《创新设计》2022高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练：规范练3 Word版含解析

规范练三函数问题
1．已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2
x(x>0)．
(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
解(1)法一∵x＞0时，g(x)＝x＋e2
x≥2x·
e2
x＝2e，
等号成立的条件是x＝e，
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，
因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．∴m的取值范围是[2e，＋∞)．
法二作出g(x)＝x＋e2
x(x>0)的大致图象如图：
可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.
∴m的取值范围是[2e，＋∞)．
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，
作出g(x)＝x＋e2
x(x>0)的大致图象．∵f(x)＝－x
2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，∴其图
象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．2．已知f(x)＝
x2＋2x＋a
x，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝
1
2时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
解(1)当a＝
1
2时，f(x)＝x＋
1
2x＋2，联想到g(x)＝x＋
1
x的单调性，猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调性．任取1≤x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
2x1－
1
2x2
＝
(x1－x2)(2x1x2－1)
2x1x2，
∵1≤x1＜x2，
∴x1x2＞1，
∴2x1x2－1＞0.
又x1－x2＜0，
∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝
7
2.
(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝
x2＋2x＋a
x＞0恒成立，
则
⎩
⎨
⎧x2＋2x＋a＞0，
x≥1，
⇔
⎩
⎨
⎧a＞－(x2＋2x)，
x≥1，
等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
只需求函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，
∴当x＝1时，φ(x)最大值为φ(1)＝－3.
∴a＞－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．
3．(2021·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间
[－1,1]上的最大值．
(1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2；。