2018年江苏省高二下学期期末考试_数学(文)_Word版

2018学年江苏高二下学期期末考试
数学（文科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．
. 1.已知集合A ＝{1，3}，B ＝{1，4，5}，则A ∪B ＝ ▲ ． 2.已知复数z ＝(4＋3i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ ．
3. 一个原命题的逆否命题是“若x ＝1，则x 2－2x ＜0”，那么该原命题是 ▲ 命题．（填“真”或“假”）．
4.函数f (x )＝5－4x －x 2的定义域是 ▲ ．
5.以双曲线x 22－y 2
＝1的左焦点为焦点的抛物线的标准方程为 ▲ ．
6.函数f (x )＝2x (0＜x ＜1)，其值域为D ，在区间(－1，2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是 ▲ ．
7.某地区为了了解居民每天的饮水状况，采用分层抽样的方法随机抽取100名年龄在[10，20)，[20，30)，…，[50，60]年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所
示，则[30，40)年龄段应抽取的人数为 ▲ ．
8.如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于 ▲ ．
9.观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 8＋b 8
N
Y
第7题 第7题
第8题
开始
k ＜4
结束
k ←1，s ←1
s ←2s-k k ←k+1
输出s
等于 ▲ ．
10.从集合A ＝{－2，－1，1，2}中随机取一个数为m ，从集合B ＝{－1，1，2，3}中随机取一个数为n ，则方程x 2m ＋y 2
n ＝1表示双曲线的概率为 ▲ ．
11.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的点，
PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝θ，若cos θ＝1
3
，则椭圆C 的离心率为 ▲ ．
12.函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，且在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin πx 3
，﹣1≤x ≤0x ＋3，0＜x ＜1，
则f (f (2019))＝ ▲ ．
13.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝1
2(|x －1|＋|x －2|－3)．若函数g (x )＝f (x ) －ax 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．
14.已知函数f (x )＝|x |
e x (x ∈R )，其中e 为自然对数的底数，g (x )＝－x 2＋2ax －2(a ∈R ),
若A ＝{x |f (g (x ))＞e}＝R ，则a 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分14分）
已知二次函数f (x )满足f (1)＝1，f (－1)＝5，且图象过原点． (1)求二次函数f (x )的解析式；
(2)已知集合U ＝[1，4]，B ＝{y |y ＝f (x )
x 2，x ∈U }，求U C B ．
已知命题p ：指数函数f (x )＝(a －1)x 在定义域上单调递减， 命题q ：函数g (x )＝lg(ax 2－2x ＋a
2)的定义域为R . (1)若q 是真命题，求实数a 的取值范围；
(2)若“p ∧q ”为假命题“p ∨q ”为真命题，求实数a 的取值范围.
17.（本小题满分14分）
已知函数f (x )＝a x －(k －1)a －
x (a ＞0且a ≠1)是奇函数． (1)求实数k 的值；
(2)若f (1)＜0，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＜0．
某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为60cm的正方形纸板．如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是x cm的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为30cm、x cm的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．
(1)求包装盒的容积V(x)关于x的函数表达式，并求函数的定义域；
(2)当x为多少cm时，包装盒的容积最大？最大容积是多少cm3？
已知离心率为32的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ，经过点A (1，3
2)，过A 作直线l 与椭圆相交于另一点B ，与y 轴相交于点D ，取线段AB 的中点P ，以线段DP 为直径作圆与直线OP 相交于点Q .
(1)求椭圆的方程；
(2)若P 点坐标为(32，3
4)，求直线DQ 的方程； (3)求证：直线DQ 过定点，并求出该定点坐标.
20.（本小题满分16分）
已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＋1＝0平行． (1)求实数a 的值；
(2)若f (x )≤(k 2＋k －1)x 2对任意x ＞0恒成立，求实数k 的取值范围； (3)当n ＞m ＞1(m ，n ∈N *)时，证明：n n
m ＞m m
n ．
高二期末考试 数学试题答案
1、 {1，3，4，5}
2、7
3、真
4、[－5，1]
5、y 2＝﹣43x
6、1
3 7、35 8、－3 9、47 10、1
2 11、3－22 12、2 13、(﹣1，1) 14、(﹣1，1)
15．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，因为f (1)＝1，f (﹣1)＝5，且图象过原点，所以⎩⎪⎨⎪
⎧ a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，
……………………………………………………………………………3分 解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝3，
b ＝－2，
c ＝0，所以f (x )＝3x 2﹣2x. ………………………………………………………7分
(2)y ＝f (x )x 2＝3﹣2x ，当x ∈[1，4]时，函数y ＝3﹣2
x 是增函数，当x ＝1时，y 取得最小值1，当x ＝4时，y 取得最大值52，所以B ＝[1，5
