2019-2020学年江西省名校数学高二第二学期期末经典试题含解析

2019-2020学年江西省名校数学高二第二学期期末经典试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．若动点(),P x y 与两定点(),0M a -，(),0N a 的连线的斜率之积为常数()0k ka ≠，则点P 的轨迹一定不可能．．．是 （ ） A ．除,M N 两点外的圆 B ．除,M N 两点外的椭圆 C ．除,M N 两点外的双曲线 D ．除,M N 两点外的抛物线
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意可分别表示出动点P 与两定点的连线的斜率,根据其之积为常数，求得x 和y 的关系式，对k 的范围进行分类讨论，分别讨论0,0k k ><且1k ≠-和1k =-时，可推断出点P 的轨迹. 【详解】
因为动点(),P x y 与两定点(),0M a -，(),0N a 的连线的斜率之积为常数k ， 所以
y y
k x a x a
⋅=+-，整理得222y kx ka -=-， 当0k >时，方程的轨迹为双曲线； 当k 0<时，且1k ≠-方程的轨迹为椭圆； 当1k =-时，点F 的轨迹为圆，
∴抛物线的标准方程中，x 或y 的指数必有一个是1 ,
故P 点的轨迹一定不可能是抛物线，故选D . 【点睛】
本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④
逆代法，将()
()
00x g x y h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入()00,0f x y =.本题就是利用方法①求动点P 的轨迹方程的.
2．己知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足
PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
A
．
12
B
1
C
．
1
2
D
1
【答案】B
【解析】 【分析】
根据题目可知，过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义，结合PA m PB =，可得
1PN PA
m
=
，设PA 的倾斜角为α，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，即可求出的P 的坐标，再利用双曲线的定义，即可求得双曲线得离心率。

【详解】
由题意知，由对称性不妨设P 点在y 轴的右侧，过P 作准线的垂线，垂足为N ，则根据则抛物线的定义，可得PN PB =，
PA m PB =Q
1PN PA
m
∴= 设PA 的倾斜角为α，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，设直线PA 的方程为1y kx =-，与2
4x y =联立，得2440x kx -+=， 令216160k ∆=-=，解得1k =± 可得(2,1)P ，
又Q 此时点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上
∴双曲线的实轴22(21)a PA PB =-=-
21,1a c ∴=-=
21e ∴=+
故答案选B 。

【点睛】
本题主要考查了双曲线与抛物线的性质的应用，在解决圆锥曲线相关问题时常用到方程思想以及数形结合思想。

3．已知～
，则
( )．
A ．
B ．
C ．3
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二项分布的数学期望，计算出，再利用期望的性质求出的值。

