江苏省扬州中学2015届高三双周练数学Word版含

江苏省扬州中学 2015 届高三 4 月双周练数学 Word 版含答案
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
2
高三双周练数学试卷
2015.4.18.
一、填空题：
1． 已知会合 A { x x 0} ， B { 1，0，1，2} ，则 A I B 等于▲
．
2．已知虚数 z 知足 2z z 1 6i ，则 | z |
▲ ．
3．抛物线 y 2 x 2 的准线方程为
▲
．
4．函数 f ( x)
x 2ln x 的单一递减区间为 ▲
．
5．某射击运动员在四次射击中分别打出了
10，x ， 10，8 环的成绩，已知这组数据的均匀数 为 9，则这组数据的标准差是 ▲ ． 6．已知直线 3x 4 y
3 0 与直线 6 x my 1
4 0 平行，则它们之间的距离是
▲
．
7．角 的极点在座标原点， 始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边经过点 P(1,2) ，则 cos( )
的值是 ▲ ． 8．若一个正四棱锥的底面边长为
2cm ，侧棱长为 3cm ，则它的体积为 ▲
cm 3.
a b 2 0 ，则 a 2b
的最大值为 _____▲____.
9．若实数 a, b 知足 b a 1
a 1
2a b
10．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为
1,2,3,4,5,6）先后投掷两次得 到的点数 m 、 n 分别作为点 P 的横、纵坐标，则点
不在 直线 x y 5 下方的概率
P
．．
为 ▲
.
11.已知函数 f ( x)
2x 2
ax 1，若存在( , ) ，使 f (sin ) f (cos ) ，则实数 a
4 2
的取值范围 ____▲ _____.
12． 已知点 A( 2,0), B(4,0) ，圆 C : ( x
4) 2 ( y b) 2 16, 点 P 是圆 C 上随意一点，若
PA
为定值，则 b ____▲____.
PB
13．在正项等比数列 { a n } 中， a 4 a 3 a 2 a 1 5 ，则 a 5 a 6 的最小值为 ____▲ ___.
14.已知函数 f ( x) x sin x ，不等式 f ( x) ax cos x 在 [0, ] 上恒建立，则实数 a 的取值
2
范围为 _____▲ ______.
二、解答题：本大题共 6 小题，共90 分．
15． (本小题满分14 分 )
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形.
（1）若 CF⊥ AE， AB⊥ AE，求证：平面 ABFE⊥平面 CDEF；
（2）求证： EF//平面 ABCD.
E F
D C
A B
16． (本小题满分14 分 )
已知函数 f (x)2cos(x)(0x5) ，点A, B分别是函数y f ( x)图象上的最高点和
6 3
最低点．
（1）求点A, B的坐标以及OA OB 的值；
（2）设点A, B分别在角, ( ,[0,2 ]) 的终边上，求sin(2) 的值．
2
17． (本小题满分14 分 )
在平面直角坐标系xoy 中，椭圆 C ：x
2 y 2 1( a b 0) 的离心率为
1
，右焦点 F（ 1,0），a 2 b2 2
点 P 在椭圆 C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆 O：x2 y 2 b 2相切于点M.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）求 |PM| ·|PF| 的取值范围；
（3）若 OP⊥ OQ，求点 Q 的纵坐标 t 的值 .
y P
M
O F x
18． (本小题满分16 分 )
如图（ 1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC的长
为
a 米（ a 为常数），此刻斜边AB 上选一点D，将△ ACD沿 CD折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（ 2）. 设△ BCD 的面积为S，点 A 到直线 CD 的距离为 d. 实践证明，遮阳成效y 与 S、 d 的乘积 Sd 成正比，比率系数为k（k 为常数，且k>0） .
（1）设∠ ACD=，试将S表示为的函数；
（2）当点 D 在哪处时，遮阳成效最正确（即y 获得最大值）？
C
D
S C B
A D
B A
图
图
19．（本小题满分16 分）
关于函数 f ( x), g (x) ，假如它们的图象有公共点P，且在点P 处的切线同样，则称函数 f (x) 和g ( x) 在点P处相切，称点P为这两个函数的切点. 设函数f ( x) ax2 bx(a 0) , g( x) ln x .
（1）当a 1 , b 0 时, 判断函数 f ( x) 和g( x) 能否相切？并说明原因；
（2）已知 a b， a 0，且函数 f ( x) 和g( x) 相切，求切点P 的坐标；
（3）设a 0 ，点P 的坐标为(1 ,1)，问能否存在切合条件的函数
e
f (x) 和
g ( x) ，使得它
们在点 P 处相切？若点P 的坐标为(e2,2)呢？（结论不要求证明）
20．（本小题满分
16 分）
设数列
{ a n }
的通项公式为 a n
pn q (n N , p
0) ，数列
{ b n }
定义以下：关于正整数
m ，
b m 是使得不等式
a n
m 建立的全部
n 中的最小值
.
