高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析

高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
1.直线l
1的斜率为2，l
1
∥l
2
，直线l
2
过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()
A．(3,0)B．(－3,0)C．(0，－3)D．(0,3)【答案】D
【解析】∵l
1∥l
2
，且l
1
的斜率为2，
∴l
2
的斜率为2，
又l
2过(－1,1)，
∴l
2
的方程为y－1＝2(x＋1)，
整理即得y＝2x＋3，
令x＝0，即得P(0,3)．
故选D．
2.[2014·长春三校调研]一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()
A．m>1，且n<1B．mn<0
C．m>0，且n<0D．m<0，且n<0
【答案】B
【解析】因为y＝－x＋经过第一、三、四象限，故－>0，<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选B.
3. [2014·南宁模拟]直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()
A．
B．
C．∪
D．∪
【答案】B
【解析】将直线方程变形为y＝－x－，
∴直线的斜率k＝－.
∵a2＋1≥1，∴0<≤1.
∴－1≤k<0，
即－1≤tanα<0.
∴π≤α<π.故选B.
4. [2014·汕头质检]若三点A(2,3)，B(3,2)，C(，m)共线，则实数m＝________.
【答案】
【解析】k
AB ＝＝－1，k
AC
＝，
∵A，B，C三点共线，∴k
AB ＝k
AC
，
∴＝－1，解得m＝.
5.已知为椭圆：的左、右焦点，过椭圆右焦点F
2
斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，的周长为8，且椭圆C与圆相切。

（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为，求证为定值．
【答案】（1）（2）=证明详见解析．
【解析】（1）由的周长为8，可得4a=8，又由椭圆C与圆相切，可得b2=3，即可求得椭圆的方程为．
（2）设过点的直线方程为：，设点，点，将直线方程代入椭圆中，整理可得关于x的一元二次方程，该方程由两个不等的实数根，其判别式恒大于零，求出，的表达式，由点斜式分别写出直线AE，AF的方程，然后求出点M，N的坐标，在求出点P的坐标，由两点的斜率公式求出直线的斜率，整理即可求得=．
（1）由题意得 3分
所求椭圆C的方程为． 4分
（2）设过点的直线方程为：，
设点，点 5分
将直线方程代入椭圆
整理得： 6分
因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，
且 7分
直线的方程为：，直线的方程为：
令，得点，，
所以点的坐标 9分
直线的斜率为
11分
将代入上式得：
所以为定值
【考点】 1．椭圆的方程和性质；2．直线的斜率公式；3．直线与曲线的位置关系．
6.若直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是．
【答案】
【解析】因为直线的倾斜角为钝角，所以
【考点】直线斜率
7.在直角坐标系中，直线y＝－x＋1的倾斜角为____________．
【答案】
【解析】∵ tanα＝k＝－，又α∈[0，π)，∴ α＝.
8.设直线l的倾斜角为α，且≤α≤，则直线l的斜率k的取值范围是______________．【答案】∪[1，＋∞)
【解析】由k＝tanα关系图(如下)知k∈∪[1，＋∞)．
9.直线xcosθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．
【答案】∪
【解析】由题知k＝－cosθ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.
10.直线xtan＋y＝0的倾斜角是________．
【答案】
【解析】k＝－tan＝tan＝tan，且∈[0，π)．
11.若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是
________．
【答案】(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【解析】由条件知直线的斜率存在，由公式得k＝，因为倾斜角为锐角，所以k>0，解得
a>1或a<－2.所以a的取值范围是{a|a>1或a<－2}．
12.过点M(-,),N(-,)的直线的倾斜角是()
A．πB．C．D．
【答案】B
【解析】由斜率公式得k==1.
又倾斜角范围为[0,π),∴倾斜角为.
13.已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.
（1）求实数的值；
（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数的值；（2）设点的坐标为，点的
坐标为，利用条件确定与、之间的关系，再结合点在双曲线上这一条件，以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点、
的坐标分别为、，结合（2）得到，，引入参数，利用转化为相应的条件，利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式
，进而证明点恒在定直线上；证法二是设直线的方程为
，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件进行等价转化为，结合韦达定理化简为，最后利用点在直线上得到
，从而消去得到
，进而证明点恒在定直线上.
试题解析：（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为，由于，解得，
故双曲线的方程为；
（2）设点的坐标为，点的坐标为，易知点，
则，，
，因此点的坐标为，
故直线的斜率，直线的斜率为，
因此直线与直线的斜率之积为，
由于点在双曲线上，所以，所以，
于是有
（定值）；
（3）证法一：设点且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点、，由（2）知，，，
设，则，即，
整理得，
由①③，②④得，，
将，，代入⑥得，⑦，
将⑦代入⑤得，即点恒在定直线上；
证法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，
消去得，
因为直线与双曲线的右支交于不同的两点、，
则有，
设点，由，得，
整理得，
将②③代入上式得，
整理得，④
因为点在直线上，所以，⑤
联立④⑤消去得，所以点恒在定直线.
【考点】1.双曲线的离心率；2.向量的坐标运算；3.斜率公式；4.韦达定理
14.直线的倾斜角为，则的值为_________。