【详解】
，
，因此，，
故选：B 。

【点睛】
本题考查二项分布的数学期望与期望的性质，解题的关键就是利用二项分布的期望公式以及期望的性质，考查计算能力，属于基础题。

4．已知具有线性相关关系的五个样本点A 1（0,0），A 2（2,2），A 3（3,2），A 4（4,2）A 5（6,4），用最小二乘法得到回归直线方程l 1:y=bx+a ，过点A 1,A 2的直线方程l 2:y=mx+n 那么下列4个命题中(1) ,m b a n >>；(2)直线1l 过点3A ； (3)
()()
5
5
2
2
1
1
i
i
i
i
i i y bx a y mx n ==--≥--∑∑； (4)
55
1
1
i
i
i
i
i i y bx a y mx n ==--≥--∑∑.
（参考公式()
()
5
5
11
55
2
22
11
()i i i i i i i
i
i i x y nxy x x y y b x nx
x x ====---=
=
--∑∑∑
∑，a y bx =-）
正确命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B 【解析】
分析：先求均值，再代公式求b,a ，再根据最小二乘法定义判断命题真假. 详解：因为023*******
3,255
x y ++++++++==== ，所以直线1l 过点3A ；
因为5
152
2
1
i i i i i x y nxy b x nx
==-=
-∑
∑
，所以0.6b =
因为a y bx =-，所以0.2a =，
因为过点A 1,A 2的直线方程，所以2:l y x = ，即,m b a n >>；
根据最小二乘法定义得()()5
5
2
2
1
1
i
i i i i i y
bx a y mx n ==----∑∑；
(4) 55
1
1
i
i
i
i
i i y bx a y mx n ==----∑∑.因此只
有（1）（2）正确， 选B.
点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量
的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求$,a b
$，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .
5．若函数2()x f x e ax a =--在R 上有小于0的极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,1)-∞- D ．(1,)+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
先对函数求导，令导函数等于0，2
()x
f x e ax a =--在R 上有小于0的极值点等价于导函数有小于0的根． 【详解】
由()2
()x
x
f x e ax a f x e a =--⇒=-'
因为2()x f x e ax a =--在R 上有小于0的极值点，所以()0x
f x e a ='-=有小于0的根，由x
y e =的
图像如图：
可知()0x
f x e a ='-=有小于0的根需要01a <<，所以选择B
【点睛】
本题主要考查了利用导数判断函数极值的问题．属于基础题． 6．已知随机变量X 满足条件X ～(),B n p ，且()()12
125
E X ,D X ==，那么n 与p 的值分别为 A ．4165
, B ．2205
,
C ．4155
,
D ．3125
,
【答案】C 【解析】 【分析】
根据二项分布的均值与方差公式列方程组解出n 与p 的值． 【详解】
∵X ～B （n ，p ）且()()12125
E X D X ==
，，
∴()1212
15np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩
，
解得n ＝15，p 4
5
= 故选C ． 【点睛】
本题考查了二项分布的均值与方差公式的应用，考查了运算能力，属于基础题．
7．设函数2()ln()f x e x =-，集合(){}(){}
|,|A x y f x B y y f x ====，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A ．[,1]e -
B ．(,1)e -
C ．(,])e e -∞⋃
D ．(,))e e -∞⋃
【答案】C 【解析】 【分析】
根据集合的定义可知A 为()f x 定义域，B 为()f x 值域；根据对数型复合函数定义域的要求可求得集合
A ，结合对数型复合函数单调性可求得()f x 值域，即集合
B ；根据Venn 图可知阴影部分表示()A B
C A B U I ，利用集合交并补运算可求得结果.
【详解】
()()2ln f x e x =-的定义域为：20e x ->，即：(,x e e ∈- (,A e e ∴=-
2y e x =-Q 在()
,0e 上单调递增，在(e 上单调递减
()()2
ln f x e x ∴=-在(),0e -
上单调递增，在(e 上单调递减
()()max 0ln 1f x f e ∴===；当x e →()f x →-∞；当x e →()f x →-∞
()f x ∴的值域为：(],1-∞ (],1B ∴=-∞
图中阴影部分表示：()A B C A B U I
又(A B e =-∞U ，(,1A B e ⎤=-⎦I ()((,A B C A B e e ∴=-∞-U I U
本题正确选项：C
【点睛】
本题考查集合基本运算中的交并补混合运算，关键是能够明确两个集合表示的含义分别为函数的定义域和值域，利用对数型复合函数的定义域要求和单调性可求得两个集合；涉及到Venn 图的读取等知识. 8．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母都不与他相邻,则不同坐法的总数为（ ） A ．12 B ．36
C ．84
D ．96
【答案】B 【解析】 【分析】
记事件小明的父亲与小明相邻，事件小明的母亲与小明相邻，利用捆绑法计算出事件、事件、事件
的排法种数
、
、
，利用容斥原理可得出所求的坐法种数为
，于此可计算出所求坐法种数。

【详解】
记事件小明的父亲与小明相邻，事件小明的母亲与小明相邻，
对于事件，将小明与其父亲捆绑，形成一个元素，与其他四个元素进行排序， 则，同理可得
，
对于事件，将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素
进行排序，则
，由容斥原理可知，所求的坐法种数为
，故选：B.
【点睛】
本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法以及容斥原理的应用，解题时要合理利用分类讨论思想与总体淘汰法，考查逻辑推理能力，属于中等题。

