【浙教版】八年级数学上期中模拟试卷(及答案)(1)

一、选择题
1．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（ ）
A ．()2,2
B ．(2,1)-
C ．()2,1-
D ．(2,1)-- 2．已知点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称，则2020()a b +的值（ ）
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3 3．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，
E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）
A ．6cm
B ．6.5cm
C ．7cm
D ．8cm 4．如图，在Rt ABC 中，∠BAC ＝90°，以点A 为圆心，以AB 长为半径作弧交BC 于点
D ，再分别以点B ，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点
E ，如果AB ＝3，AC ＝4，那么线段AE 的长度是（ ）
A ．125
B ．95
C ．85
D ．75
5．如图，OM 、ON 、OP 分别是AOB ∠，BOC ∠，AOC ∠的角平分线，则下列选项成立的（ ）
A ．AOP MON ∠>∠
B ．AOP MON ∠=∠
C ．AOP MON ∠<∠
D ．以上情况都有可能 6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）．
A ．3的平方根是3
B ．5是无理数
C ．1的立方根是1
D ．全等三角形的周长相等 7．如图，ABC 和DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F ，要使ABC DEF ≅，还需增加的
条件是（ ）
A ．AB=EF
B ．AC=DF
C ．∠B=∠E
D ．CB=D
E 8．下列各命题中，假命题是（ ）
A ．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
B ．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等
C ．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等
D ．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等
9．下列命题中，是假命题的是（ ）
A ．直角三角形的两个锐角互余
B ．在同一个平面内，垂直于同一条直线的两
条直线平行
C ．同旁内角互补，两直线平行
D ．三角形的一个外角大于任何一个内角 10．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合DFB ∠的度数为（ ）
A ．145︒
B ．155︒
C ．165︒
D ．175︒
11．小李同学将10,12,16,22cm cm cm cm 的四根木棒首尾相接，组成一个凸四边形，若凸四边形对角线长为整数，则对角线最长为（ ）
A ．25cm
B ．27cm
C ．28cm
D ．31cm 12．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（ ）
A ．3cm,2cm,1cm
B ．3cm,4cm,5cm
C ．6cm,6cm,12cm
D ．5cm,12cm,6cm 二、填空题
13．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，连接EF ，将BEF ∠对折B 落在直线EF 上的点'B 处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的
点'A 得折痕EN ，若6215'BEM ∠=︒，则AEN ∠=____．
14．如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C ，D ，O 是网格线交点，那么
AOB ∠___________COD ∠（填“＞”，“＜”或“＝”）．
15．如图，在ABC 中，=6AB ，=4AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，2BD AE CE ===，//CE AB 交DE 的延长线于点F ，则CF 的长为_____________．
16．如图，在ABC 中，C 90∠=，A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ．若AC 3=，BC 4=，AB 5=，则AD =________．
17．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC=90°，E 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为F ，AB=DE ．若BD=8cm ，则AC 的长为_________．
18．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点，则6ABC S =，则BEF S =△______．
19．如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DC ，∠1、∠2、∠3、∠4分别是∠BAF 、∠AFE 、∠FED 、∠EDC 的外角，则∠1+∠2+∠3+∠4＝_____．
20．如图，在ABC 中，已知66ABC ∠=︒，54ACB ∠=︒，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，EHF ∠的度数是________．
三、解答题
21．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （−4，5），B （﹣3，1），C （−2，3）．
