点A，连结AC，A（﹣1，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；
（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标．
【解答】解：（1）当=0时，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=3，
当y=0时，﹣+3=0，
=3，
∴B（3，0），
∵A（﹣1，0），
设抛物线的解析式为：y=a（+1）（﹣3），
把C（0，3）代入得：3=a（0+1）（0﹣3），
∴a=﹣1，
∴y=﹣（+1）（﹣3）=﹣2+2+3；
（2）如图1，过P作PE⊥轴于E，
∵P（m，n），
∴OE=m，BE=3﹣m，PE=n，
S=S梯形COEP+S△PEB=OE（PE+OC）+BE?PE，
=m（n+3）+n（3﹣m），
=m+n，
∵n=﹣m2+2m+3，
∴S=m+（﹣m2+2m+3）=﹣m2+m+=﹣（m﹣）2+，当m=时，S有最大值是；
（3）y=﹣2+2+3=﹣（﹣1）2+4，
∴M（1，4），
设直线BM的解析式为：y=+b，
把B（3，0），M（1，4）代入得：，
解得：，
∴直线BM的解析式为：y=﹣2+6，
设N（a，﹣2a+6），Q（n，﹣n+3），
分两种情况：
①当N在射线MB上时，如图2，
过Q作EF∥y轴，分别过M、N作轴的平行线，交EF于E、F，∵△EQN是等腰直角三角形，
∴MQ=QN，∠MQN=90°，
∴∠EQM+∠FQN=90°，
∵∠EQM+∠EMQ=90°，
∴∠FQN=∠EMQ，
∵∠QEM=∠QFN=90°，
∴△EMQ≌△FQN，
∴EM=FQ，EQ=FN，
∴，
解得：，
当a=2时，y=﹣2a+6=﹣2×2+6=2，
∴N（2，2），
②当N在射线BM上时，如图3，
同理作辅助线，得△ENQ≌△FQM，
∴EN=FQ，EQ=FM，
∴，
解得：，
∴N（﹣1，8），
综上所述，点N的坐标为（2，2）或（﹣1，8）．。