（1）若
p
1
, q
1
，求
b 3 ;
2
3
（2）若
p
2, q
1，求数列
{b m } 的前
2m 项和公式
;
（3）能否存在
p 和 q ，使得
b m
3m
2 (m
N ) ？假如存在，求
p 和
q 的取值范围？如
果不存在，请说明原因
.
附带题部分：
21B ． 选修 4—2：矩阵与变换
号 3 3
6 的一个特点向量为 1 1 的
已知矩阵 A ＝
，若矩阵 A 属于特点值 α1＝
，属于特点值 学
c d
1
一个特点向量为 α2＝
3 ．求矩阵 A ，并写出 A 的逆矩阵．
－ 2
_
_
_
21C ． 选修 4—4：极坐标与参数方程
_
_
_
已知圆的极坐标方程为：
2
4 2 cos
π
6 0 ．
_
4 _
_
（1）将极坐标方程化为一般方程；
_
_
_
_
x ＋ y 的最大值和最小值．
_
_（2）若点 P(x ， y)在该圆上，求
_
_
_ _ _
_ _
_
名
_ _
姓 _ _
_
_
_
_
_
22． (此题满分10 分 )
为加强市民的节能环保意识,某市道向全市征召义务宣传志愿者，从切合条件的500 名志愿者中随机抽取100 名志愿者 , 其年纪频次散布直方图以下图，此中年纪分组区间是：
20,25 , 25,30 , 30,35 , 35,40 , 40,45 ．
（1）求图中x的值并依据频次散布直方图预计这 500 名志愿者中年纪在35,40岁的人数；（2）在抽出的 100 名志愿者中按年纪采纳分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活
动，再从这20 名中采纳简单随机抽样方
法选用 3 名志愿者担当主要负责人，记这
3 名志愿者中“年纪低于35 岁”的人数为
X ，求 X 的散布列及数学希望．
23. (此题满分 10 分 )
若一个正实数能写成n 1n (n N *) 的形式，则称其为“兄弟数”.
求证：（ 1）若x为“兄弟数”，则 x2 也为“兄弟数”；
（ 2）若x为“兄弟数”， k 是给定的正奇数，则x k也为“兄弟数”.
数学试卷参照答案及评分标准2015.4
1． 1,2 2． 5 3 ．y 1
6．2 7．
5 4 7 7
4．(0,2) 5．1
5
8．
3
9．8 5
10．5
11. (2, 2 2) 12. 13.20 14. a 2 6
15．（ 1）∵四边形 ABCD是平行四边形∴ AB//CD ，又∵ AB⊥AE，
∴AE⊥ CD又∵ AE⊥ CF，CD∩CF=C， CD、CF 平面 CDEF，∴ AE⊥平面 CDEF，又∵ AE 平面ABFE，∴平面 ABFE⊥平面 CDEF 7分
（2）∵四边形 ABCD是平行四边形∴ AB//CD
又∵ AB 平面 CDEF， CD 平面 CDEF，∴ AB// 平面 CDEF
又∵ AB 平面 ABFE，平面 ABFE∩平面 CDEF=EF，∴ AB//EF
又∵ EF 平面 ABCD， AB 平面 ABCD，∴ EF//平面 ABCD. 14分
c 1 17.（1）
a 2 ⋯⋯⋯⋯2分
c 1
∴ c=1，a=2，∴ b
3 ，∴ 方程
x 2
y 2 1⋯⋯⋯⋯4分
4
3
（2） P( x 0 , y 0 ) ，
x 0 2
y 0 2 1(0 x 0
2)
4
3
PM= 2
y 0 2
3
2
3
3
x 0 2
3
1
x 0 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 x 0
x 0
4
2
PF=2 1 x 0 ⋯⋯⋯⋯8分
∴PM ·PF= 1 x 0 (4 x 0 )
1 ( x 0 2)
2 1，
2
4
4
∵ 0
x 0
2 ，∴ |PM| ·|PF| 的取 范 是（
0,1） . ⋯⋯⋯⋯ 分10
（3）法一：①当
PM ⊥ x ， P (
3,
3
) ， Q ( 3,t ) 或 (
3,t ) ，
2
由 OP OQ 0 解得 t
2 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分12
② 当 PM 不 垂 直 于 x ，P( x 0 , y 0 ) ， PQ 方 程y y 0 k( x
x 0 ) ， 即
kx y kx 0
y 0
∵PQ 与 O 相切，∴
| kx 0
y 0 |
3 ，∴ (kx 0
y 0 ) 2 3 k 2
3
k 2 1
∴
2kx 0 y 0
2
2
3k
3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 13
k 2 x 0 y 0 2
又 Q ( t y 0 kx 0 , ) ，所以由 OP OQ 0 得 t
x 0 ( y 0 kx 0 )
⋯⋯ 分
k t