（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，其中点B 1的坐标是________； （2）若点M 是x 轴上的动点，在图中画出使△B 1CM 周长最小时的点M ．
22．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．
（1）求证：BDE CDF ≌；
（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4GH AB 1=
． 23．在ABC 中，AD 是ABC 的高，30B
，52C ︒∠=
（1）尺规作图：作ABC 的角平分线AE （2）求DAE ∠的大小．
24．如图，已知在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，别过B 、C 两点向过A 的直线作垂线，垂足分别为E 、F ．求证：EF BE CF =+．
25．如图，在ABC 中，30A ∠=︒，80ACB ∠=︒，ABC 的外角CBD ∠的平分线BE 交AC 的延长线于点E ．
（1）求CBE ∠的度数；
（2）过点D 作//DF BE ，交AC 的延长线于点F ，求F ∠的度数．
26．如图BC 平分∠ABE ，DC 平分∠ADE ，求证：∠E+∠A=2∠C
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标．
【详解】
解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3）， ∴线段AB 沿y 轴翻折，
∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1）
故选：C ．
【点睛】
本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．
2．C
解析：C
【分析】
根据关于坐标轴对称的规律，关于谁对称谁不变，另一个坐标变为相反数即可获得a 和b 的值，然后即可得解．
【详解】
∵点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称
∴2a =，3b =-
∴()
()20182018231a b +=-= 故选：C ．
【点睛】
本题考查了在坐标平面直角坐标系中关于x 轴对称的点的坐标的变化规律，点(),x y 关于
x 轴对称的点的坐标为()x y -，，熟记规律即可得到正确答案．
3．D
解析：D
【分析】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．
【详解】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，
AB AC =，AD 平分BAC ∠，
∴AN BC ⊥，BN CN =，
∴90ANB ANC ∠=∠=，
60EBC E ∠=∠=，
∴EBM △是等边三角形，
6BE cm =，
∴6EB EM BM cm ===，
//DF BC ，
∴60EFD EBM ∠=∠=，
∴EFD △是等边三角形，
2DE cm =，
∴2EF FD ED cm ===，
∴4DM cm =，
EBM △是等边三角形，
∴60EMB ∠=，
∴30NDM ∠=，
∴2NM cm =，
∴4BN BM NM cm =-=，
∴28BC BN cm ==．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN的长度是解决问题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
根据作图过程可得AP是BD的垂直平分线，根据勾股定理可得BC的长，再根据等面积法求出AE的长即可．
【详解】
解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC
5
=，
根据作图过程可知：AP是BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，AE⊥BD，
∴△ABC的面积：1
2AB•AC＝
1
2
BC•AE，
∴5AE＝12，
∴AE＝12
5
．
故选：A．
【点睛】
本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据角平分线的定义可得∠AOP=1
2
∠AOC，∠AOM=∠MOB=1
2
∠AOB，
∠CON=∠BON=1
2∠BOC，进而可得∠MON=1
2
∠AOB+1
2
∠BOC=1
2
∠AOC，从而可得
∠AOP=∠MON．
【详解】
解：∵OP平分∠AOC，
∴∠AOP=1
2
∠AOC，
∵OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的平分线，
∴∠AOM=∠MOB=1
2∠AOB，∠CON=∠BON=1
2
∠BOC，
∴∠MON=1
2∠AOB+1
2
∠BOC=1
2
∠AOC，
∴∠AOP=∠MON ．
故选B ．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分． 6．C
解析：C
【分析】
根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．
【详解】
A 3的逆命题是：3的平方根，是假命题；
B
C 、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；
D 、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；
故选：C ．
【点睛】
此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．
7．B
解析：B
【分析】
根据AAS 定理或ASA 定理即可得．
【详解】
在ABC 和DEF 中，,A C F D ∠∠∠=∠=，
∴要使ABC DEF ≅，只需增加一组对应边相等即可，
即需增加的条件是AB DE =或AC DF =或BC EF =，
观察四个选项可知，只有选项B 符合，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 8．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判定定理进行证明并依次判断．