2]， ………………………………………………11分
U C B ＝(5
2，4] ………………………………………………………………………………14分
16解：(1)若命题q 是真命题，则有①当a ＝0时定义域为(﹣∞，0)，不合题意 ………1分
②当a ≠0时，由已知可得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＞04﹣4a ·a
2＜0， ………………………………………………4分 解得：a ＞2，故所求实数a 的取值范围为(2，＋∞)． …………………………………6分
(2)若命题p 为真命题，1＜a ＜2 ……………………………………………………………8分
若p 为真q 为假，则⎩⎨⎧1＜a ＜2
a ≤2
，得到1＜a ≤ 2 ………………………………………10分
若p 为假q 为真，则 ⎩⎨⎧a ≤1或a ≥2a ＞2
得到a ≥2 ． ………………………………………12 分
综上所述，a 的取值范围是1＜a ≤ 2 或a ≥2． ………………………………………14分
17解：(1)因为f (x )是奇函数，且f (0)有意义，所以f (0)＝0，所以1－(k －1)＝0，
k ＝2．…………………………………………………………………………………………………2分
当k ＝2时，f (x )＝a x －a －
x ，f (－x )＝a －
x －a x ，f (x )＋f (－x )＝0，所以f (x )是奇函数，
k ＝2符合题意．…………………………………………………………………………………4分 (2)因为f (1)＜0，所以a －1
a ＞0，即0＜a ＜1，………………………………………………6分 f '(x )＝a x ln a ＋a －
x ln a ，因为0＜a ＜1，所以f '(x )＜0，所以f (x )是R 上的单调减函数．…9分 由f (x 2＋2x )＜－f (x －4)＝f (4－x )，得x 2＋2x ＞4－x ，即x 2＋3x －4＞0，…………………12分 解得x ＜－4或x ＞1，故所求不等式的解集为(－∞，－4)∪(1，＋∞)．…………………14分 18．(1)因为包装盒高h ＝x ，底面矩形的长为60－2x ，宽为30－x ，
所以铁皮箱的体积V (x )＝(60－2x )·(30－x )·x ＝2x 3－120x 2＋1800x ．……………………………4分
函数的定义域为(0，30)． ……………………………………………………………………6分 (2)由(1)得， V '(x )＝6x 2－240x ＋1800＝6(x －10)(x －30)，
令V '(x )＝0，解得x ＝10． ……………………………………………………………………8分 当x ∈(0，10)时， V '(x )＞0，函数V (x )单调递增；
当x ∈(10，30)时， V '(x )＜0，函数V (x )单调递减．………………………………………12分 所以函数V (x )在x ＝10处取得极大值，这个极大值就是函数V (x )的最大值．
又V (10)＝8000cm 3． …………………………………………………………………………15分 答：切去的正方形边长x ＝10cm 时，包装盒的容积最大，最大容积是8000cm 3． ……16分 19．(1)因为⎩⎨⎧c a ＝321a 2
＋34b 2
＝1
所以：a ＝2，b ＝1椭圆的方程为：x
2
4＋y 2
＝1……………………4分
(2)因为点P 的坐标为(32，34)，所以AB 的方程为：y ＝－3
2x ＋ 3 ，
所以D 点坐标为(0，3) ………………………………………………………………………5分 又因为以DP 为直径的圆与OP 交于Q ，所以DQ ⊥OP 又k OP ＝3
6，所以k DQ ＝－23…7分 所以DQ 的方程为：y ＝－23x ＋ 3 …………………………………………………………8分 (3) 由题意知直线l 的斜率存在，可设l 的方程为：y －3
2＝k (x －1)，
所以D 点坐标为(0，3
2－k )……………………………………………………………………9分
又⎩⎨⎧y －32＝k (x －1)x
2
4＋y 2
＝1
消去y 后得：(4k 2
＋1)x 2
＋4k (
3－2k )x ＋4(3
2－k )2－4＝0
所以：x A ＋x B ＝－4k (3－2k )
4k 2＋1，………………………………………………………………10分
所以x P ＝2k (2k －3)4k 2＋1，y P ＝32－k 4k 2＋1，所以k OP
＝－1
4k ………………………………………12分 又DQ ⊥OP ，所以k DQ ＝4k ……………………………………………………………………14分 所以DQ 的方程为：y －32＋k ＝4kx ，即y －3
2＝k (4x －1) ………………………………15分 所以直线DQ 恒过定点(14，3
2) ……………………………………………………………16分
20.解：(1)求导数，得f ′(x )＝a ＋ln x ＋1．
由已知，得 f ′(1)＝2，即a ＋ln1＋1＝2 ∴a ＝
1． ………………………………………3分
(2)由(1)知f (x )＝x ＋x ln x ，
∴f (x )≤(k 2＋k －1)x 2对任意x ＞0成立⇔k 2＋k －1≥1＋ln x
x 对任意x ＞0成立． …………5分 令g (x )＝1＋ln x
x ，则问题转化为求g (x )的最大值． …………………………………………6分 求导得g ′(x )＝－ln x
x 2，令g ′(x )＝0，解得x ＝1. ……………………………………………7分 当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，1)上是增函数； 当x ＞1时，g ′(x )＜0，∴g (x )在(1，＋∞)上是减函数． ∴g (x )在x ＝1处取得最大值g(1)＝1．
∴k 2＋k －1≥1即k ≥1或k ≤－2为所求． ………………………………………………9分 （3）证明：令h (x )＝x ln x
x －1，则h ′(x )＝x －1－ln x (x －1)2 …………………………………………11分
由（2）知， x ≥1＋ln x (x ＞0)，∴h ′(x )≥0，∴h (x )是（1，＋∞）上的增函数．
∵n ＞m ＞1，∴h (n )＞h (m )，即n ln n n －1＞m ln m
m －1，………………………………………………14分
∴mn ln n －n ln n ＞mn ln m －m ln m ，即mn ln n ＋m ln m ＞mn ln m ＋n ln n ， ∴ln n mn ＋ln m m ＞ln m mn ＋ln n n ，即ln(mn n )m ＞ln(nm m )m ，∴(mn n )m ＞(nm m )m 。

∴n n
m ＞m m
n ． …………………………………………………………………………16分。