2019-2020年无锡市XX中学高一上册期末数学试卷含解析(强化班)

江苏省无锡市中学高一（上）期末数学试卷（强化班）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．
1．（5分）已知M={|﹣2≤≤2}，N={|＜1}，则（∁R M）∩N=．
2．（5分）设，y∈R，向量，，且，，则+y=．3．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．
4．（5分）已知cosα=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）=．
5．（5分）设2a=5b=m，且+=2，m=．
6．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=．
7．（5分）若函数的图象与轴有公共点，则m的取值范围是．8．（5分）设向量，满足，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为．9．（5分）若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为．10．（5分）已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则=．
11．（5分）已知f（）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是．
12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，
•=﹣1，则•的值是．
13．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（）=（2﹣1）*（﹣1），且关于的方程为f（）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根1，2，3，则实数m的取值范
围是；1+2+3的取值范围是．
14．（5分）已知函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，|φ|≤），=﹣为f（）的零点，=为y=f（）图象的对称轴，且f（）在（，）单调，则ω的最大值为．
二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设函数，其中0＜ω＜2；
（Ⅰ）若f（）的最小正周期为π，求f（）的单调增区间；
（Ⅱ）若函数f（）的图象的一条对称轴为，求ω的值．
16．（14分）已知△ABC中．
（1）设•=•，求证：△ABC是等腰三角形；
（2）设向量=（2sinC，﹣），=（sin2C，2cos2﹣1），且∥，若sinA=，求sin（
﹣B）的值．
17．（14分）如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C．
（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求|+|的最小值；
（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求•的取值范围．
18．（16分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E 为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；
（2）设MN与AB之间的距离为米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于的函数S=f（）；
（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．
19．（16分）如图，正方形ABCD中边长为1，P、Q分别为BC、CD上的点，△CPQ周长为2．
（1）求PQ的最小值；
（2）试探究求∠PAQ是否为定值，若是给出证明；不是说明理由．
20．（16分）已知函数f（）=|﹣a|+2．
（1）若函数f（）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得对任意∈[1，2]时，函数f（）的图象恒在函数g（）=2+1图象的下方；
（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得关于的方程f（）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．
高一（上）期末数学试卷（强化班）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．
1．（5分）已知M={|﹣2≤≤2}，N={|＜1}，则（∁R M）∩N={|＜﹣2} ．
【解答】解：∵M={|﹣2≤≤2}，N={|＜1}，
∴∁R M={|＜﹣2或＞2}，
则（∁R M）∩N={|＜﹣2}．
故答案为：{|＜﹣2}
2．（5分）设，y∈R，向量，，且，，则+y=0．【解答】解：∵，，
∴=2﹣4=0，2y+4=0，
则=2，y=﹣2．
∴+y=0．
故答案为：0．
3．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=3．
【解答】解：∵，=1
∴=
∴|2|====
解得
故答案为：3
4．（5分）已知cosα=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）=﹣．
【解答】解：∵cosα=，且α∈（﹣，0），
∴sinα=﹣=﹣，
则sin（π﹣α）=sinα=﹣．
故答案为：﹣
5．（5分）设2a=5b=m，且+=2，m=．