【详解】
解：A 、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
B 、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命题；
C 、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
D 、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
故选：B ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，灵活判定命题真假，熟记定理并灵活应用解决问题是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
利用三角形外角的性质、平行线的性质及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A. 直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题；
B. 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题；
C. 同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；
D. 三角形的一个外角大于任何一个内角，错误，是假命题；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，三角形外角的性质、平行线的性质及直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据三角形的内角和定理可求45E ∠=︒，利用补角的定义可求120FBE ∠=︒，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出DFB ∠的度数
【详解】
解：在DEC ∆中
∵90C ∠=︒，45CDE ∠=︒
∴45E ∠=︒
又∵60ABC ∠=︒
∴120FBE ∠=︒
由三角形的外角性质得
DFB E FBE ∠=∠+∠
45120=︒+︒
故选：C
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，互为补角的定义及三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角性质
11．B
解析：B
【分析】
根据三角形的三边的关系确定对角线的长度范围即可选择．
【详解】
如图，设10AB cm =，12BC cm =，16CD cm =，22AD cm =．
根据三角形三边关系可知
①101222AC AB BC cm <+=+=，162238AC AD CD cm <+=+=，故22AC cm <．
②102232BD AB AD cm <+=+=，121628BD BC CD cm <+=+=，故28BD cm <．
∵凸四边形对角线长为整数，
∴对角线最长为27cm ．
故选：B ．
【点睛】
本题考查三角形的三边关系．熟知三角形两边之和大于第三边是解答本题的关键． 12．B
解析：B
【分析】
三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，知：
A 中，1+2=3，排除；
B 中，3+4＞5，可以；
C 中，6+6=12，排除；
D 中，5+6＜12，排除．
故选：B ．
本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
二、填空题
13．【分析】先根据折叠的性质求出∠B′EM根据邻补角求出∠AEA′再根据折叠的性质即可求出∠AEN【详解】解：根据折叠可知：EM平分
∠BEB′∴∠B′EM=∠BEM=62°15′∴∠AEA′=180°-
解析：2745'
︒
【分析】
先根据折叠的性质求出∠B′EM，根据邻补角求出∠AEA′，再根据折叠的性质即可求出
∠AEN．
【详解】
解：根据折叠可知：EM平分∠BEB′，
∴∠B′EM=∠BEM=62°15′，
∴∠AEA′=180°-2×62°15′=55°30′，
EN平分∠AEA′，
∴∠AEN=∠A′EN=1
2∠AEA′=1
2
×55°30′=27°45′，
故答案为：27°45′．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，邻补角的定义，以及角的计算、度分秒的换算，解决本题的关键是掌握折叠的性质．
14．>【分析】如图过点B作BE⊥AC于E证明△BOE是等腰直角三角形得到∠BOE=过点C作CF⊥OC使FC=OC证明△OCF是等腰直角三角形得到∠FOC=由图知∠FOC>∠COD即可得到∠AOB>∠CO
解析：>
【分析】
如图，过点B作BE⊥AC于E，证明△BOE是等腰直角三角形，得到∠BOE=45︒，过点C 作CF⊥OC，使FC=OC，证明△OCF是等腰直角三角形，得到∠FOC=45︒，由图知
∠FOC>∠COD，即可得到∠AOB>∠COD．
【详解】
如图，过点B作BE⊥AC于E，
∵OB=OE=2，∠BEO=90︒，
∴△BOE是等腰直角三角形，
∴∠BOE=45︒，
过点C作CF⊥OC，使FC=OC，
∴∠FCO=90︒，
∴△OCF 是等腰直角三角形，
∴∠FOC=45︒，
由图知∠FOC>∠COD ，
∴∠AOB>∠COD ，
故答案为：>．
．
【点睛】
此题考查等腰直角三角形的判定及性质,角的大小比较，根据图形确定角的位置关系是解题的关键．
15．4【分析】根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD 再求出AD 的长即可【详解】解：∵AB=6BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵∴∠BAC=∠FCE 在△ADE 和△CFE 中∴△ADE ≌△CFE ∴
解析：4
【分析】
