2024年北京初三九年级上学期数学期末考《新定义》
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2024年1月九上期末——新定义
1.【东城】28.在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 和直线1l ,2l ,点P 关于直线1l ,2l “和距离”的定义如下:若点P 到直线1l ,2l 的距离分别为1d ,2d ,则称1d +2d 为点P 关于直线1l ,2l 的“和距离”,记作d .特别地,当点P 在直线1l 上时,1d =0;当点P 在直线2l 上时,2d =0.
(1)在点1P (3,0),2P (-1,2),3P (4,-1)中,关于x 轴和y 轴的“和距离”为3的点是________;
(2)若P 是直线3y x =-+上的动点,则点P 关于x 轴
和y 轴的“和距离”d 的最小值为________;
(3)已知点A (0,3),⊙A 的半径为1,点P 是⊙A 上的动
点,直接写出点P 关于x 轴和直线y =3x +6的“和距离”
d 的取值范围.
2.【西城】28.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点()1,0S -,()1,0T .对于一个角α(0180α︒<≤︒),将一个图形先绕点S 顺时针旋转α,再绕点T 逆时针旋转α,称为一次“α对称旋转”.
备用图
(1)点R 在线段ST 上,则在点()1,1A -,()3,2B -,()2,2C -,()0,2D -中,有可能是由点R 经过一次“90°对称旋转”后得到的点是________;
(2)x 轴上的一点P 经过一次“α对称旋转”得到点Q .
①当60α=︒时,PQ =________;
②当30α=︒时,若QT x ⊥轴,求点P 的坐标;
(3)以点O 为圆心作半径为1的圆.若在O 上存在点M ,使得点M 经过一次“α对称旋转”后得到的点在x 轴上,直接写出α的取值范围.
3.【海淀】28.在平面直角坐标系xOy 中,将中心为T 的正方形记作正方形T ,对于正方形T 和点P (不与O 重合)给出如下定义:若正方形T 的边上存在点Q ,使得直线OP 与以TQ 为半径的T 相切于点P ,则称点P 为正方形T 的“伴随切点”.
(1)如图、正方形T 的顶点分别为点O ,()2,2A ,()4,0B ,()2,2C -.
①在点()12,1P ,()21,1P ,()31,1P -中,正方形T 的“伴随切点”是________;
②若直线y x b =+上存在正方形T 的“伴随切点”,求b 的取值范围;
(2)已知点(),1T t t +,正方形T 的边长为2.若存在正方形T 的两个“伴随切点”M ,N ,使得OMN △为等边三角形,直接写出t 的取值范围.
4.【朝阳】28.在平面直角坐标系xOy 中,已知A (t -2,0),B (t +2,0).
对于点P 给出如下定义:若∠APB=45°,则称P 为线段AB 的“等直点”.
(1)当t =0时,①在点),(22201+P ,),(042-P ,)-,(2223-P ,),
(524P 中,线段AB 的“等直点”是________;
②点Q 在直线y =x 上,若点Q 为线段AB 的“等直点”,直接写出点Q 的横坐标.
(2)当直线t x y +=上存在线段AB 的两个“等直点”时,直接写出t 取值范围.
5.【石景山】28.在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为1.对于⊙O 的弦AB 和点C 给出如下定
义:若点C 在弦AB 的垂直平分线上,且点C 关于直线AB 的对称点在⊙O 上,则称点C 是弦AB 的“关联点”.
(1)如图,点13(22A ,,13(22
B -,.在点1(00)
C ,,2(10)C ,,3(11)C ,,4(20)C ,中,弦AB 的“关联点”是
;
(2)若点1(0)2
C ,是弦AB 的“关联点”,直接写出AB 的长;
(3)已知点(02)M ,,(
0)15N ,.对于线段MN 上一点S ,存在⊙O 的弦PQ ,使得点S 是弦PQ 的“关联点”.记PQ 的长为t ,当点S 在线段MN 上运动时,直接写出t 的取值范围.
6.【丰台】28.在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1,对于线段AB和x轴上的点P,给出如下定义:将线段
AB绕点P旋转180°可以得到⊙O的弦A'B'(A',B'分别为A,B的对应点),则称线段AB为⊙O以点P 为中心的“关联线段”.
(1)如图,已知点A(-2,-1),B(-2,0),C(-2,1),D(-1,1),在线段AC,BD,CD中,⊙O以点P 为中心的“关联线段”是;
x的取值范围;
(2)已知点E(-4,1),线段EF是⊙O以点P为中心的“关联线段”,求点F的横坐标
F (3)已知点E(m,1),若直线y=-x+2m上存在点F,使得线段EF是⊙O以点P为中心的“关联线段”,直接写出m的取值范围.
备用图
7.【昌平】28.对于在平面直角坐标系xOy 中⊙T 和⊙T 外的点P ,给出如下定义:已知⊙T 的半径为1,若⊙T 上存在点Q ,满足PQ ≤2,则称点P 为⊙T 的关联点.
(1)如图1,若点T 的坐标为(0,0),
28题图1
①在点1P (3,0)
,2P (3,-2),3P (-2,2)中,是⊙T 的关联点的是____________;②直线2y x b =+分别交x 轴,y 轴于点A ,B ,若线段AB 存在⊙T 的关联点,求b 的取值范围;
(2)已知点C (0,D (1,0),T (m ,1),△COD 上的每一个点都是⊙T 的关联点,直接写出m 的取值范围.
