广东海洋大学概率论与数理统计历年考试试卷 答案

i 1
i 1
100
X i 90
i 1
近似服从N (0,1)
3
100
100
X i 90
P{84 X i 95} P{2 i1 i 1
3
1.67} (1.67) (2) 1 0.9497
四．已知总体
X
的密度函数为
f
(x)
x 1 0
, ,
0
x 1 ,其中
其它
0
且
是
第 3 页 共 21 页
0.408 0.6591 2.001 0.9772 3 0.9987
解令
X
1
任取一件产品是合格品
0
否则
10000
10000
从而 X i服从二项分布B10000，p，p 0.6，由中心极限定理， X i近似服从
i 1
i 1
正态分布N , 2 。其中：
10000 0.6 6000, 2 10000 0.6 0.4 2400
。
10. 设总体 X 与 Y 相互独立，均服从 N0,1分布, PX 0,Y 0 0.25 。
4
第 5 页 共 21 页
二. （25 分） 1．已知连续型随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
cx 1
0
0 x2 其它
求：(1)常数c；(2) X的分布函数。
15分
解 (1) 1 2 f (x)dx 2 (cx 1)dx 2c 2得c 1/ 2；
1．袋中有 3 个白球，2 个红球，任取 2 个。2 个球全为白球的概率为
(3)求 Z maxX ,Y的分布律。
解 (1)边缘分布如下：
X
Y
-1
1
2
pi.
-1
1/10 2/10 3/10 6/10
2
2/10 1/10 1/10 4/10
p.j
3/10 3/10 4/10
由 PX 1,Y 1 1/10 PX 1PY 1 6 /10 3 /10 18 /100
密
：
GDOU-B-11-302 广东海洋大学 2010—2011 学年第二学期
《概率论与数理统计》课程试题（答案）
课程号： 19221302
√考试 □考查
□A 卷 √B 卷
√闭卷 □开卷
题 号 一 二 三 四 五 总分
阅卷教师
各题分数 30 25 21 17 7 100 实得分数
一．填空题（每题 3 分，共 30 分）
1．从 1 到 2000 中任取 1 个数。则取到的数能被 6 整除但不能被 8 整除
学
的概率为
号
：
封 2．在区间（8，9）上任取两个数，则“取到的两数之差的绝对值小于 0.5”
的概率为
3．将一枚骰子独立地抛掷 3 次,则“3 次中至少有 2 次出现点数大于 2”
的概率为
（只列式，不计算）
试
题 共
线 4．设甲袋中有 5 个红球和 2 个白球,乙袋中有 4 个红球和 3 个白球,从甲
1/9
1/6
1
1/4
1/18
1/4
则 P{Y 2 | X 1}
11．已知随机变量 X , Y 都服从[0,4]上的均匀分布,则 E(3X 2Y) ______
12．已知总体 X ~ N (1, 42 ), 又设 X1, X 2 , X 3 , X 4 为来自总体 X 的样本，记
X
1 4
4 i 1
0
0
(2) 当x 0 时，F (x) 0；当x 2 时，F (x) 1；
5分
当0 x 2 时，F (x) x ( x 1)dx x 2 x
02
4
0
F (x) x 2 x
4 1
x0 0 x2
x2
10分
2．某批产品合格率为 0.6，任取 10000 件，其中恰有合格品在 5980 到 6020 件之 间的概率是多少？（10 分）
分） （ (1.67) 0.9525 ， (2) 0.9972 ）
解
令X i
1 0
第i人复原 否则
100
则：P( X i 1) 0.9，E( X i ) 0.9, D( X i ) 0.9 0.1 0.09, X i表示总的复原的人数。 i 1
100
100
E( X i ) 90, D( X i ) 9,由中心极限定理：
Xi
，则 X
~
13 ． 设 X1, X 2 , X 3 , X 4 是 来 自 总 体 X 的 一 个 简 单 随 机 样 本 ， 若 已 知
1 3
X1
1 6
X2
1 6
X3
kX 4
是总体期望 E(X )
的无偏估计量，则
k
14. 设某种清漆干燥时间 X ~ N ( , 2 ) ，取样本容量为 9 的一样本，得样
本均值和方差分别为 x 6, s2 0.09 ，则 的置信水平为 90%的置信区
间为
( t0.05 (8) 1.86 )
15.设 X1, X 2 , X 3 为取自总体 X (设 X ~ N (0,
1) )的样本,则
2X1 ~
X
2 2
X
2 3
(同时要写出分布的参数)
二.
