简谐振动的能量

8.3 简谐振动的能量
下面我们以弹簧振子为例来讨论简谐振动的能量。

实际上，任何一个简谐振动的物体，由于它们受到的合外力为正比回复力，都相当于一个弹簧振子。

不同的是，它们的k值不是劲度系数，而是其它的由系统的力学性质决定的常数而已。

利用简谐振动方程及其速度方程，可得任意时刻一个弹簧振子的弹性势能和动能
由
可得到
因此，弹簧振子的机械能为
可见弹簧振子的机械能不随时
间改变，即其能量守恒。

这是由于无
阻尼自由振动的弹簧振子是一个孤
立系统，在振动过程中没有外力对它
做功的缘故。

上面的结果还表明弹簧振子的弹簧振子的能量
总能量和振幅的平方成正比，这一点对其它的简谐振动系统也是正确的。

这意味着振幅不仅描述简谐振动的运动范围，而且还反映振动系统能量的大小。

把动能和势能的表达式改写为
可见弹簧振子做简谐振动时的动能和势能都在谐振，见上图。

它们的平衡点
在系统机械能一半的地方处即处，能量的振幅亦为。

动能和势能谐振的频率均为位移振动频率的两倍，它们振动的相位相反，因而它们的总和即机械能守恒。

【例1】一个弹簧振子沿x轴作简谐振动，已知弹簧的劲度系数为，物体质量为m=0.1kg，在t=0时物体对平衡位置的位移，速度。

写出此简谐振动的表达式。

【解】
要写出此简谐振动的表达式，需要知道它的三个特征量A、和φ，角频率
决定于系统本身的性质，由
A和由初始条件决定，再由
和
由于，所以取。

于是，以平衡位置为原点所求简谐振动的表达式应为
m
【例2】一匀质细杆的长度为l，质量为m，可绕其一端的轴O在铅垂面内自由转动，如图所示。

求杆作微小振动时的周期。

【解】
细杆所受的合外力矩是重力矩。

如图所示，在细杆偏离平衡位置为θ角时(设逆时针方向为正方向)，杆受重力矩为
其中负号表示重力矩的方向与角位移的方向相反。

对于微振，θ很小，可以认为，所以
其中
可见杆受到的力矩为正比回复力矩，故杆的振动为简谐振动。

细杆绕O轴转动的转动惯量为
则细杆微小振动的周期为
即
【例3】弹簧振子的劲度系数为k，质量为m，可沿x轴作简谐振动，刚开始时振子静止在平衡点O。

用恒定的外力沿x轴正方向拉动振子到x=a 处放手，其中a为一正常量。

以放手时作为时间零点，求振子的运动方程。

【解】
要得到振子的运动方程，需要确定它的三个特征量A、和φ。

其中角频率取决于弹簧振子的自身的性质。

下面我们用功能关系来分析它的振幅。

按功能原理，弹簧振子的能量等于外力作的功，故有
由此式可解得振动的振幅为
放手时振子的位移，且速度为正，由旋转矢量图容易判断，此
时振子的相位为。

按题意，此即振动的初相。

故弹簧振子的运动方程为。