如何利用全等变换构造全等三角形

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我们知道，两个全等三角形的形状相同，大小相等.因此，把全等三角形中的一个图形通过不同的方式变换位置，一定能与另一个图形重合.那么只要掌握了这些变换位置的基本规律，我们在解与全等三角形有关的题目时就会思路更清晰.下面介绍利用几何的全等变换构造出全等三角形的几种类型.
一、构造轴对称型全等三角形
把一个三角形沿着某条直线翻折180°，如果它能够与另一个三角形重合，那么这两个三角形就叫做轴对称型全等三角形.在证明题目时，通过轴对称变换可以把不是轴对称的图形添补为轴对称图形；或将对称轴一侧的图形通过对称变换反射到另一侧，以实现条件的相对集中，便于解题.一般有下列条件时可构造轴对称型全等三角形：相等线段或相等角关于某直线对称；有公共角；有对顶角；有角平分线或垂直平分线.
例1如图1，
在等腰直角△ABC 中，∠BAC =90°，D 为其内部一点，且∠ABD =30°，BD =BA .求证:AD =CD
.
一条对角线将正方形分割而得的一半，因此可以以BC 为对称轴作轴对称型全等三角形.
证明:作点A 关于BC 的对称点A ′，连接A ′B 、A ′C 、A ′D ，则ABA ′C 为正方形，如图2，
∴BD =BA =BA ′，∠A′BD =90°-30°=60°，∴△BA ′D 为等边三角形，∴∠BA ′D =60°，
∠CA ′D =90°-60°=30°，∴∠ABD =∠CA ′D .又∵BD =A ′D ，AB =A ′C ，∴△BAD ≌△A ′CD ，
∴AD =CD .
二、构造平移型全等三角形
将一个三角形按照某条直线的方向移动一定的距离，可得到与之全等的三角形，这种全等三角形称为平移型全等三角形.平移是一种只改变图形的位置而不改变图形大小及形状的变换，其实质是构造了有特殊位置关系的全等三角形.通过平移变换可以把某些相对分散的条件集中起来，帮助解题.平移型全等三角形的特点是对应边平行且相等(或在同一直线上)，对应角是同位角.
例2如图3，
在△ABC 中，D 、E 为BC 边上的两点，且BD =EC ．求证：
AB +AC >AD +AE ．山东临沂孔雪莲
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分析:要证明的结论比较复杂，为了利用三角形中的不等关系，我们构造全等三角形如图4，将△AEC 平移到△A ′BD ，则线段AB 、AC 、AD 、AE 就集中在四边形A ′BDA 中，只要证明AB +A ′D >AD +A ′B 即可.
证明:如图4，作BA ′∥EA ，且使BA ′=EA ，则∠DBA ′=∠CEA
.
图4
连接A ′D ，交AB 于点F .∵BD =EC ，∴△AEC ≌△A ′BD ，∴A ′D =AC ，
∵FA ′+FB >A ′B ，
FA +FD >AD ，∴FA ′+FB +FA +FD >A ′B +AD ，∴A ′D +AB >A ′B +AD ，即AB +AC >AD +AE .
三、构造旋转型全等三角形
把一个三角形绕着某点旋转，得到的三角形与原三角形是一对旋转型全等三角形.与平移变换一样，旋转变换的主要作用也是集中问题的已知条件，挖掘已知条件与结论的内在联系，简化解题过程.在等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中，常构造旋转型全等三角形，旋转时要注意确定旋转中心、
旋转方向及旋转角度的大小.
例3如图5，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，∠EAF =45°，AG ⊥EF ，垂足为G ，
求证：AB =AG
．图5
分析：先根据正方形的性质得AB =AD ，
∠BAD =90°，则可把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABQ ，如图6，根据旋转的性质得AQ =AE ，∠EAQ =90°，∠ABQ =∠D =90°，则可
判断点Q 在CB 的延长线上，由∠EAF =45°得到∠QAF =90°-∠EAF =45°，然后根据
“SAS ”判断△AFQ ≌△AFE ，得到FQ =FE ，再根据全等三角形对应边上的高相等得到结论．
证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD ，∠BAD =90°，
∴把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到
△ABQ ，如图6，
图6
∴AQ =AE ，
∠EAQ =90°，∠ABQ =∠D =90°，
而∠ABC ＝90°，∴点Q 在CB 的延长线上，∵∠EAF =45°，
∴∠QAF =90°-∠EAF =45°，∴∠EAF =∠QAF ，
在△AFQ 和△AFE 中ìíî
ï
ïAF =AF ,
∠QAF =∠EAF ,
AQ =AE ,∴△AFQ ≌△AFE （SAS ），
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∴FQ =FE ，∵AB ⊥FQ ，
AG ⊥FE ，∴AB =AG ．
四、构造中心对称型全等三角形
一个三角形绕某一点旋转180°，得到的三角形与原三角形是一对中心对称型全等三角形.它的特点是对应边平行且相等或在同一直线上.当图形中有线段的中点时，常选择相关图形绕此中点旋转180°构造中心对称型图形.解题时也可通过将基本图形不完整部分补完整，或过端点作平行线，或延长线段为原来的2倍来构造中心对称型全等三角形.
例4如图7，M 是△ABC 中BC 边上的中点，P 为BC 上任一点，过P 作PE //AM 交AB 于F ，交CA 的延长线于E .求证:PE +PF =2AM
.
图7
分析：因为AM 是△ABC 的中线，所以利
用倍长中线把△AMC 绕点M 旋转180°至
△GMB 的位置，即可以构造出全等三角形.证明：如图8，延长AM 到G 点，使GM =
AM ，连接BG ，延长FP 交BG 于H
，
图8
∴△BMG ≌△CMA .
∴∠G =∠MAC .∴BG //AC ，即HG //AE .又∵PE //AM ，
∴四边形EHGA 为平行四边形,∴HE =GA =2AM .∵HF //AG ，
AM =MG ，∴PF =PH .
∵HE =PH +PE =PE +PF ，
∴PE +PF =2AM .平移、旋转、中心对称、轴对称是研究全等三角形的有效工具.运用上述全等变换的方法构造全等三角形，思路清晰明了，能帮助我们迅速找到解题的突破口.同学们要掌握全等变换的方法，灵活迁移运用，通过构造出全等三角形使问题得以快速、有效地解答.
上期《<有理数>巩固练习》参考答案1.A ；2.C ；3.C ；4.A ；5.1；6.1；7.38；8.A ；9.22.9℃；
10.解：（1）-2；
（2）(m ,m -2)+2[-23-12]=m -2+2×(-12
)
=m -3
∵(m ,m -2)+2[-23,-12
]≥-5，
∴m -3≥-5，∴m ≥-2．
11.解：（1）游泳池和休息区的面积各是
mn 和πn 2
8
；
（2）绿地的面积是ab -mn -πn 2
8
；
（3）由题意得，70×40-702×402-π(402)2
8
≈2800-700-50×3
=2800-700-150=1950（平方米），
∵12
×70×40=1400<1950，∴他的设计方案符合要求.
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