【答案】
【解析】由题意可知，，则．
【考点】直线的斜率，三角函数求值．
15.若直线的倾斜角是,则 (结果用反三角函数值表示).
【答案】
【解析】直线的倾斜角与斜率的关系是：倾斜角是，则斜率为.
【考点】直线的倾斜角与斜率.
16.若直线的倾斜角是,则 (结果用反三角函数值表示).
【答案】
【解析】直线的倾斜角与斜率的关系是：倾斜角是，则斜率为.
【考点】直线的倾斜角与斜率.
17.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的
点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的倾斜角；
（2）若直线与曲线交于两点，求
【答案】（1）（2）
【解析】（1）可以先求出直线l的普通方程，即,所以斜率为,倾斜角为.
（2）先求出曲线C的普通方程为,再求出圆心到直线l的距离d，进而利用即可求值.
（1）设直线的倾斜角为，则且，
，即直线的倾斜角为…………………………5分
（2）的直角坐标方程为，
的直角坐标方程为，
所以圆心到直线的距离，
18.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( ) A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直线上的点到圆心的距离为，则切线长
，故选B
19.直线：的倾斜角为（填弧度值）
【答案】
【解析】由直线方程知斜率
20.若过点k(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α为钝角，则实数a的取值范围为
____________
【答案】(－2,1)
【解析】略
21.经过点和的直线倾斜角等于，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】略
22.（本小题满分10分）
已知直线l经过点P（1，1），倾斜角．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程
（Ⅱ）设l与圆x2＋y2＝4相交与两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．
【解析】（1）直线的参数方程为，即…………………5分
（2）把直线代入
得
，则点到两点的距离之积为…………………10分
23.直线x sin2－y cos2＝0的倾斜角的大小是( )
A．－B．－2C．D．2
【答案】D
【解析】略
24.已知点在直线上,点Q在直线上，PQ的中点为,且,则
的取值范围是________.
【答案】
【解析】略
25.设点是曲线上的任意一点，P点处切线倾斜角的取值范围
（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】略因为，，所以，，
即P点处切线的斜率为，所以，，P点处切线倾斜角的取值范围是
，选C.
【考点】导数的几何意义，直线的斜率与倾斜角。

点评：简单题，利用“曲线切线的斜率，等于在切点处的导函数值”，得到斜率的表达式。

26.若圆上至少有三个不同点到直线的距离为则直线的斜率的取值区间为．
【答案】
【解析】
斜率即是该范围
27.已知过、两点的直线与直线平行，则的值为 ( ) A．B．C．D．
【答案】B
【解析】略
28.直线经过两点，那么直线的倾斜角的取值范围是．
【答案】
【解析】当时，，所以倾斜角为；当
时，倾斜角为因此直线的倾斜角的取值范围是
【考点】直线倾斜角
29.直线的倾斜角是__________________；
【答案】
【解析】：因为直线，故倾斜角是.
【考点】直线的斜率.
30.已知两点，，若直线上至少存在三个点，使得△是直角三角形，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】构成三角形，三点不共线，即，排除C,D；显然，当
为直角时，在直线一定存在点，若至少存在三个点使△是直角三角形，即至少存在一个点，使为直角，即直线与圆至少有一个交点，则，解得，即.
【考点】直线与圆的位置关系.。