根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD ，再求出AD 的长即可．
【详解】
解：∵AB=6，BD=2
∴AD=AB-BD=6-2=4
∵//CE AB
∴∠BAC=∠FCE ，
在△ADE 和△CFE 中
BAC FCE AE CE
AED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ADE ≌△CFE
∴CF=AD=4．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADE ≌△CFE 是解答此题的关键． 16．【分析】根据三角形角平分线的交点到边的距离相等再利用三角形面积公式解答即可【详解】解：过作于于∵的平分线交于于∴∵∴四边形是正方形∴∵的面积即解得：∴∴在与中∴∴故答案为：【点睛】本题考查了角平分线 解析：2
【分析】
根据三角形角平分线的交点到边的距离相等，再利用三角形面积公式解答即可．
【详解】
解：过O 作OE AC ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，
∵A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ，
∴OD OE OF ==．
∵C 90∠=，
∴四边形ECFO 是正方形，
∴OE OF CE CF ===．
∵ABC 的面积1111AC BC AB OD AC OE BC OF 2222
=⋅=⋅+⋅+⋅， 即()1134OE 34522
⨯⨯=⨯++， 解得：1OE =， ∴CE OE 1==，
∴AE AC CE 2=-=．
在Rt AEO 与Rt ADO 中，AO AO OE OD =⎧⎨=⎩
， ∴Rt AEO Rt ADO ≅，
∴AD AE 2==．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 17．4cm 【分析】由DE ⊥AB 可得∠BFE=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠DEB=90°由∠ACB=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠A=90°根据同角的余角相等可得∠A=∠DE
解析：4cm ．
【分析】
由DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB ，然后根据AAS 判断△ABC ≌△EDB ，根据全等三角形的对应边相等即可得到
BD=BC ，AC=BE ，由E 是BC 的中点，得到BE=
12BC=12
BD=4． 【详解】
解：∵DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB ，
在△ABC 和△EDB 中， ACB DBC A DEB
AB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△ABC ≌△EDB （AAS ），
∴BD=BC ，AC=BE ，
∵E 是BC 的中点，BD=8cm ，
∴BE=12BC=12
BD=4cm ， ∴AC=4cm ．
故答案为：4cm ．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．
18．【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可
【详解】解：∵BD=DC ∴S △ABD=S △ADC=×6=3（cm2）
∵AE=DE ∴S △AEB=S △AEC=×3=（cm2）∴S △BEC 解析：32
【分析】
利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可．
【详解】
解：∵BD=DC ，
∴S △ABD =S △ADC =
12×6=3（cm 2）， ∵AE=DE ，
∴S △AEB =S △AEC =12×3=32
（cm 2）， ∴S △BEC =6-3=3（cm 2），
∵EF=FC ，
∴S△BEF=1
2×3=
3
2
（cm2），
故答案为3
2
．
【点睛】
本题考查三角形的面积，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．180°【分析】根据多边形的外角和减去∠B和∠C的外角的和即可确定四个外角的和【详解】解：∵AB∥DC∴∠B+∠C＝180°∴∠B的外角与∠C的外角的和为180°∵六边形ABCDEF的外角和为360
解析：180°
【分析】
根据多边形的外角和减去∠B和∠C的外角的和即可确定四个外角的和．
【详解】
解：∵AB∥DC，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠B的外角与∠C的外角的和为180°，
∵六边形ABCDEF的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
故答案为：180°．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理，解题的关键是发现∠B和∠C的外角的和为180°20．120°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数再根据CF是AB上的高得出∠ACF的度数再由三角形外角的性质即可得出结论【详解】解：
∵∠ABC=66°∠ACB=54°∴∠A=60°∵CF是AB上
解析：120°
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据CF是AB上的高得出∠ACF的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，
∴∠A=60°，
∵CF是AB上的高，
∴在△ACF中，∠ACF=180°-∠AFC-∠A=30°，
在△CEH中，∠ACF=30°，∠CEH=90°，
∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°．
