《3.1变化率与导数》课件-优质公开课-人教A版选修1-1精品
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(2)求函数 f(x)= 1������在区间[1,1+Δx]上的平均变化率.
思路分析:先求函数值的变化量 Δy=f(x2)-f(x1),再代入ΔΔ������������求出平均变化率.
解:Δy=f(1+Δx)-f(1)
=
1+1Δ������-1=1- 11++ΔΔ������������=(1+
②求点
x0
附近的平均变化率,可用������(������0
+������)-������( ������
������0)的形式求解.
重点:1.求函数在某点附近的平均变化率; 2.会求导函数,利用导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 难点:1.会利用定义求函数在某点处的导数; 2.通过函数的图象理解导数的几何意义.
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[t1,t2]上的平均速度,即������
=
������(������2)-s(������1 ������2-������1
).
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预习交流 1
(1)若函数 f(x)在[x1,x2]内的平均变化率为 0,能否说明函数 f(x)没有 变化?
预习交流 2
(1)“函数 f(x)在点 x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间有什么区别与 联系?
提示:①函数在一点处的导数,就是在该点的函数改变量与自变量的改
变量的比值的极限,它是一个定值,不是变数.
②“导函数”简称“导数”.
③导数 f'(x),是针对某一区间内任意点 x 而言的.函数 f(x)在区间(a,b)内
第三章 导数及其应用
3.1 变化率与导数
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学习 目标
重点 难点
1.了解导数概念的实际背景,知道函数的瞬时变化率就是导数,理解导 数的概念及其几何意义. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.理解导数在曲线的切点上和运动学中的实际含义和应用,能求函数 在某一点的导数及简单函数的导数. 4.能说出导函数的概念,会求导函数.能根据导数的几何意义,求曲线 上某点处的切线方程.
答案:Δx 解析:Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=(-1+Δx)2+2(-1+Δx)-5+6=(Δx)2+1-2+1 =(Δx)2,
∴ΔΔ������������=Δx.
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一、求平均变化率 活动与探究
求平均变化率要注意什么? 答:(1)Δx,Δy 可以是正值也可以是负值,Δy 可以为零,但是 Δx 不可以 为零. (2)在求函数的平均变化率时,当 x1 取定后,Δx 取不同的数值时,函数 的平均变化率不同;当 Δx 取定后,x1 取不同的数值时,函数的平均变化率 也不同.
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2.求函数 y=x2 在 x=1,2,3 附近的平均变化率,取 Δx 都为13,哪一点附
近的平均变化率最大?
解:设函数 y=x2 在 x=1,2,3 附近的平均变化率分别为 k1,k2,k3,则
������ ������
=
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0).当点
B
沿曲线趋近于点
A
时,割线
AB 绕点 A 转动,它的极限位置为直线 AD,这条直线
AD 叫做此曲线在点 A 处的切线.于是,当 Δx→0 时,
割线 AB 的斜率无限趋近于过点 A 的切线 AD 的斜率 k,即
y=f(x)在点
P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即
k= lim
Δ ������ →0
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0)=f'(x0).
(2)导数的物理意义:函数 s=s(t)在点 t0 处的导数 s'(t0),就是当物体的 运动方程为 s=s(t)时,在时刻 t0 时物体运动的瞬时速度 v,即 v=s'(t0).
y=f(x)在
x=x0
处的导数,
记作
f'(x0)或
y'|������=������0 ,即
f'(x0)=Δl���i���m→0
������ ������
=
lim
Δ ������ →0
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0).
(2)当 x 变化时,f'(x)是 x 的一个函数,我们称 y=f'(x)为 f(x)的导函数
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例 1(1)已知函数 f(x)=x2+2x-5 的图象上的一点 A(-1,-6)及邻
近一点 B(-1+Δx,-6+Δy),则ΔΔ������������=
.
思路分析:先求出自变量的变化量 Δx=x2-x1,再求出函数值的变化 量 Δy=f(x2)-f(x1),从而求出平均变化率.
k=f'(x0)=Δl���i���m→0 ������(������0+ΔΔ������������)-������(������0).
