数学(理)知识清单-专题09 等差数列、等比数列(考点解读)(原卷+解析版)

值为 an0 ．若 p<q，求证： am0 < an0 ；
（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为 s 的递增子列末项的 最小值为 2s–1，且长度为 s 末项为 2s–1 的递增子列恰有 2s-1 个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．
4
10．【2019 年高考天津卷理数】设an 是等差数列，bn是等比数列．已知
只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2．记 为 1，2，···，n 的所有排列中逆序数为 k 的
全部排列的个数．
（1）求
的值；
（2）求
的表达式(用 n 表示)．
11. （2018 年全国Ⅱ卷理数） 记 为等差数列 的前 项和，已知
，
．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值．
（A）100
（B）99
（C）98
（D）97
2【2016 高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且
An An1 An1An2 , An An2 , n N* ， Bn Bn1 Bn1Bn2 , Bn Bn2 , n N* ，
（ P Q表示点P与Q不重合 ）.若 dn AnBn ，Sn为△AnBnBn1的面积，则 （ ）
消法).
【误区警示】
1．应用 an 与 Sn 的关系，等比数列前 n 项和公式时，注意分类讨论． 2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．
1
3．讨论等差数列前 n 项和的最值时，不要忽视 n 为整数的条件和 an＝0 的情形． 4．等比数列{an}中，公比 q≠0，an≠0.
高频考点一、等差数列、等比数列的基本运算
▲.
5、【2016 高考新课标 1 卷】设等比数列an 满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2 …an 的最大值为
12. （2018 年全国Ⅲ卷理数）等比数列 中，
．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和．若
，求 ．
1.【2017 课标 1，理 4】记 Sn 为等差数列{an} 的前 n 项和．若 a4 a5 24 ， S6 48 ，则{an} 的公差
为
A．1
B．2
C．4
D．8
2.【2017 课标 II，理 3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点
6
倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一
层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1 盏
B．3 盏
C．5 盏
D．9 盏
1. 【2016 高考新课标 1 卷】已知等差数列an 前 9 项的和为 27, a10 8 ,则 a100 （ ）
若 ai1 ai2 aim ，则称新数列 ai1，ai2，，aim 为{an}的长度为 m 的递增子列．规定：数列{an}的任意
一项都是{an}的长度为 1 的递增子列． （Ⅰ）写出数列 1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{an}的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为 am0 ，长度为 q 的递增子列的末项的最小
S10 S5
___________.
6．【2019 年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2=−3，S5=−10，则 a5=__________， Sn 的最小值为__________．
7．【2019 年高考江苏卷】已知数列{an}(n N*) 是等差数列，Sn 是其前 n 项和.若 a2a5 a8 0, S9 27 ，
D．
Sn
1 2
n2
2n
2．【2019 年高考全国 III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列 an 的前 4 项和为 15，且 a5 3a3 4a1 ，
则 a3
3
A．16
B．8
C．4
D．2
3．【2019 年高考浙江卷】设 a，b∈R，数列{an}满足 a1=a，an+1=an2+b， n N ，则
（1）设
，若
对
均成立，求 d 的取值范围；
（2）若
，证明：存在 ，使得
对
均成立，并求
的取值范围（用 表示）．
10. （2018 年江苏卷）设
，对 1，2，···，n 的一个排列
，如果当 s<t 时，有 ，则称
是排列
的一个逆序，排列
的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对 1，2，3 的一个排列 231，
n N* ．
i 1
【变式探究】已知{an}是公差为 3 的等差数列，数列{bn}满足 b1＝1，b2＝13，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前 n 项和．
【变式探究】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn 对一切正整数 n 都成立．
则 S8 的值是_____.
8．【2019 年高考全国 II 卷理数】已知数列{an}和{bn}满足 a1=1，b1=0， 4an1 3an bn 4 ，
4bn1 3bn an 4 .
（I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （II）求{an}和{bn}的通项公式. 9．【2019 年高考北京卷理数】已知数列{an}，从中选取第 i1 项、第 i2 项、…、第 im 项（i1<i2<…<im），
A．－3
B．－1
C．1
D．3
(2)已知{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项和．若 a1＋a22＝－3，S5＝10，则 a9 的值是________．
【变式探究】(1)已知{an}是公差为 1 的等差数列，Sn 为{an}的前 n 项和，若 S8＝4S4，则 a10＝( ) A.17 B.19 C．10 D．12
(3)前 n 项和公式：Sn＝n
a1＋an 2
＝na1＋n
n－1 2
d；
(4)性质：①an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)；
②若 m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq.