9．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．(],1-∞-
C ．[)2,+∞
D ．[
)1,+∞
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：
，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴
在区间()1,+∞上
恒成立．∴，而
在区间()1,+∞上单调递减，∴
．∴
的取值范围是[
)1,+∞．故选D ． 考点：利用导数研究函数的单调性. 10．复数z 满足
，则复数z ＝( )
A ．1－i
B ．1＋2i
C ．1＋i
D ．－1－i
【答案】D 【解析】 【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
，
，故选D ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
11．已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，4AB =，5AD =，
2BC CD ==O 的体积为（ ）
A ．105π
B ．
205
π3
C ．5π
D ．
105
π3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据所给关系可证明BC CD ⊥，即可将三棱锥A BCD -可补形成长方体，即可求得长方体的外接球半径，即为三棱锥A BCD -的外接球半径，即可得球O 的体积. 【详解】
因为AB ⊥平面BCD ，所以AB BD ⊥，又AB=4，5AD =， 所以2BD =，又2BC CD ==
所以222BC CD BD +=，则BC CD ⊥．
由此可得三棱锥A BCD -可补形成长方体如下图所示：
设长方体的外接球半径为R ， 则()()
2
2
222
2
425R =
++=，
所以球O 的体积为3
344
205
ππ
5
π33
V R ===
， 故选:B. 【点睛】
本题考查了三棱锥外接球体积的求法，将三棱锥补全为棱柱是常用方法，属于中档题.
12．函数()23x
e f x x =-在[]2,4上的最大值为（ ）
A ．2e
B ．36e
C ．413
e
D ．22e
【答案】A 【解析】 【分析】
对函数()y f x =求导，利用导数分析函数()y f x =的单调性，求出极值，再结合端点函数值得出函数
()y f x =的最大值．
【详解】
()2
3
x
e
f x x =
-Q ，()()()()()
()
22
2
2
2
23
1333x x
e x x e x x
f x x x --+-∴==--'，
令()0f x '=，由于24x ≤≤，得3x =.
当23x <<时，()0f x '<；当34x <<时，()0f x '>．
因此，函数()y f x =在3x =处取得最小值，在2x =或4x =处取得最大值，
()2
2f e =Q ，()()422
2421313
e e
f e e f ==⋅<=，因此，()()2max 2f x f e ==，
故选A ． 【点睛】
本题考查利用导数求解函数的最值，一般而言，利用导数求函数在闭区间上的最值的基本步骤如下：
（1）求导，利用导数分析函数在闭区间上的单调性； （2）求出函数的极值；
（3）将函数的极值与端点函数值比较大小，可得出函数的最大值和最小值． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果I 为____．
【答案】16； 【解析】 【分析】
程序语言表示“当型循环结构”，由S 值控制循环是否终止，当11S =时，16I =输出I 的值. 【详解】
3,4,S I == 5,7,S I == 7,10,S I == 9,13,S I == 11,16,S I ==
输出16I =. 【点睛】
阅读程序语言时，要注意循环体执行的次数，何时终止循环是解题的难点. 14．如图所示的伪代码，最后输出的S 值为__________．
【答案】21 【解析】
分析：先根据伪代码执行循环，直到I<8不成立，结束循环输出S. 详解：执行循环得
3,23+3=95,25+3=137,27+3=179,29+3=21;8I S I S I S I S I ==⨯==⨯==⨯==⨯>；；；结束循环，
输出21S =.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
15．已知点F 为椭圆:C 2
212
x y +=的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为
()4,3，则
PQ PF +取最大值时，点P 的坐标为 ．
【答案】()0,1- 【解析】
试题分析：椭圆的左焦点为(1,0)F -，右焦点为(1,0)E ，根据椭圆的定义，2PF a PE =-，∴PF +
22()PQ PQ a PE a PQ PE =+-=+-，由三角形的性质，知PQ PE QE -≤，当P 是QE 延长
线与椭圆的交点(0,1)-时，等号成立，故所求最大值为
．
考点：椭圆的定义，三角形的性质． 16．从双曲线
（
，
）的左焦点引圆
的切线，切点为，延长
交双曲
线右支于点，若是线段的中点，为坐标原点，则的值是____．
【答案】
【解析】
试题分析：如图所示，设双曲线的右焦点为，连接
，，，则
，在中，，
，所以
，又是线段
的中点，为
中点，
所以，所以即
，故应填入.
考点：1.双曲线的定义；2.直线与圆相切；3.数形结合的应用. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()ln()a
f x x x
=--有两个零点1x ，2x . （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：122x x e
+<-. 【答案】（Ⅰ）1
0a e
<<（Ⅱ）见解析 【解析】
分析：（1）先令()ln 0a
x x
--
=，再求出()ln (0)a x x x =-<，再研究函数()()ln (?
0)g x x x x =-<的图像得到a 的取值范围.(2)利用分析法证明不等式()122h x h x e ⎛⎫
<-
- ⎪⎝⎭
，再转化为 证明()222h x h x e ⎛⎫
<-
- ⎪⎝⎭
. 详解：（Ⅰ）由题意()()ln 0ln (0)a
x a x x x x
--
=⇒=-<， 设()()ln (0)g x x x x =-<，则()()'ln 1g x x =-+，
当0x <时，函数()'g x 单调递减，又()()1'ln 10g x x x e
=-+=⇒=-， 故在区间1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上()'0g x >，在区间1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上()'0g x <.
所以在区间1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上函数()g x 单调递增，在区间1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上函数()g x 单调递减.
