傅里叶变换性质证明(3)

x(t
)e
j
2
ft


dt

x (t)
e j 2 ft

dt
x (t)e j2 ft dt


令 –f 代替 f，则有：
-12-
X ( f ) x (t)e j2 ( f )t dt x (t)e j2 ftdt


即：
F x(t) X ( f )
证毕。
感谢观看！
-13-
ft df
可见，对 ( j2 f )n X ( f ) 求取傅里叶逆变换，就可
以得到
d n x(t) dt n
，故有：
d n x(t) dt n
FT
( j2
IFT
f )n X ( f )
证毕。
-3-
10、频域微分特性
如果：
FT
x(t) X ( f )
IFT
各阶初始值均为 0 时，则有：
(
j2 t)n x(t)




1(
2
f
)
1
j2
f

X(
f
)
1 ( f ) X (0) 1 X ( f )
2
j2 f
初始值为零，即 X(0)=0，则有：
F

t
x(t)dt


1
j2 f
X(f)
增加积分次数至
n，即有：
t
...
n
t
x(t)dt

FT IFT
dt
df n

df n

x(t)( j2 t)n e j2 ftdt


(
j2
t)n
x(t
)
e
j
2
ft
dt
可见，对 ( j2 f )n x(t) 求取傅里叶变换，就可以
得到
dnX ( f df n
)
，故有：
(
j2
f
)n x(t)
FT IFT
FT IFT
dnX ( f df n
)
-4-
10、频域微分特性
证：
X ( f ) F x(t) x(t)e j2 ftdt
对上式求导数，有：
dn X ( f ) dn df n
x(t)e j2 ft dt



dn
x(t)
e j 2 ft
1
( j2
f
)n
X(
f
)
-8- 证毕。
12、翻转特性
如果：
则有：
FT
x(t) X ( f )
IFT
FT
x(t) X ( f )
IFT
-9-
12、翻转特性
证： F x(t)

x(t
)e
j
2
ft
dt
令 t

x( )e j2 f ( )d ( )
t

x(t)dt x(t) u(t) x( )u(t )d


则有：
F

t
x(t)dt




x(
)u(t

)d

e
j 2
ft dt


x(
)


u(t

)e
傅里叶变换性质证明
(3)
机械工程系
张超
9、时域微分特性
如果：
FT
x(t) X ( f )
IFT
各阶初始值均为 0 时，则有：
d n x(t) dt n
FT
( j2
IFT
f )n X ( f
)
-2-
9、时域微分特性
证：
x(t) F 1 X ( f ) X ( f )e j2 ftdf

t
x( )e j2 ( f ) d x( )e j2 ( f ) d X ( f )


证毕。
另证：根据傅里叶变换的时间尺度改变性
FT 1 f
x(at)
X( )
IFT a a
令 a=-1，则有：
FT
x(t)
1
X ( f ) X ( f )
j
2
ft
dt

d
根据傅里叶变换的时移特性有：
FT
u(t ) U ( f )e j2 f
-7-
IFT
11、时域积分特性
代入后有：
F

t
x(t
)dt



x( )U (
f
)e j2 f d
U(
f
)

x( )e j2 f d
dnX ( f df n
)
证毕。
-5-
11、时x(t) X ( f )
IFT
各阶初始值均为 0 时，则有：
t
FT 1
x(t)dt
X(f)

IFT j2 f
t
t
FT
1
... n
x(t)dt

IFT
( j2
f )n
X(f
)
-6-
11、时域积分特性
证：信号 x(t) 的积分可以写为 x(t) 与单位阶跃信号 u(t) 的卷积，即：
IFT 1 1
证毕。 -10-
13、共轭特性
如果：
则有：
FT
x(t) X ( f )
IFT
FT
x(t) X ( f )
IFT
-11-
13、共轭特性
证：
X ( f ) x(t)e j2 ftdt
X

(
f
)



x(t
)e
j
2
ft
dt


对上式求导数，有：
dnx(t)
dt n

dn
X ( f )e j2 ftdf

dt n

d n e j2 ft
X(f)
dt n
df


X ( f )( j2
f )n e j2 ft df



(
j2
f
)n
X(
f
) e
j 2