x 0 ky 0 14
2
kx 0 ) 2
2
y 0 )
2
∴ t 2
x 0 ( y 0
x 0 (kx 0
( x 0
ky 0 )
2
x 0 2
k 2
y 0 2
2kx 0 y 0
x 0 2 (3k 2 3) =
x 0 2 (3k 2
3)
=12 ，
x 0 2
2
2 k 2 2 2 3k 2 3
2
2
3
2
k
y 0
x 0
y 0
2
2
4
x
(1 k ) x 0 (1 k )(3
) 3k
3
∴ t2 3 ⋯⋯ 16分 法二：
( x 0 , y 0 ) ， 直
： y x 0 x ，∴ Q( y 0
t, t) ，
P
OQ
y 0
x 0
∵OP ⊥ OQ ，∴ OP ·OQ=OM · PQ
2
2
y 0 2
y
t ) 2
∴ x 0 y 0
2 t
2
t
2
3
( x 0
( y 0 t ) 2 ⋯⋯⋯ 12分
x 0
x 0
∴ x 0 2
2
t 2 2 y 2
) 3 x 0
2y
0 2
t 2
y 2
t 2
3 x 0 2 y 0 2 2 2
) y 0 x 0 2 ( x 0 0 x 0 2 0
x 0 2 ( x 0
t
∴ (x 0 2
y 0 2 )t 2 3( x 0 2 t 2 ) ，∴ t 2
2
3x 0 2 2
3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 14
x 0 y 0
2
2
3x 0 2
2
x 0
y 0
2
3 ，∴ t
2
3x 0
12 ，∴ t
2 3 ⋯⋯⋯⋯⋯ 分16
∵
1，∴ y 0
4
3
4
1
x 0 2
4
18. （ 1）△ BCD 中
BC
CD
，
sin CDB sin B
∴
a
CD ，∴ CD
a
⋯⋯⋯⋯4分
45 ) sin 45 2 sin(
sin(
45 )
∴ S
1
BC CD sin BCD
2a 2 cos ， 0
90 ⋯⋯6分（此中范 1 分）
2 4 sin( 45 )
（2） d asin ⋯⋯⋯⋯8分
y kSd
2ka 3 sin cos ka 3 sin cos ⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 10
4sin( 45 )
2(sin
cos
)
令 sin
cos
t ， t
(1, 2 ] ， sin
cos t 2
1
2
ka 3 (t 2
ka 3
∴ y
1)
(t 1
) 在区 (1,
2 ] 上 增， ⋯⋯⋯⋯ 分13
4t
4 t
∴当 t
2 y 获得最大 ，此
4
，
即 D 在 AB 的中点 ，遮阳成效最正确 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯分16
19.（1） ：当 a
1, b
0 , 函数 f (x) 和 g( x) 不相切 .⋯ 1 分
原因以下：由 条件知 f (x)
x 2 ，由 g(x)
ln x ，得 x
0 ， 又因 f (x) 2x ， g ( x)
1 ，
1
x
所以当 x
0 ， f (x)
2x 0 ，
g ( x)
0 ，所以 于随意的 x
0， f ( x)
g (x) .
x
当 a 1 , b
0 , 函数 f (x) 和 g( x) 不相切 .
⋯ 3 分
（ 2）若 a
b ， f (x)
2ax a ， g ( x)
1
， 切点坐
( s, t) ，此中
s 0
, 由 意，
1
x
1
得 as 2 as ln s
①， 2as a
② ，由②得 a
，
s
s(2 s 1)
代入①得
函数
令 F ( x)
a
1
s 1
s(2 s
因
2s ln s .（ * ）
1
F( x)
x 1 ln x ， x ( 1
, ) ，
2x 1
2
0 ，解得 x
1 或 x 1 (舍 ).
4
，所以 s 1
.
1)
，且 s
2
(4 x 1)( x
1)
F ( x)
x(2 x 1) 2 .
⋯8 分
当 x 化 ， F ( x) 与 F ( x) 的 化状况以下表所示，
x 1 ,1)
1
(1, )
(
F ( x) 2
F ( x)
↗
↘
所以当 x 1 ， F (x) 取到最大 F (1) 0 ，且
1 ,1)U (1, ) F (x) 0 .
当 x (
2
所以，当且仅当 x 1 时 F (x)
.所以方程（ * ）有且仅有一解 s 1.
于是 t
ln s 0 ，所以切点 P 的坐标为 (1,0) .
12 分
（3）当点 P 的坐标为 ( 1
, 1)时，存在切合条件的函数
f ( x) 和 g( x) ，使得它们在点 P 处相
切；14 分 e
当点 P 的坐标为 (e 2,2) 时，不存在切合条件的函数
f (x) 和
g (x) ，使得它们在点
P 处相
切.
