大学物理-动能定理

(4) 势能是状态的函数 Ep Ep (x, y, z) 25
4. 势能曲线
Ep (h)
E
Eh
Ep
o
H H h
重力势能
Ep
E
o
Ek
Ep
3-4 动能定理
Ep (x)
AE
B
Ek
Ep
o
x
弹性势能
Ek 0
x
引力势能
26
势能曲线的作用：
3-4 动能定理
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
力提供园周运动的向心力而不做功，摩擦力做负
功使滑块动能减少。
W

1 mv2 2

1 2
mv0
2
(1)
34
3-4 动能定理
v2 N m
(2)
R
N m dv
(3)
dt
将式(2)代入式(3)，整理变形为
v2 dv dv d v dv R dt dt d R d
分离变量并积分，得
做功，它们所做元功之和为
dA fij dri f ji drj
因
fij f ji
mi
drji
dri
rij
rij drij
所以
fij
dA fij (dri drj ) fij drij
f ji m j drj
讨论：内力做功的特点
14
成对力的功
对它所作的功为零．
非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）
23
3. 势能
3-4 动能定理
势能：质点在保守力场中与位置相关的能量。
它是一种潜在的能量，不同于动能。
几种常见的势能：
重力势能
Ep mgh
弹性势能
Ep

1 2
kx2
万有引力势能
Ep

G0
Mm r
24
势能
3-4 动能定理
保守力的功 Ac Epa Epb Ep
y1


3 2
(
x

6)
/
2dx
9
1
4 4dy

21
.25J
路
径
有 关
12
3-4 动能定理
2. 成对力的功
设有两个质点i和j，质量分别为 mi和 m j ， Fij为 质点i受到质点j的作用力，Fji为质点j受到质点i的作
用力，它们是一对作用力和反作用力。
z mi ri
o
x
dri
rij

m'm) (G rB
m'm rA
)
弹力的功
W

(
1 2
kxB2

1 2
kxA2
)
22
3-4 动能定理
F

d r

F

d r
A

F

ACB
dr
F

ADB
dr
F

d r
l
ACB
W
F

dr
BDA
0
l
D
C B
质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力
v
v0
dv v




0
d
v v0e
35
3-4 动能定理
W

1 2
mv02
[e
2

1]
2.3.2 质点系的功能原理
36
3-4 动能定理
一 质点系的动能定理
对第 i 个质点，有
Wiex Wiin Eki Eki0
外力功 内力功
对质点系，有
m1
Fiex
m2 Fiin mi
er
dr

er

dr
cos
dr
A
rA
r

m
dr

W rB G m'm dr
rA
r2
r dr
m'
rB
B
W Gmm( 1 1 ) rB rA
17
(2) 重力作功
设质量为m的物 体在重力的作用下从a
点任一曲线abc运动到
b点。 力 G在所元做位的移元功s是中，重

FT
d
s
P
32
3-4 动能定理
m 1.0 kg l 1.0 m
0 30o
θ 10o
W mgl (cos cos0 )
由动能定理 W

1 2
mv2

1 2
mv02
得 v 2gl(cos cos0)
1.53 m s1
0

d
l

v

FT
d
Wiex Wiin Eki Eki0 Ek Ek0
3-4 动能定理
(1) 如果系统存在内力，一般情况下内力之功不一 定为0;
(2) 在不同坐标系中测量位矢ri 和 rj 的值不同，但 测量的 rij 和drij 却始终相同，因此，内力做功的多
少与参照系无关;
15
3-4 动能定理
万有引力和弹性力作功的特点
(1) 万有引力作功
m' 对m 的万有引力为
B
B
W1 A F1 dr W2 A F2 dr W3 A F3 dr
W W1 W2 W3
5
3-4 动能定理
功的单位（焦耳）
1J 1Nm
平均功率 P W
t
瞬时功率 P
lim
ΔW

dW

F

v
t0 Δt
dt
P Fvcos
功率的单位（瓦特）
1 W 1 J s1 1 kW 103 W
6
3-4 动能定理
例2 质量为10kg 的质点，在外力作用下做平
面曲线运动，该质点的速度为v 4t 2i 16 j 开始时质点位于坐标原点。求在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。
解 W Fxdx Fydy
F

