高等数学期末复习总结

一.函数与极限
1.两个重要极限：
()()1
1lim 1lim 111lim 0
sin lim
11lim 1
sin lim
11
00=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+==⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=∞
→→→∞→∞→→x
x x x x
x x x
x x x e
x x x
x
e x x
x
扩展极限：
2.等价无穷小公式： 当x→0时，
()xlna
~12
1
~1x 1x
~1x ln x ~12
1
~cosx -1x
~arctanx x ~arcsinx x ~tanx x ~sinx 2
--++-x x
a x
e x
3.分析技巧:0
重要极限,洛必达法则,化简
∞
∞
洛必达法则,同除最高次幂项 ∞⋅0 取倒数 ∞-∞ 通分
,0,1∞∞
取对数 (∞=∞
0)
二．导数与微分
熟悉函数的可导性与连续性的关系 求高阶导数会运用两边同取对数 隐函数的显化 会求由参数方程确定的函数的导数 ()()x f x F =' 则 ()()dx x f x F d ='
导数公式：
三.微分中值定理与导数的应用
1. 洛必达法则解题中应注意：
① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足
00或∞
∞
型. ② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. 2. 曲线的凹凸性与拐点：
()x f ''>0 上凹， ()x f ''<0 上凸， ()()0,0≠'''=''x f x f 拐点
注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在 定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号）
四.不定积分
1.基本积分公式：
C x xdx C x xdx C a a dx a C x dx x x x
+-=+=+=++=⎰⎰⎰⎰+cot csc tan sec ln 1
122
1ααα C
x dx x C x dx x
C x x xdx x dx C x x C x
xdx x dx +=++=-++==+-=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰arctan 11arcsin 11
|tan sec |ln sec cos |cot csc |ln |2tan |ln csc sin 22
2.不定积分的性质
⑴第一类换元法（凑微分法）
x
x x
x n n da a
dx a de dx e x
d dx x dx n
dx x ln 1
ln 1
1
1====
-
⑵分部积分法（反，对，幂，指，三）
⑶第二类换元法（三角代换 无理代换 倒代换）
f(x)中含有 (
)()()t
a x t a x dx a x x f t a x t a x dx x a x f t
a x t a x dx x a x f csc sec ,,cot tan ,,cos sin ,,2
2
2
2
22==-==+==-⎰⎰
⎰或令或令或令
f(x)中含有()
x
x a t dx a f =⎰令, 五.偏导数
1.分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导. y x F F dx dy
'
'-= 2.多元函数的极值 ①求驻点 0,0='='y x
z z
②求二阶偏导 ()0
,0y x f A xx
''=, ()0
,0y x f B xy ''=, ()0
,0y x f C yy ''=
02
B A
C - 时,有极值,A>0时极小值,A<0时极大值
02 B
AC - 时,无极值 02
=-B
AC 时,不确定
六.微分方程
1.可分离变量的微分方程
()()()()()
()C dx x f y g dy dx x f y g dy y g x f dx dy +=−−→−⎰=−−→−⋅=⎰⎰两边分离
类型1：
⎪⎭
⎫
⎝⎛=x y f dx dy ①换元 ②分离 ③求∫
令
u x
y
= ()()()
()()[]()⎰⎰=+⇒+=⇒+=⇒=+⇒=⇒
dx
x
u u f du dx
x
u x f du u u f dx du x u f dx du
x u u f dx
xu d 1
1
类型2：
()c by ax f dx
dy
++= 令 0=++c by ax 2.一阶线性微分方程 标准式：()()x Q y x P y =+'
齐次
()0=+'y x P y
()⎰=⇒-dx
x P Ce y
3.二阶微分方程
()x f y ='' 求y y →'
()y x f y '='', 令()()()()x p x f dx
x dp x p y ,=⇒
='
()y y f y '='', 令()()()()()y p y f dy
y dp y p y p y ,=⇒=' 4.二阶常系数线性其次微分方程
特征方程02
=++c br ar
的根 微分方程0=+'+''cy y b y a 的通解
相异实根1r 和2r x r x r e c e c y 2121+=
重根21
r r = ()x r e x c c y 1
21+=
共轭复根β
αβαi r i r -=+=21,
()x c x c e y x ββαsin cos 21+=。