2．等比数列
(1)定义式：an＋1＝q(n∈N*，q 为非零常数)； an
(2)通项公式：an＝a1qn－1；
例 1、【2019 年高考全国 III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列 an 的前 4 项和为 15，且
a5 3a3 4a1 ，则 a3
A．16
B．8
C．4
D．2
【变式探究】(1)在等比数列{an}中，Sn 表示其前 n 项和，若 a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比 q 等于
()
A．当
b
1 2
, a10
10
B．当
b
1 4
, a10
10
C．当 b 2, a10 10
D．当 b 4, a10 10
4．【2019 年高考全国 I 卷理数】记 Sn为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1
1 3
，a42
a6
，则 S5=____________．
5．【2019 年高考全国 III 卷理数】记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和， a1≠0，a2 3a1 ，则
a1 4,b1 6 ，b2 2a2 2,b3 2a3 4 ．
（Ⅰ）求 an 和 bn 的通项公式；
（Ⅱ）设数列
cn
满足 c1
1, cn
1, 2k n bk , n 2k ,
2k 1 ,
其中
k
N*
．
（i）求数列 a2n c2n 1 的通项公式；
2n
（ii）求 aici
(1)求数列{an}的通项公式． lg 1
(2)设 a1>0，λ＝100.当 n 为何值时，数列 an 的前 n 项和最大？
1．【2019 年高考全国 I 卷理数】记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4 0，a5 5 ，则
A． an 2n 5
B． an 3n 10
C． Sn 2n2 8n
专题 9 等差数列、等比数列
高考侧重于考查等差、等比数列的通项 an，前 n 项和 Sn 的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是 高考的热点．
备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．
1．等差数列
(1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数)；
(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
八个单音的频率为
A.
B.
C.
D.
2. （2018 年浙江卷）已知
成等比数列，且
A.
B.
C.
D.
．若 ，则
3. （2018 年全国 I 卷理数）设 为等差数列 的前 项和，若
， ，则
A.
B.
C.
D.
5. （2018 年江苏卷）已知集合
到大依次排列构成一个数列 ．记 为数列
________．
， 的前 n 项和，则使得
a1 4,b1 6 ，b2 2a2 2,b3 2a3 4 ．
（Ⅰ）求 an 和 bn 的通项公式；
（Ⅱ）设数列
cn
满足 c1
1, cn
1, 2k n bk , n 2k ,
2k 1 ,
其中
k
N*
．
（i）求数列 a2n c2n 1 的通项公式；
2n
（ii）求 aici
n N* ．
i 1
1. （2018 年北京卷）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，
为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从
第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 ．若第一个单音的频率为 f，则第
（Ⅰ）求 q 的值； （Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
5
8.（2018 年天津卷）设 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为
，
，
.
（I）求 和 的通项公式；
（II）设数列 的前 n 项和为
，
（i）求 ；
， 是等差数列.已知 ，
（ii）证明
.
9. （2018 年江苏卷）设 是首项为 ，公差为 d 的等差数列， 是首项为 ，公比为 q 的等比数列．
22 (2)若等比数列的各项均为正数，前 4 项的和为 9，积为81，则前 4 项倒数的和为( )
4 A.3 B.9 C．1 D．2
24 高频考点二、等差数列、等比数列的判断与证明
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 2、【2019 年高考全国 II 卷理数】已知数列{an}和{bn}满足 a1=1，b1=0， 4an1 3an bn 4 ，
．将 的所有元素从小 成立的 n 的最小值为
6. （2018 年全国 I 卷理数）记 为数列 的前 项和，若
，则 _____________．
7. （2018 年浙江卷）已知等比数列{an}的公比 q>1，且 a3+a4+a5=28，a4+2 是 a3，a5 的等差中项．数列 {bn}满足 b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前 n 项和为 2n2+n．
na1
(3)前 n 项和公式：Sn＝ a1 1－qn 1－q
q＝1， q≠1.
(4)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)；
②若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq(p、q、m、n∈N*)．
3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前 n 项和四组公式，活用等差、等比数
列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用 an 与 Sn 的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通 项还是前 n 项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相
2
【变式探究】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝12. 1
(1)求证： Sn 是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式．
高频考点三、等差数列、等比数列的综合应用
例 3、【2019 年高考天津卷理数】设an 是等差数列，bn是等比数列．已知
4bn1 3bn an 4 .
（I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （II）求{an}和{bn}的通项公式. 【举一反三】已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S5＝3312，求λ.
A．{Sn } 是等差数列
B．{Sn2} 是等差数列
C．{dn } 是等差数列
D． {d n2 } 是等差数列
3.【2016 年高考北京理数】已知{an}为等差数列， Sn 为其前 n 项和，若 a1 6 ， a3 a5 0 ，则
S6 = _______.
4.【2016 高考江苏卷】已知{an} 是等差数列，{Sn} 是其前 n 项和.若 a1 a22 3,S5 =10 ，则 a9 的值是