28题图2
8.【通州】28.在平面直角坐标系xOy 中,O 的半径为1.给出如下定义:过O 外一点P 做直线与O 交于点M 、N ,若M 为线段PN 的中点,则称线段PN 是O 的“外倍线”。
图1图2
(1)如图1,点1P ,2P ,3P ,1N ,2N ,3N 的横、纵坐标都是整数.在线段11P N ,22P N ,33P N 中,O 的“外倍线”是__________;
(2)O 的“外倍线”PN 与直线2x =交于点P ,求点P 纵坐标P y 的取值范围;
(3)如图2,若O 的“外倍线”PN ,N 的坐标为()1,0-,直线y x b =+与线段PN 有公共点,直接写出b 的取值范围.
9.【大兴】28.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点M (0,t )
,N (0,t+2).对于坐标平面内的一点P ,给出如下定义:若∠MPN =30°,则称点P 为线段MN 的“亲近点”.
(1)当t =0时,
①在点A (),B (3,2),C (-D (-1,-3)中,线段MN 的“亲近点”的是______________;
②点P 在直线y =1上,若点P 为线段MN 的“亲近点”
,则点P 的坐标为;
(2)若直线
3y =-上总存在线段MN 的“亲近点”,则t 的取值范围是.10.【房山】28.定义:在平面直角坐标系xOy 中,对于⊙M 内的一点P ,若在⊙M 外存在点P',使得2MP'=MP ,则称点P 为⊙M 的“内二分点”.(1)当⊙O 的半径为2时,
①在1(10)P -,,23(1)2P ,,31)P -,4(1)P -四个点中,是⊙O 的
“内二分点”的是___________;
②已知一次函数2y kx k =-在第一象限的图象上的所有点都是⊙O 的“内二
分点”,求k 的取值范围;
(2)已知点(0)M m ,,(01)B -,,(11)C -,,⊙M 的半径为4,若线段BC 上存在
⊙M 的“内二分点”,直接写出m 的取值范围.
11.【门头沟】28.对于平面直角坐标系xOy中的任意点()
+=(x≥0,a≥0),那么我们称这
P x y,,如果满足x y a
样的点叫做“关联点”.
(1)如果点(2,3)是“关联点”,则a=__________;
(2)如图1,当2≤a≤3时,在点A(1,2),B(1,3),C(2.5,0)中,满足此条件的“关联点”为_____________;
(3)如图2,⊙W的圆心为W(3,2),半径为1,如⊙W上存在“关联点”,请画出
示意图,并求出“关联点”的最小值.
图1图2
12.【燕山】28.在平面直角坐标系xOy 中,对于⊙C 和⊙C 外一点P 给出如下定义:
连接CP 交⊙C 于点Q ,作点P 关于点Q 的对称点P′,若点P′在线段CQ 上,则称点P 是
⊙C 的“关联点”.例如,右图中P 为⊙C 的一个“关联点”.(1)⊙O 的半径为1.
①如图1,在点A (2-,0),B (2,2),D (0,3)中,⊙O 的“关联点”是
;②已知点M 在直线323
y x =
-上,且点M 是⊙O 的“关联点”,求点M 的横坐标m 的取值范围.
(2)直线31()y x =--与x 轴,y 轴分别交于点E ,点F ,⊙T 的圆心为T (t ,0),半径为2,若线段..EF ..
上所有...点.都是⊙T 的“关联点”,直接写出t 的取值范围.
图1备用图
13.【顺义】28.在平面直角坐标系xOy中,有如下定义:对于图形G1、G2,若存在常数d,使得图形G1上的任意一点P,在图形G2上至少能找到一个点Q,满足PQ=d,则称图形G2是图形G1的“映图”,d是G1关于G2的“映距”.
(1)如图,点A(﹣4,0),B(0,﹣4),C(﹣1,0),D(0,﹣1),E(4,0),F(0,4),G(5,0),H(0,5).在线段CD,EF,GH中,线段AB的映图是.
(2)⊙O的半径为1.
①求⊙O关于直线的映距d的最小值;
②若直线y=﹣x+m(m≠0)被坐标轴所截的线段是⊙O的映图,直接写出m的取值范围.
14.【密云】28.在平面直角坐标系xOy中,已知⊙O的半径为1,点A的坐标为(-1,0).点B是⊙O上的一个动点(点B不与点A重合).若点P在射线AB上,且AP=2AB,则称点P是点A关于⊙O的2倍关联点.
(1)若点P是点A关于⊙O的2倍关联点,且点P在x轴上,则点P的坐标为_______;
(2)直线l经过点A,与y轴交于点C,∠CAO=30°.点D在直线l上,且点D是点A关
于⊙O的2倍关联点,求D点的坐标;
(1)直线y=x+b与x轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在点A关于⊙O的
2倍关联点,直接写出b的取值范围.
15.【平谷】28.如图,平面直角坐标系中,已知点A、点B,连接AB,若点P为平面上一点,且△ABP为等边三角形,则称点P为线段AB的“关联点”.
(1)已知点A(1,0)和点B(0,3),点P为线段AB的“关联点”,直接写出点P的坐标___________;
2),Q(4,0),点B是线段OQ上一点,点P为线段AB的“关联点”,当点P在AB的右(2)若A(2,3
侧时,判断PQ与OA的位置关系,并证明;
(3)⊙O半径为2,点A是⊙O上一点,点B(5,0),若点P为线段AB的“关联点”,直接写出OP长度的最大值和最小值.。