【解答】解：∵2a=5b=m，∴a=log2m，b=log5m，由换底公式得
，∴m2=10，∵m＞0，∴
故应填
6．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=sin（4+）．
【解答】解：将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移，
得到函数y=sin[2（+）﹣]=sin（2+）的图象，
将所得图象上所有的点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），
则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4+）
故答案为：sin（4+）．
7．（5分）若函数的图象与轴有公共点，则m的取值范围是[﹣1，0）．【解答】解：作出函数的图象如图，由图象可知0＜g（）≤1，则m
＜g（）+m≤1+m，
即m＜f（）≤1+m，
要使函数的图象与轴有公共点，
则，解得﹣1≤m＜0．
故答案为：[﹣1，0）．
8．（5分）设向量，满足，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为（﹣4，﹣2）．
【解答】解：设=（，y），
∵与的方向相反，
∴=（2λ，λ），（λ＜0）．
又∵，
∴=2，
解得λ=﹣2，
∴=（﹣4，﹣2）．
故答案为：（﹣4，﹣2）．
9．（5分）若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为．
【解答】解：∵θ是△ABC的一个内角，且，
∴sinθ＞0，cosθ＜0，
∴sinθ﹣cosθ====，
故答案为．
10．（5分）已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则=﹣．
【解答】解：函数f（）=sin（ω+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，
∴函数f（）的周期T=，
∵ω＞0
∴ω=3
∵角φ的终边经过点P（1，﹣2），
∴sinφ=，cosφ=
∴=sin（3•+φ）=sin（+φ）=（sinφ+cosφ）=•（）=﹣
故答案为：﹣
11．（5分）已知f（）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值
范围是．
【解答】解：∵f（）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，
∴，
解得：，
故答案为：
12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，
•=﹣1，则•的值是．
【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，
∴=+，=﹣+，
=+3，=﹣+3，
∴•=2﹣2=﹣1，
•=92﹣2=4，
∴2=，2=，
又∵=+2，=﹣+2，
∴•=42﹣2=，
故答案为：
13．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（）=（2﹣1）*（﹣1），且关于的方程为f（）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根1，2，3，则实数m的取值范
围是；1+2+3的取值范围是．
【解答】解：∵，
∴f（）=（2﹣1）*（﹣1）=，
则当=0时，函数取得极小值0，当=时，函数取得极大值
故关于的方程为f（）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根1，2，3时，
实数m的取值范围是
令f（）=，则=，或=
不妨令1＜2＜3时
则＜1＜0，2+3=1
∴1+2+3的取值范围是
故答案为：，
14．（5分）已知函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，|φ|≤），=﹣为f（）的零点，=为y=f（）图象的对称轴，且f（）在（，）单调，则ω的最大值为9．
【解答】解：∵函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，|φ|≤），=﹣为f（）的零点，=为y=f（）图象的对称轴，
∴ω（﹣）+φ=nπ，n∈，且ω•+φ=n′π+，n′∈，
∴相减可得ω•=（n′﹣n）π+=π+，∈，即ω=2+1，即ω为奇数．
∵f（）在（，）单调，
（1）若f（）在（，）单调递增，
则ω•+φ≥2π﹣，且ω•+φ≤2π+，∈，
即﹣ω•﹣φ≤﹣2π+①，且ω•+φ≤2π+，∈②，
把①②可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．
当ω=11时，﹣+φ=π，∈，∵|φ|≤，∴φ=﹣．
此时f（）=sin（11﹣）在（，）上不单调，不满足题意．
当ω=9时，﹣+φ=π，∈，∵|φ|≤，∴φ=，
此时f（）=sin（9+）在（，）上单调递减，不满足题意；
故此时ω无解．
（2）若f（）在（，）单调递减，
则ω•+φ≥2π+，且ω•+φ≤2π+，∈，
即﹣ω•﹣φ≤﹣2π﹣③，且ω•+φ≤2π+，∈④，
把③④可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．
当ω=11时，﹣+φ=π，∈，∵|φ|≤，∴φ=﹣．
此时f（）=sin（11﹣）在（，）上不单调，不满足题意．
当ω=9时，﹣+φ=π，∈，∵|φ|≤，∴φ=，
此时f（）=sin（9+）在（，）上单调递减，满足题意；
故ω的最大值为9．
故答案为：9．