设随机变量 (X
,Y )
0
ˆ 1/ X
7分
2
似然函数L
n i 1
f
xi
n
exp
n i 1
xi
xi 0
对数似然函数
ln
L
ln
n
f
xi
n
ln
n
xi
i 1
i 1
xi 0
令
d d
ln L
n
n i 1
xi
0
得估计值 ˆ 1/ x
从而估计量 ˆ 1/ X
5分
5分
五．（7 分）以 X 表示某种清漆干燥时间,X～ N , 2 ，今取得 9 件样品，实测得样
(取 0.01
t 0.005
(8)
3.355, t0.01 (8)
2.896
，
2 0.01
8
20 .090，
2 0.005
8
21 .955
)
解 2 n 1S 2 / 2服从 2 n -1
H 0 : 2 900, H1 : 2 900
H 0的拒绝域： 2
2 0.01
8
20.090
可知，X,Y 不相互独立。
(7 分)
（2） 由（1）可知 E(X)=-1 6/10+2 4/10=1/5 E(Y)= -1 3/10+3/10+2 4/10=4/5 E(X+Y)= E(X)+ E(Y)=1
（3）
PZ 1 PX ,Y 1,1 1/10 PZ 1 PX ,Y 1,1 2 /10 PZ 2 1 PZ 1 PZ 1 7 /10
页
袋中任取一个球（不看颜色）放到乙袋中后，再从乙袋中任取一个球，
加
白
则最后取得红球的概率为
纸
张
5．小李忘了朋友家的电话号码的最后一位数，于是他只能随机拨号，则
他第五次才能拨对电话号码的概率为
6．若 X ～ 2, 则 P{X D( X )}
7．若
X
的密度函数为
f
x
4x3
0 x 1
0 其它
, 则 F 0.5 =
5分
从而P(5980
10000
Xi
i 1
6020)
P
X i 6000 2400
1 6
0.408
20.408 1 0.3182
5分
第 6 页 共 21 页
三.（21 分）(X,Y)的联合分布律如下：
X
Y
-1
1
2
-1
1/10 2/10 3/10
2
2/10 1/10 1/10
(1)求边缘概率分布并判断 X,Y 的独立性；(2)求 E(X+Y)；
的概率密度为
f
(x,
y)
cx 2
y
,
0 x 1, 0 y 1
0 ,
其它
第 2 页 共 21 页
c 求 (1) 未知常数 ；(4 分) (2) P{X Y 1/ 2}；(4 分)
(3) 边缘密度函数 f X (x)及fY ( y) ；(8 分)
(4) 判断 X 与Y 是否独立？并说明理由(4 分)
d d
n
ln
1
lnxi
n
lnxi 0
ˆ
n
lnxi
从而：ˆ
n
lnX i
五．某冶金实验室断言锰的熔化点的方差不超过 900，作了九次试验，测
得样本均值和方差如下: x 1267 , s2 1600 (以摄氏度为单位),问检测结
果能否认定锰的熔化点的方差显著地偏大？ （10 分）
1/8
。
0 其它
张
7．（X,Y）服从区域：0 x 1,0 y 1上的均匀分布， PX Y 1 1/ 2
。
8．X～ N 0,1,比较大小：PX 2
PX 3 。
9. X ~ N (, 2 ), X1, X 2 ,, X n n 2为来自X的样本，X 及X1 均为 的无
偏估计，较为有效的是 X
未知参数,设 X1, X 2,, X n 为来自总体 X 的一个样本容量为 n 的简单随 机样本,求未知参数
(1) 矩估计量；（5 分） (2) 最大似然估计量. （10 分）
解
1
E(X )
1x
0
dx
1
1
,由ˆ X
得ˆ X 1 X
2 L( ) xi 1 n xi 1
ln L( ) ln xi1 ln n xi 1 n ln 1 lnxi
一．填空题（每题 3 分，共 30 分）
1．袋中有 3 个白球，2 个红球，在其中任取 2 个。则事件：2 个球中恰有 1 个白球 1
个红球的概率为 3/5
。
