江苏省2012届高三数学二轮专题训练 解答题(65)

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（65）
本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．(本题满分14分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}，B={x|x2-2mx+m2-4≤0，x∈R，m∈R}.
(Ⅰ)若A B=[0,3]，求实数m的值；
(Ⅱ)若A C R B，求实数m的取值范围.
2．(本题满分14分)数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+cn(c是常数，n=1,2,3,…)，且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.
(Ⅰ)求c的值；
(Ⅱ)求{a n}的通项公式.
3．(文科)(本题满分14分)设函数f(x)=a ·b ，其中a =(m,cos2x)，b =(1+sin2x,1)，x ∈R ，
且函数y=f(x)的图象经过点(4
π
,2). (Ⅰ)求实数m 的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的最小值及此时x 值的集合.
(理科)(本题满分14分)已知函数f(x)=e x
-kx ，x ∈R. (Ⅰ)若k=e ，试确定函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若k>0，且对于任意x ∈R ，f(|x|)>0恒成立，试确定实数k 的取值范围.
4．(本题满分16分)A 、B 是函数f(x)=12+2log x
1-x
的图象上的任意两点，且OM =12
(OA +OB )，
已知点M 的横坐标为
12
. (Ⅰ)求证：M 点的纵坐标为定值；
(Ⅱ)若S n =f(
1n )+f(2n )+…+f(n -1n
)，n ∈N +且n ≥2，求S n ； (Ⅲ)已知数列{a n }的通项公式为⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩n +n n+12
(n =1)3
a =1 (n ≥2,n ∈N )
(S +1)(S +1)
. T n 为其前n
项的和，若T n <λ(S n+1+1)，对一切正整数都成立，求实数λ的取值范围.
5．(本题满分16分)(Ⅰ)
(Ⅱ)试比较n
n+1
与(n+1)n
(n ∈N +)的大小，根据(Ⅰ)的结果猜测一个一般性结论，并加
以证明.
6. (本题满分16分)设函数y=f(x)对任意实数x ，都有f(x)=2f(x+1)，当x ∈
[0,1]时，f(x)=
274
x 2
(1-x). (Ⅰ)已知n ∈N +，当x ∈[n,n+1]时，求y=f(x)的解析式； (Ⅱ)求证：对于任意的n ∈N +，当x ∈[n,n+1]时，都有|f(x)|≤
n
12； (Ⅲ)对于函数y=f(x)(x ∈[0,+∞)，若在它的图象上存在点P ，使经过点P 的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由.
1．解：由已知得：A={x|-1≤x ≤3}，B={x|m-2≤x ≤m+2}
(Ⅰ)∵A
B=[0,3]，∴⎧⎨
⎩m -2=0m +2≥3，∴⎧⎨⎩m =2
m ≥1
，∴m=2. …………7分
(Ⅱ)C R B={x|x<m-2或x>m+2}，∵A ⊆C R B ，∴m-2>3，或m+2<-1，
∴m 的取值范围为(-∞,-3)
(5,+∞).…………………………14分
2．解：(Ⅰ)a 1=2，a 2=2+c ，a 3=2+3c ，因为a 1,a 2,a 3成等比数列，所以(2+c)2
=2(2+3c)，解得
c=0或c=2. 当c=0时，a 1=a 2=a 3，不合题意，舍去，故c=2. ……
…………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)当n ≥2时，由于a 2-a 1=c ，a 3-a 2=2c ，…，a n -a n-1=(n-1)c ，
所以a n -a 1=[1+2+…+(n-1)]c=
n(n -1)c
2
. 又a 1=2，c=2， 所以a n =2+n(n-1)=n 2
-n+2(n=2,3,…)，又当n=1时，上式也成立， 故a n =n 2
-n+2(n=1,2,3,…). ……………………………………14分
3. (文科)解：(Ⅰ)f(x)=a ·b=m(1+sin2x)+cos2x.
由已知得f(
4π)=m(1+sin 2π)+cos 2
π
=2，解得m=1.……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得
sin(2x+4
π
).
所以当sin(2x+4
π
)=-1时，f(x)的最小值为
. ……………11分
由sin(2x+4
π
)=-1，得x 值的集合为{x|x=k 38ππ-，k ∈Z}.……14分
(理科)解：(Ⅰ)由k=e 得f(x)=e x -ex ，所以f '(x)=e x
-e.
由f '(x)>0得x>1，
故f(x)的单调递增区间是(1,+∞)；……………………4分
由f '(x)<0得x<1，
故f(x)的单调递减区间是(-∞,1). ……………………6分
(Ⅱ)由f(|-x|)=f(|x|)可知f(|x|)是偶函数. 于是f(|x|)>0对任意x ∈R 成立等价于
f(x)>0对任意x ≥0成立. 由f '(x)=e x
-k=0得x=lnk.
①当k ∈(0,1]时，f '(x)=e x
-k>1-k ≥0(x>0). 此时f(x)在[0,+∞)上单调递增.