故答案为120°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质、三角形的高线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题
21．（1）图形见解析；B 1（3，2）；（2）见解析
【分析】
（1）分别找到A 、B 、C 点关于y 轴的对称点，然后连接即可；
（2）找C 关于x 轴的对称点C′，连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．
【详解】
解：（1）111A B C △如图所示；根据图形可知B 1(3，2)，
故答案为：(3，2)；
（2）如图所示：找C 关于x 轴的对称点C′，则C′(-2，-3)，CM C M '=，
连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．
【点睛】
本题考查作图-轴对称、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握基础知识．
22．（1）见详解；（2）见详解．
【分析】
（1）由AB=AC ，AD 是中线，得到∠B=∠C ，BD=CD ，即可得到结论；
（2）由等腰三角形的性质得到AD ⊥BC ，根据平行线的性质得到∠AHG=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．
【详解】
证明（1）如图：
∵AB=AC ，AD 是中线，
∴∠B=∠C ，BD=CD ，
在△BDE 与△CDF 中，
BE CF B C BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDE ≌△CDF ；
（2）∵GH ∥BD ，∠B=60°，
∴∠AGH=60°，
∵AB=AC ，AD 是中线，
∴AD ⊥BC ，
∴∠BAD=30°∠AHG=90°，
∴GH=
12AG ， ∵AG=
12AB ， ∴GH=14
AB ． 【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握定理是解题的关键．
23．（1）作图见解析；（2）11
【分析】
（1）以任意长度为半径，点A 为圆心画圆弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以点M 、N 为圆心，大于
2MN 的长度为半径画圆弧并相交于点K ，连接AK ，AK 交BC 于点E ，即可得到答案；
（2）结合题意，根据三角形内角和定理，得BAC ∠；再根据角平分线性质得EAC ∠；结合AD 是ABC 的高，根据直角三角形两锐角互余的性质计算得DAC ∠；最后通过DAE EAC DAC ∠=∠-∠的关系计算完成求解．
【详解】
（1）作图如下：
AE 即为ABC 的角平分线；
（2）∵30B ，52C ︒∠=
∴180180305298BAC B C ∠=-∠-∠=--=
∵AE 为BAC ∠的角平分线 ∴492
BAC EAC ∠∠== ∵AD 是ABC 的高 ∴90ADC ∠=
∴90905238DAC C ∠=-∠=-=
∴493811DAE EAC DAC ∠=∠-∠=-=．
【点睛】
本题考查了角平分线、三角形内角和、直角三角形两锐角互余、三角形高的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、三角形内角和、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．
24．见解析
【分析】
证明△BEA ≌△AFC ，得到AE=CF ，BE=AF ，即可得到结论．
【详解】
证明：BE EA ⊥，CF AF ⊥，
90BAC BEA AFC ∴∠=∠=∠=︒，
90EAB CAF ∴∠+∠=︒，90EBA EAB ∠+∠=︒，
CAF EBA ∴∠=∠，
在ABE △和AFC △中，
BEA AFC EBA CAF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
(AAS)BEA AFC ∴△≌△．
AE CF ∴=，BE AF =．
EF AF AE BE CF ∴=+=+．
．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．
25．（1）55CBE ∠=︒；（2）25F ∠=︒．
【分析】
(1)利用三角形的外角性质和角的平分线性质求解即可；
(2)根据三角形外角的性质和两直线平行，同位角相等求解.
【详解】
（1）在ABC 中，30A ∠=︒，80ACB ∠=︒，
3080110CBD A ACB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒， BE 是CBD ∠的平分线， 111105522
CBE CBD ∴∠=∠=⨯︒=︒； （2）80ACB ∠=︒，55CBE ∠=︒，
805525CEB ACB CBE ∴∠=∠--︒∠=︒=︒，
//DF BE ，
25F CEB ∴∠=∠=︒.
【点睛】
本题考查了运用三角形外角性质，角平分线性质，平行线的性质求角的度数，熟练并灵活运用这些性质是解题的关键.
26．证明见解析．
【分析】
如图（见解析），先根据角平分线的定义可得12,34∠=∠∠=∠，再根据三角形的外角性质可得13,42A C E C ∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠，然后两式相加化简即可得．
【详解】
如图，BC 平分ABE ∠，DC 平分ADE ∠，
12,34∴∠=∠∠=∠，
由三角形的外角性质得：153462A C E C ∠+∠=∠=∠+∠⎧⎨∠+∠=∠=∠+∠⎩
， 即1342A C E C ∠+∠=∠+∠⎧⎨∠+∠=∠+∠⎩
， 两式相加得：14223A E C ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠，
14214A E C ∴∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠，
2E A C ∴∠+∠=∠．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．。