学
2. PA 0.5, PB 0.3, PAB 0.1, PA B 1/ 3 。
号
：
封 3．甲乙两人进球的概率依次为 0.8、0.7，现各投一球，各人进球与否相互独立。
解
f
(
x,
y)
cx
2
y
,
0 x 1, 0 y 1
0 ,
其它
1
1
f (x, y)d
1
dx
1cx 2 ydy
c/6
00
c6
2 PX Y 1/ 2 1 PX Y 1/ 2
PX Y 1/ 2 1/ 2 x1/ 2 6x 2 ydy 1/ 320
0
0
PX Y 1/ 2 31
密
：
GDOU-B-11-302 广东海洋大学 2009—2010 学年第二学期
《概率论与数理统计》课程试题
课程号：1920004
√考试 √A 卷 □考查 □B 卷
√闭卷 □开卷
题 号一 二 三 四 五
总分 阅卷教师
各题分数 45 20 10 15 10
100
实得分数
一．填空题（每题 3 分，共 45 分）
无一人进球的概率为：
0.06
。
4．X 的分布律如下，常数 a=
0.1
。
X0
1
3
P 0.4
0.5
a
试
题 共
线
5．一年内发生地震的次数服从泊松分布（ P ）。以 X、Y 表示甲乙两地发生地震的
页
次数，X～ P2, Y～ P1 。较为宜居的地区是 乙 。
加
白 纸
6．X～（密度函数）
f
x
3x 2
0 x 1， PX 1/ 2
而 2 8 4 / 32 20.090
接受H 0
答案：一、（1）1/8 （2） 3/4 （3）
C
2 3
(2)2 3
1 3
C33
(2)3 3
(4)33/56
(5) 1/10 (6) 2e2 （7）1/16 （8）1/2 （9）0.648 （10） 9/20
（11）2 （12） N(1, 4) ,（13）2/3 （14） 6 0.186
6
3
第 1 页 共 21 页
0 x 0
8．若 X 的分布函数为 F x x 0 x 1, 则 E(3X 1)
1 x 1
9．设随机变量 X ~ b(3 , 0.4) ，且随机变量Y X (3 X ) ，则
2
P{X Y}
10．已知 (X ,Y ) 的联合分布律为：
XY
0
1
2
0
1/6
0
x0
3
f
X
(x)
16x2
0
ydy 0
3x 2
0 x 1 x 1
4 f (x, y) f X (x) fY ( y),独立。
0
fY
( y)
16x2
0
ydx 0
2y
y0 0 y 1
y 1
三．据某医院统计，凡心脏手术后能完全复原的概率是0.9，那么再对100
名病人实施手术后，有84至95名病人能完全复原的概率是多少？（10
(15) t(2)
第 4 页 共 21 页
班 级 ：
姓 名
密
：
GDOU-B-11-302 广东海洋大学 2010—2011 学年第二学期
《概率论与数理统计》课程试题（答案）
课程号： 19221302
√考试 □考查
√A 卷 □B 卷
√闭卷 □开卷
题 号 一 二 三 四 五 总分
阅卷教师
各题分数 30 25 21 17 7 100 实得分数
本方差 s 2 =0.33，求 2 的置信水平为 0.95 的置信区间。
0.05
2 / 2 8 17.534
2 1
/
2
8
2.18
解 2的水平为1 的置信区间为：
(n
1)S
2
/
2
/
2
n
1，(n
1)S
2
/
2 1
/
2
n
1
0.15，1.21
7分
第 8 页 共 21 页
班 级 ：
姓 名
Z
-1
1
2
P
1/10 2/10 7/10
(7 分) (7 分)
第 7 页 共 21 页
四．（17 分）总体 X 具有如下的概率密度， X1, X 2 , X n 是来自 X 的样本，
f
x
e
x
,
0,
x 0， x0
参数 未知
（1）求 的矩法估计量；（2）求 的最大似然估计量。
解
1 E( X ) xf xdx xe x dx 1/