故f(x)≥f(0)=1>0，符合题意.所以0<k ≤1. …………10分②当k ∈(1,+∞)时，lnk>0. 当x 变化时f '(x)，f(x)的变化情况如下：
由此可得，在[0,+∞)上，f(x)≥f(lnk)=k-klnk. 依题意，k-klnk>0. 又k>1，所以1<k<e.
综合①②实数k 的取值范围为(0,e). …………………………14分
4．(Ⅰ)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(
1
2,y m )，由OA +OB OM =2得12x +x 1=22
即x 1+x 2=1. 12
12
x
x
1-x 1-x 12m 22y +y 1y ==[1+log +log ]22 1221
x x
x x 221=[1+log +log ]2
12
21
x x
x x 2
1=[1+log ]2 1
=2
即M 点的纵坐标为1
2. …………………………………………………4分
(Ⅱ)当n ≥2时，n -1n ∈(0,1)，又1n -12n -2
1=+=+
n n n n
=…=x 1+x 2， ∴1n -12n -2
f()+f()=f()+f()n n n n =…=f(x 1)+f(x 2)=y 1+y 2=1.
n 12S =f()+f()+n n ...n -1+f()n ，又n n -1n -2S =f()+f()+n n (1)
+f()n
，
∴2S n =n-1，则n n -1
S =2(n ≥2，n ∈N +). ……………………………10分
(Ⅲ)由已知T 1=a 1=23，n ≥2时，n 11
a =4(-)n +1n +2，
∴T n =a 1+a 2+…+a n =21111+4[(-)+(-)+33445…11+(-)]n +1n +2=2n
n +2
.
当n ∈N +时，T n <λ(S n+1+1)，即λ>24n (n +2)，n ∈N +恒成立，则λ>⎡⎤
⎢⎥⎣⎦2max
4n (n +2). 而224n 4n 441==≤=4(n +2)n +4n +44+42
n ++4n
(n=2时“＝”成立)， ∴12λ>，∴实数λ的取值范围为(1
2
,+∞). ……………………16分
5．解：(Ⅰ)
由于68=
，6
9=
>
又1032=
，10
25=
>
>>. …………………………………………6分
(Ⅱ)当n=1,2时，有n n+1
<(n+1)n
.………………………………………8分 当n ≥3时，有n n+!
>(n+1)n
. 证明如下：
令n+1n +n n a =
(n ≥3,n ∈N )(n +1)，433381
a ==>1464
. 又⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
n+1
n+1
n+2n 2n+1n+1n+1n a (n +1)(n +1)(n +1)(n +2)n +1===>1a (n +2)n (n +2)n (n +2)n .
∴a n+1>a n 即数列{a n }是一个单调递增数列. 则a n >a n-1>…>a 3>1
∴n+1n
n >1(n +1)
即n n+1>(n+1)n
. ……………………………………16分 另证：构造函数f(x)=lnx x (x ≥3)，f '(x)=)'lnx (x =2
1-lnx
<0x
， ∴f(x)=lnx
x
在[3,+∞)为递减函数，则f(n)>f(n+1)，
即lnn ln(n +1)>
n n +1
，
即n n+1
>(n+1)n
(n ≥3时结论成立).
6．解：(Ⅰ)由f(x)=2f(x+1)→f(x)=
1
2
(x-1)，x ∈[n,n+1]，则(x-n)∈[0,1] →f(x-n)=274(x-n)2
(1+n-x). f(x)=12f(x-1)=2
12f(x-2)=…
=n 12f(x-n)=n+2272
(x-n)2
(1+n-x). (n=0也适用). ………………4分 (Ⅱ)f '(x)=n+2813n +2-(x -n)(x -)
，由f '(x)=0得x=n 或x=n+2
f(x)的极大值为f(x)的最大值，max n
f =f(n +)=
32， 又f(x)≥f(n)=f(n+1)=0，∴|f(x)|=f(x)≤n 1
2
(x ∈[n,n+1]).…8分
(Ⅲ)y=f(x)，x ∈[0,+∞)即为y=f(x)，x ∈[n,n+1]，f '(x)=-1.
本题转化为方程f '(x)=-1在[n,n+1]上有解问题
即方程n+2
3n +22(x -n)(x -)-=0381在[n,n+1]内是否有解. ……11分 令g(x)=6n+22n+22
3n +226n +23n +2n 2(x -n)(x -)-=x -x +-3813381
， 对轴称x=n+1
3∈[n,n+1]，
又△=…=n+442+>0981，g(n)=n+22-<081，g(n+1)=n+2
27-281
，
①当0≤n ≤2时，g(n+1)≥0，∴方程g(x)=0在区间[0,1],[1,2],[2,3]上分别有一解，即存在三个点P ；
②n ≥3时，g(n+1)<0，方程g(x)=0在[n,n+1]上无解，即不存在这样点P. 综上所述：满足条件的点P 有三个. …………………………16分。