故()11g x g e e
⎛⎫≤-=
⎪⎝⎭
. 又()10g -=，当0x -→时，()0g x +
→，所以10a e
<<. （Ⅱ）不妨设12x x <，由（Ⅰ）可知121
10x x e
-<<-<<. 设函数()()ln h x x x a =--，
要证122x x e +<-
，只需证122
x x e
<--即可. 又21x e -<，故1221x x e e
<--<-，
由（Ⅰ）可知函数()()ln h x x x a =--在区间1,e ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
上单调递增，
故只需证明()122h x h x e ⎛⎫
<-
- ⎪⎝⎭
， 又()()120h x h x ==，即()()12222
2h x h x h x h x e
e
⎛⎫⎛⎫<--⇔<-- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
.
设()()22222ln y h x h x x x a e ⎛⎫=--
-=-- ⎪⎝⎭ 2222ln x x a e
e ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()222222ln ln x x x x e e ⎛⎫⎛⎫
=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
2222'ln 2y x x e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，又2
222212100x x x e e e -<<⇒<--<，2222'ln 20y x x e ⎛⎫=--+< ⎪⎝
⎭.
所以()222y h x h x e ⎛⎫=--
- ⎪⎝⎭在区间1,0e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减， ()222120x e
y h x h x y e =-⎛⎫=---<= ⎪⎝⎭，所以()222h x h x e ⎛⎫
<-- ⎪⎝⎭成立，故122x x e +<-.
点睛：（1）本题主要考查利用导数研究函数图像和性质，考查利用导数证明不等式和分析法证明不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)j 解答本题的关键有三点，其一是转化为
()122h x h x e ⎛⎫<-- ⎪⎝⎭，其二是转化为()222h x h x e ⎛⎫
<-- ⎪⎝⎭，其三是证明()222y h x h x e ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭在区间
1,0e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减. 18．已知函数()ln b
f x x ax x =-+
，对任意的()0,x ∈+∞，满足()10f x f x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，其中a ，b 为常数.
（1）若()f x 的图象在1x =处的切线经过点()0,5-，求a 的值；
（2）已知01a <<，求证：202a f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
；
（3）当()f x 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】
试题分析：（1）由()10f =和()112f a '=-=
()51501
f --=-解得；（2）化简22a f ⎛⎫
⎪⎝⎭
，构造函数
()3
22ln ln 22
x g x x x =+--，根据函数()y g x =的单调性，证明()g x 的最小值大于零即可；
（3）讨论三种情况0a ≤，12a ≥
，1
02
a <<，排除前两种，证明第三种情况符合题意即可. 试题解析：（1）在()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
中，取1x =，得()10f =，
又()1ln1f a b a b =-+=-+，所以b a =．从而()ln a f x x ax x
=-+
， ()2111f x a x x ⎛
⎫=
-+ ⎝'⎪⎭
，()112f a '=-． 又()()511501
f f '--=
=-，所以125a -=，2a =-．
（2）2233
22ln 2ln ln 22222a a a a f a a a ⎛⎫=-+=+-- ⎪⎝⎭
．
令()322ln ln 22x g x x x =+--，则()()4
2223412232x x x g x x x x x
-+-'=--=， 所以()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 故()0,1x ∈时，()()13
12ln 2ln 022
g x g e >=-
->->， 所以01a <<时，02a f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
． （3）()222
111ax x a f x a x x x -+-⎛
⎫=-+= ⎪⎭
'⎝， ①当0a ≤时，在()0,+∞上，()0f x '>，()f x 递增，所以，()f x 至多只有一个零点，不合题意； ②当1
2
a ≥
时，在()0,+∞上，()0f x '≤，()f x 递减，所以，()f x 也至多只有一个零点，不合题意；
③当102a <<时，令()0f x '=，得2111412a x a --=<，2
211412a x a
+-=>． 此时，()f x 在()10,x 上递减，()12,x x 上递增，()2,x +∞上递减， 所以，()f x 至多有三个零点．
因为()f x 在()1,1x 上递增，所以()()110f x f <=．
又因为202a f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，所以
，使得()00f x =．
又()0010f f x x ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，()10f =，所以()f x 恰有三个不同的零点：0x ，1，01x ．
综上所述，当()f x 存在三个不同的零点时，a 的取值范围是10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
．
考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值及函数零点问题.
【方法点晴】本题主要考查的是导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值、函数零点问题立，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得x 的范围就是递减区间④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）、（3）解题过程都是围绕先求单调区间再求最值这一思路，进一步解答问题的. 19．已知函数()ln ()f x x ax