G
m'm r2
er
m移动dr时，F作元功为
rA
Ar
m
dr
r dr
m'
rB
B
dW

F
dr

G
m'm r2
er
dr
16
3-4 动能定理
m从A到B的过程中 F作功：
B m'm
W
F dr
G
A
r2
er dr
时小球的速率．
0

d
l

v

FT
d
s
P
31
3-4 动能定理
解
dW

F
d
s

FT
d
s

P
d
s

P

d
s

mgl
d
cos
mgl sin d

W mgl sin d 0 mgl (cos cos0 )
0

d
l

v
Fx

m
dv x dt
80t
dx vxdt 4t2dt
Fy

m dv y dt

0
W
320t3dt
7
3-4 动能定理
ay 0
y vyt 16t
y 16时 t 1
y 32时 t 2
W Fxdx Fydy
2 320t3dt 1200 J 1 8
A

Ft dr Ftds
而
Ft
m dv dt
W v2 mv dv v1

1 2
mv22

1 2
mv12
v1 dr
θ F
Bv 2
29
3-4 动能定理
W

1 2
mv22

1 2
mv12

Ek 2
Ek1
合外力对质点所作的功，等于质点动 能的增量 ——质点的动能定理
s
P
33
3-4 动能定理
例2.3.4 在光滑水平桌面上，平放着如图所示固
定的半园形屏障，质量为m的滑块以初速度 v0 沿
切线方向进入屏障内，滑块和屏障间的摩擦系数
为 ，求滑块滑过屏障的过程中，摩擦力的功。
解：滑块在水平面内受屏 障对它的压力和与屏障的 摩擦力，因为作园周运动， 故采用自然坐标。压
置有关，而与运动物体 所经历的路径无关。
a
c ha hb
h
G
ha
b hb
19
(3) 弹性力作功
3-4 动能定理
F F'
o x Px


F kxi
dW kxdx
W
x2 Fdx
x1
x2 x1

kxdx
(
1 2
k x22

1 2
k x12
)
由此可见，弹性力作功也仅仅与质点的始末
F cos
W s2 F cos ds s1
o s1 ds
s
s2
4
3-4 动能定理
（3）功是一个过程量，与路径有关．
（4）合力的功，等于各分力的功的代数和．
F F1 F2 F3
W
B
F dr
A
A（B F1 dr F2 dr F3 dr）
B
rj
m j drj
y
drji
mi
dri
rij
rij drij
fij
f ji m j drj
13
成对力的功
3-4 动能定理
设t时刻，两质点i、j的位矢分别为 ri 和 rj ，
相对位矢为 rij ，经过 t 时间后，分别发生微小位
移 dri 和 drj ，在这个过程中，内力 fij 和 f ji 都要
位置有关，与具体路径无关。
20
3-4 动能定理
F
dW
O x1
x2 x
dx
W
x2 Fdx
x1
x2 x1

kxdx
( 1 2
k x22

1 2
k x12
)
21
3-4 动能定理
二 保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式
保守力所作的功与路径无关，仅决定 于始、末位置．
引力的功
W

(G
W，动能定理
一功
物体在力的作用下发生了位移，则称力在该空 间的累积为功。
1 恒力作用下的功

W F cos r
F
F

r
r
1
3-4 动能定理
2 变力的功
元功：dW F cos dr
dW

F
dr
dr ds
dW F cos ds
dri B
1
2
A1
x2 , y2 x1 , y1
(Fx
dx

Fydy)

x2 2 ydx
x1
y2 4dy
y1

3
2
(
x2
/
2)dx

9
1
4
4dy

10
.
8J
O 3X
做 功 与
A2
x2 , y2 x1 , y1
(
Fx
dx

Fy
dy
)

x2 2 ydx
x1
y2 4dy
3-4 动能定理
a
c ha hb
h
dG
ha
b hb
h ds
A G coss
mg
mg coss mgh
18
3-4 动能定理
W Wi mgh mg h mgha mghb
A mgha mghb
由此可见，重力作
d
功仅仅与物体的始末位
dr

A
A（B Fxdx Fydy Fzdz）
在自然系下
B
B
W
F cosds
A
A F ds
F
ds
3
3-4 动能定理
讨论
(1) 功的正、负
0o 90o , dW 0
90 o


90 o

180
o
,
F dr
dW 0 dW 0
(2) 作功的图示
设链条下落长度yb0时处于临界状态oy2以整个链条为研究对象链条在运动过程中各部分之间相互作用的内力的功之和为零摩擦力的功重力的功根据动能定理有例239一质量为m的物体从质量为m的园弧形槽顶由静止滑下设园弧形槽的半径为r张角为如忽略所有摩擦求
3-4 动能定理
2.3 力的空间累积效应：
F
对
r
积累
成对保守内力的功等于系统势能的减少（或 势能增量的负值）-----势能定理。 注意：
（1）势能既取决于系统内物体之间相互作用 的形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势 能是属于物体系统的，不为单个物体所具有。
（2）物体系统在两个不同位置的势能差具有 一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量。
（3）势能差有绝对意义，而势能只有相对意 义。势能零点可根据问题的需要来选择。
dr
i * Fi
dr1 1
*A
F1
F
W
B
F

dr

B
F cos ds
A
A
称为力F沿曲线L从A到B对质点所做的功。
2
3-4 动能定理
在直角系下

F dr

Fx
i
Fy
j
dxi dyj

Fz k dzk
W
B
F

A (Ep2 Ep1) Ep
d A d Ep
d A F cos d x
Fx


d Ep dx
表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此 坐 标的导数的负值。
27
3-4 动能定理
Ep Ep
二 质W点的F动 能dr定理
1. 质点的运动轨道为抛物线 x2 4 y
2. 质点的运动轨道为直线4 y x 6
Y x2 4y
2.25
4y x6
1
2 O 3 X
11
A

B
A
F

dr
3-4 动能定理
Y x2 4y