高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨3.3平面与圆锥面的截线练习含解析新人教A版选修41092359

高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨3.3平面与圆锥面的截线练习含解析新人教A版选修41092359
课时过关·能力提升
基础巩固
1已知圆锥的顶角为50°,圆锥的截面与轴线所成的角为30°,则截线是()
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
α=50°
2
=25°,β=30°,β>α,
故截线是椭圆,故选B.
2已知平面π与圆锥的轴线平行,圆锥母线与轴线夹角为60°,则平面与圆锥交线的离心率是()
A.2
B.1
2C.√3
2
D.2√3
β,母线与轴线夹角为α,由题意,知β=0°,α=60°,故e=cosβ
cosβ=1
1
2
=2.
3若以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆和相应准线相切,则这样的圆锥曲线是() A.不存在的 B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
,应选D.
4已知双曲线的两条准线把两个焦点所连线段三等分,则它的离心率为()
A.√2
B.√3
C.√6
2
D.2√3
2a,虚轴长为2b,焦距为2c.
·3,故e=√3.
由题意知2c=2β2
β
5已知圆锥母线与轴夹角为60°,平面π与轴夹角为45°,则平面π与圆锥交线的离心率是,该曲线的形状是.
=√2>1,∴曲线为双曲线.
e=cos45°
cos60°
√2双曲线
6设圆锥面是由直线l'绕直线l旋转而得,l'与l交点为V,l'与l的夹角为α(0°<α<90°),不经过圆锥顶点V的平面π与圆锥面相交,设轴l与平面π所成的角为β,则
当时,平面π与圆锥面的交线为圆;
当时,平面π与圆锥面的交线为椭圆;
当时,平面π与圆锥面的交线为双曲线;
当时,平面π与圆锥面的交线为抛物线.
=90°α<β<90°β<αβ=α
7一圆锥面的母线和轴线成30°角,当用一个与轴线成30°角的不过顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线是.
β=30°,α=30°,则β=α.
则截线是抛物线,如图.
8已知一圆锥面S 的轴线为Sx ,轴线与母线的夹角为30°,在轴上取一点O ,使SO=3 cm,球O 与这个锥面相切,求球O 的半径和切点圆的半径.
,OH=1
2SO=3
2cm,
HC=OH sin60°=3
2×
√32=
3√34
(cm).
所以球O 的半径为32
cm,切点圆的半径为3√34
cm .
能力提升
1已知双曲线两个焦点的距离为10,双曲线上任一点到两个焦点距离之差的绝对值为6,则双曲线的离心率为 ( )
A.3
5
B.4
5
C.1
D.5
3
2a ,虚轴长为2b ,焦距为2c.由题意知,2c=10,2a=6,故e=ββ
=5
3
.
2线段AB 是抛物线的焦点弦,F 为焦点.若点A ,B 在抛物线准线上的正射影分别为点A 1,B 1,则∠
A 1F
B 1等于
( )
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
,由抛物线定义,知AA 1=AF ,
∴∠AA 1F=∠AFA 1.
又AA 1∥EF ,
∴∠AA 1F=∠A 1FE , ∴∠AFA 1=∠A 1FE , ∴FA 1是∠AFE 的平分线.
同理,FB 1是∠BFE 的平分线,
∴∠A 1FB 1=12∠AFE+1
2∠BFE =1
2(∠AFE+∠BFE )=90°.
3如图,F 1,F 2是椭圆C 1:
β24
+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共
点.若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )
A.√2
B.√3
C.3
2
D.√62
C 1中,|AF 1|+|AF 2|=4,|F 1F 2|=2√3.
又因为四边形AF 1BF 2为矩形, 所以∠F 1AF 2=90°. 所以|AF 1|2
+|AF 2|2
=|F 1F 2|2
, 解得|AF 1|=2-√2,|AF 2|=2+√2.
所以在双曲线C 2中,2c=2√3,2a=|AF 2|-|AF 1|=2√2,故e=β
β=√3√2
=
√6
2
,故选D .
4已知椭圆两条准线间的距离为20,长轴长为10,则短轴长为 .
2a ,短轴长为2b ,焦距为2c.
由{2β=10,2β2β
=20,
得a=5,c=52,
则2b=2√β2-β2=5√3.
√3
5已知一平面与圆柱面的母线成45°角,平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6,则圆柱面内切球的半径为 .
2a=6,得a=3.
又e=cos45°=√2
2,
∴c=e ·a=√22×3=
3√22
.
∴b=√β2-β2=√32-9
2=
3√22
. ∴圆柱面内切球的半径r=
3√22
.
6如图,抛物线的焦点为F ,顶点为A ,准线为l ,过点F 作PF ⊥AF.求证:AF=1
2PF.
,过点P 作PB ⊥l 于点B.
由抛物线的定义知PB=PF ,AH=AF , 又HF=BP ,
故AF=1
2HF=1
2BP=1
2PF.
★7如图,已知圆锥母线与轴的夹角为α,平面π与轴线夹角为β,Dandelin球的半径分别为R,r,且α<β,R>r,求平面π与圆锥面交线的焦距F1F2,轴长G1G2.
β>α知截线为椭圆,通过数形结合转化到相应平面上求解.
O1F1,O2F2,O1O2交F1F2于点O,
在Rt△O1F1O中,OF1=β1β1
tan∠β1ββ1=β
tanβ
.
在Rt△O2F2O中,OF2=β2β2
tan∠β2ββ2=β
tanβ
.
则F1F2=OF1+OF2=β+β
tanβ
.
同理,O1O2=β+β
sinβ
.
连接O1A1,O2A2,过O1作O1H⊥O2A2.
在Rt△O1O2H中,O1H=O1O2·cosα=β+β
sinβ
·cosα.又O1H=A1A2,
由切线定理,容易验证G1G2=A1A2,
故G1G2=β+β
sinβ
·cosα.。