a =-∈R .
（1）若函数()f x 在0x x =处的切线方程为10x+y+=，求a 的值； （2）若函数()f x 无零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）a=2；（2）1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
【解析】 【分析】
（1）求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由切线的方程可得a ，0x 的方程，进而得到a ；
（2）求得()f x 的导数，讨论0a <，0a =，0a >，求得单调性和极值，最值，结合图象可得所求范围． 【详解】
（1）函数()1f x nx ax =-的导数为1
()f x a x
'=
-， 由()f x 在0x x =处的切线方程为10x y ++=， 可得
1
1a x -=-，0001x lnx ax --=-，
解得2a =，01x =；
（2）函数()1f x nx ax =-的导数为1
()f x a x
'=
-， 当0a …，由0x >可得()0f x '>，即()f x 在0x >递增，(1)0,0,()()f a x f x f x =->→→-∞∴有且只有一个零点； 当0a >时，由1x a >，()f x 递减，1
0x a
<<，()f x 递增， 可得1x a
=
处()f x 取得极大值，且为最大值1
1ln a -，
由题意可得1
10ln a -<，解得1a e >，
综上可得1
a e
>时，函数()f x 无零点．
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程思想和分类讨论思想，考查运算能力，属于中档题．
20．已知0a >，0b >，c R ∈.
（1）用分析法证明：
2523
23a b a b
≤++；
（2）用反证法证明：614c c ++与32
12
c c ++不能同时为负数.
【答案】 (1)见解析(2)见解析 【解析】
分析：（1）利用分析法，原命题等价于证明()2
60a b -≥，则题中的结论成立.
（2）假设614c c ++与32
12c c ++同时为负数，而22
6323311104224
c c c c c c ⎛⎫⎛⎫++++=++++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
与假设矛盾，则题中的结论成立. 详解：（1）因为0a >，0b >，要证：2523
23a b a b
≤++，
只需证：()()252332ab a b a b ≤++， 只需证：22256613ab a b ab ≤++，
即证：2266120a b ab +-≥，即证：()2
60a b -≥，
显然上式恒成立，故
2523
23a b a b ≤++.
（2）设614c c ++与3212c c ++同时为负数，则632
304
c c c c ++++<（1），
所以6
3
2
633144c c c c c c ⎛⎫++++=++ ⎪⎝⎭ 22
2311111044224
c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 与（1）式矛盾，所以假设不成立，所以6
14c c ++
与32
12
c c ++不能同时为负数. 点睛：本题主要考查分析法、反证法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和逻辑思维能力. 21．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与
数学期望
.
【答案】（1）827（2）19（3）148
()81
E ξ= 【解析】 【分析】 【详解】
解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13
，去参加乙游戏的概率为2
3.设“这4个人中恰
有i 人去参加甲游戏”为事件
(i ＝0,1,2,3,4)，则
（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
（Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则，
由于
与
互斥，故
所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1
9
（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于
与
互斥，
与
互斥，故 ，
．
所以ξ的分布列是 ξ
2
4
P
827
4081
1781
随机变量ξ的数学期望
考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.相互独立事件的概率乘法公式；3.离散型随机变量及其分布列． 22．在二项式32(n x x
的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.
（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有有理项的系数之和.
【答案】（1）83358
x （2）-8916
【解析】 【分析】
（1）由二项式定理展开式中的通项公式求出前三项，由前三项系数的绝对值成等差数列列方程即可求得
n ，问题得解．
（2）由()463
18
12r
r r r T C x
-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，对r 赋值，使得x 的指数为正数即可求得所有理项，问题得解．
【详解】
（1）由二项式定理得展开式中第1r +项为
343311122r
r
r n r r n r r r n n T C x x C x
---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，0,1,2,,r n =L 所以前三项的系数的绝对值分别为1，112
n C ，2
14n C ，
由题意可得12
112124
n n C C ⨯
=+，整理得2980n n -+=， 解得8n =或1n =（舍去），
则展开式中二项式系数最大的项是第五项，
4
38448
4
3358
13528T C x x ⨯-⨯⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
（2）因为()
463
1812r
r r r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，
若该项为有理项，则()463
r -是整数，
又因为08r ≤≤，
所以0r =或3r =或6r =，
所以所有有理项的系数之和为
036
036
888
111789
17
2221616 C C C
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-+-+-=-+=-
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，考查分析能力，转化能力及计算能力，属于基础题．。