二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设函数，其中0＜ω＜2；
（Ⅰ）若f（）的最小正周期为π，求f（）的单调增区间；
（Ⅱ）若函数f（）的图象的一条对称轴为，求ω的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（）=sin2ω+…（2分）
=sin（2ω+）+．…（3分）
∵T=π，ω＞0，
∴，
∴ω=1．…（4分）
令，…（5分）
得，…（6分）
所以f（）的单调增区间为：．…（7分）
（Ⅱ）∵的一条对称轴方程为，
∴．…（9分）
∴．…（11分）
又0＜ω＜2，
∴．
∴=0，
∴．…（13分）
16．（14分）已知△ABC中．
（1）设•=•，求证：△ABC是等腰三角形；
（2）设向量=（2sinC，﹣），=（sin2C，2cos2﹣1），且∥，若sinA=，求sin（
﹣B）的值．
【解答】（1）证明：∵•=•，∴，
∴，即．
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：=（2sinC，﹣），=（sin2C，2cos2﹣1），且∥，
则∴，则，
得，∴sin2C=0，
∵C∈（0，π），∴．
∵，，∴，．
∴．
17．（14分）如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C．
（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求|+|的最小值；
（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求•的取值范围．
【解答】解：（1）以O为原点，OA为轴建立直角坐标系，则
设D（t，0）（0≤t≤1），则，
所以，
当时，．
（2）由题意，设C（cosθ，sinθ），
所以
=．因为，则，所以．
18．（16分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E 为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；
（2）设MN与AB之间的距离为米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于的函数S=f（）；
（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．
【解答】解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此
时△EMN中MN边上的高为0.5米，又因为EM=EN=1米，所以MN=米，所以
，即三角通风窗EMN的通风面积为
（2）当MN在矩形区域内滑动，即时，△EMN的面积；当MN在半圆形区域内滑动，即时，△EMN的面积
综上可得；
（3）当MN在矩形区域内滑动时，f（）在区间上单调递减，则f（）＜f（0）=；当MN在半圆形区域内滑动，等号成立时，
因此当（米）时，每个三角形得到最大通风面积为平方米．
19．（16分）如图，正方形ABCD中边长为1，P、Q分别为BC、CD上的点，△CPQ周长为2．
（1）求PQ的最小值；
（2）试探究求∠PAQ是否为定值，若是给出证明；不是说明理由．
【解答】解：设∠CPQ=θ，则CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ
（1）（）
∴
∴
（2）分别以AB，AD所在直线为轴、y轴建立平面直角坐标系，
设Q（，1），P（1，y），设∠DAQ=α，∠PAB=β
∴，即y+（+y）=1
又tanα=，tanβ=y
∴，
∴
∴
20．（16分）已知函数f（）=|﹣a|+2．
（1）若函数f（）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得对任意∈[1，2]时，函数f（）的图象恒在函数g（）=2+1图象的下方；
（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得关于的方程f（）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）
由f（）在R上是增函数，则即﹣2≤a≤2，则a范围为﹣2≤a≤2；（4分）
（2）由题意得对任意的实数∈[1，2]，f（）＜g（）恒成立，
即|﹣a|＜1，当∈[1，2]恒成立，即，，，故只要
且在∈[1，2]上恒成立即可，
在∈[1，2]时，只要的最大值小于a且的最小值大于a即可，（6分）
而当∈[1，2]时，，为增函数，；
当∈[1，2]时，，为增函数，，
所以；（10分）
（3）当﹣2≤a≤2时，f（）在R上是增函数，则关于的方程f（）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；（11分）
则当a∈（2，4]时，由得≥a时，f（）=2+（2﹣a）对称轴，则f（）在∈[a，+∞）为增函数，此时f（）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），＜a时，f（）=﹣2+（2+a）对称轴，
则f（）在为增函数，此时f（）的值域为，f（）在
为减函数，此时f（）的值域为；
由存在a∈（2，4]，方程f（）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则，
即存在a∈（2，4]，使得即可，令，
只要使t＜（g（a））ma即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数，，
故实数t的取值范围为；（15分）
同理可求当a∈[﹣4，﹣2）时，t的取值范围为；
综上所述，实数t的取值范围为．（16分）。