16 分
20.（ 1）由题意，得 a n
1 1 1 1 3 ，则 n
20
1
1 n ，解
n
3
，所以
n
3 建立的所
2
3
2
3
2
3
有 n 中的最小整数为 7，即 b 3 7 .
（2）由题意，得 a n 2n
1
，关于正整数由 a n
m ，得 n
m 1
2 ,
依据 b m 的定义可知，当 m 2k 1时，
b m
k( k
N )
当
m 2k 时，
b m k 1(
N )
k
∴ b 1 b 2
L b 2m (b 1 b 3 L b 2m 1 ) (b 2
b 4 L b 2m )
= (1 2 3 L m) [2 3 4 L ( m 1)] m 2 2m
（3）假定存在
p 和 q 知足条件，由不等式 pn
q m 及 p 0 得 n
m q
p
∵ b m 3m 2(m N ) ，依据 b m 的定义可知，关于随意正整数的都有
3m 1 m q 3m 2 即 2 p
q (3 p 1)m p q 对随意的正整数 m 都建立 .
p
当 3p 1 0（或 3 p 1 0 ）时，得
p q
m 2 p q
或 ( p q
m
2 p q )
3 p 1
3p 1 3 p 1 3p 1
这与上述结论矛盾 .
当 3p 1
0 即 p
1
时，
2 q 0 1
q ，∴ 2 q 1
3 3 3 3 3
∴所以存在 p 和 q ，使得知足条件的 p ， q ，且 p ， q 的取值范围分别是：
p
1
,q [ 2 , 1
] . 3 3 3
数学附带题参照答案
21B ．解：由矩阵 A 属于特点值 6 的一个特点向量为 α1＝ 1
可得，
1
3 3 1 1 ，即 c ＋ d ＝ 6，
c d 1 ＝ 6
1
由矩阵 A 属于特点值 1 的一个特点向量为 3
α2 ＝ ，
－ 2
可得 3 3 3 ＝ 3 ，即 3c －2d ＝－ 2，
c d －2 － 2
2 1
c ＝ 2，
3 3
3 － 2
解得 d ＝ 4． 即 A ＝ 2 4 ，所以 A 的逆矩阵是
1 1 ．
－ 3 2
C ．解：（ 1） x 2
y 2
4x 4y 6 0 ；
x 2 2cos , y 4
2sin
，
（ 2）圆的参数方程为
2
2sin 所以 x
y
,
4
那么 x ＋ y 最大值为 6，最小值为 2．
22．解：（ 1）由于小矩形的面积等于频次，所以除
35,40 外的频次和为 0.70，
所以 x
1 0.70 0.06 ，所以 500 名志愿者中，年纪在
35,40 岁的人数为
5
0.06 5 500 150(人 )； 3 分
（ 2）用分层抽样的方法，从中选用 20 名，
则此中年纪 “低于 35 岁 ”的人有 12 名， “年纪不低于 35 岁 ”的人有 8 名．
故 X 的可能取值为 0,1,2,3 ，
P X
0 C 83
14
1
C 121C 82
28
C 203
， P X
C 203
，
285
95
P X
2 C 122C 81 44
3
C 123
11
C 203
95 ， P X
C 203
,
故 X 的散布列为：
57
X
1 2 3
P
14
28
44 11
285
95
95
57
所以 EX 0
14 1 28 2 44 3 11
171 9
．10 分
285 95
95 57
95 5
23.证明：（ 1）设 x n 1
n (n N *) ，
则 x 2
2n 1 2 n(n 1)
4n 2 4n 1
4n 2 4n ，是 “兄弟数 ”
（2）设 x
n 1
n, y
n 1
n (n N *) ，则 xy 1
k
k
而 x k
C k i ( n 1)k i ( n )i , y k
C k i ( n 1) k i (
n )i
i 0
i 0
k
k
故 x k
y k
C k i ( n 1) k i ( n )i
C k i ( n 1) k i ( n )i
i 0
i 0
2[C k 0 ( n 1)k C k 2 (
1)k 2
C k 4 ( n 1)k
4
n 2
C k k 1
k 1
n n L
n 1 n 2 ] ，
不如记： x k
y k 2a n
1, a N *
k
k
同理：由 x k
y k
C k i ( n 1) k i ( n)i
C k i ( n 1) k i (
n)i ，不如记：
i 0
i 0
x k
y k
2b n, b N *
从而， 2x k 4a 2
(n 1)
4b 2n ，即 x k a 2 ( n 1) b 2 n
又 4a 2 ( n 1) 4b 2n ( x k y k )2
( x k y k )2 4 x k y k
4 ，故 a 2 (n 1) b 2n 1
所以 x k
b 2 n 1
b 2n 亦为 “兄弟数 ”.。