(2)函数 f(x)=x2+x 在 x=1 处的切线斜率为
.
提示:3
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11-+(1Δ+������Δ) ������1)+Δ������=-(1+
������ 1+������)
1+������,
所以函数
y=f(x)= 1������在区间[1,1+Δx]上的平均变化率为:ΔΔ������������=-(1+
1 1+������)
1+������.
规律总结:在求平均变化率时,应先求函数值的改变量与自变量的改变量,然 后再计算它们的比值.这一类题目仅仅是简单地套用公式,解答过程相对简单,只 要注意运算过程就可以了.
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2.导数概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是
lim
Δ ������ →0
������ ������
=
lim
Δ ������ →0
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0),我们称它为函数
=
4������+(������)2 ������
=4+Δx,
k3=������(3+ΔΔ������������)-������(3)
=
(3+������)2-32 ������
=
6������+(������)2 ������
=6+Δx.
取 Δx=13时,k1=2+13 = 73,k2=4+13 = 133,k3=6+13 = 139, ∴k1<k2<k3.∴函数 y=x2 在 x=3 附近的平均变化率最大.
即 f'(x0)=f'(x)|������=������0 .
(2)已知函数 f(x)=3x,则 f'(x)=
.
提示:3
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3.导数的意义 (1)导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f'(x0)就是曲线
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(3)如图是函数 y=f(x)的图象,
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①函数 f(x)在[-2,1]上的平均变化率为
;
②函数 f(x)在[-2,3]上的平均变化率为
.
提示:①23 ②45
3.1 变化率与导数
1.函数的平均变化率及其意义 (1)平均变化率
函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为������(������������22)--���f���(1������1),简记作:ΔΔ������������,其中
Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1). (2)几何意义: 平均变化率的几何意义是表示函数 y=f(x)图象上割线 P1P2 的斜率
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(1)求函数的平均变化率通常分两步: ①作差,先求出 Δy=f(x2)-f(x1)和 Δx=x2-x1;
②作商,对所求的差作商得ΔΔ������������ = ������(������������22)--���f���(1������1). (2)求函数的平均变化率时应注意: ①求函数平均变化率时,注意 Δx,Δy 两者都可正、可负,但 Δx 的值 不能为零,Δy 的值可以为零.若函数 y=f(x)为常数函数,则 Δy=0;
(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作
y',即
f'(x)=y'= lim
Δ ������ →0
������(������+ΔΔ������������)-������(������).
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k1=������(1+ΔΔ������������)-������(1)
=
(1+������)2-12 ������
=
2������+(������)2 ������
=2+Δx,
k2=������(2+ΔΔ������������)-������(2)
=
(2+������)2-22 ������
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迁移与应用
1.已知函数 y=f(x)=x2+1,当 x=2,Δx=0.1 时,Δy 的值为( )
A.0.40
B.0.41
C.0.43
D.0.44
答案:B
解析:Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2+0.1)-f(2)=(2.1)2+1-5=0.41.
提示:这一说法不正确,从ΔΔ������������来看,只是 f(x2)=f(x1),如 f(x)=x2 在[-1,1]
上的平均变化率为 0,但 f(x)的变化情况是先减后增.
(2)如何理解瞬时变化率? 提示:瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋向 于 0 时的值,其作用是刻画函数值在 x0 点处变化的快慢.
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预习交流 3
(1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系? 提示:设函数 y=f(x)的图象如图,AB 是过点 A(x0,f(x0))与点 B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线,此割线的斜率是
(其中
P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2)),即������������1 ������2
=
������(������2)-f(������1) ������2-������1
=
������(������1
+������)-������( ������
������1).
(3)物理意义: 平均变化率的物理意义是把位移 s 看成时间 t 的函数 s(t)在时间段
每一点都可导,是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值 x0,都对应着一个确 定的导数 f'(x0),根据函数的定义,在区间(a,b)内就构成了一个新的函数,就是 函数 f(x)的导函数 f'(x).
④函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f'(x0)就是导数 f'(x)在 x=x0 处的数值,