湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析三角函数图象与性质考点透析

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析9：三角函数图象与性质
考点透析
【考点聚焦】
考点1：函数y =Asin()0,0)(>>+ϖϕϖA x 的图象与函数y =sin x 图象的关系以及根据图象写出函
数的解析式
考点2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；
考点3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题； 【考题形式】1。

由参定形，由形定参。

2。

对称性、周期性、奇偶性、单调性 【考点小测】
1.（安徽卷）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是
A ．sin()6y x π
=+ B ．sin()6
y x π
=- C ．sin(2)3y x π
=+
D ．sin(2)3
y x π
=- 解：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
r 平移，平移后的图象所对应的解析式为
sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262
πππ
ω+=
，所以2ω=，因此选C 。

2.（四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （A ）sin 6y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭ （B ）sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
（C ）cos 43y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
（D ）cos 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
解析：从图象看出，
41T=
1264
πππ+=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin 2x 向左平移了6π
个单位，即sin 2()6y x π
=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236
x x x ππππ
+=-++=-，选D. 3．2007年广东5.)()4
(sin )4(sin )
(22是函数π
π
--+
=x x x f A.周期为π的奇函数；B. 周期为π的偶函数 C.周期为π2的奇函数D.周期为π2的偶函数
4．（湖南卷）设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值
4π，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C. 2π D . 4
π 解析：设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值
4
π
，∴ 最小正周期为π，选B. 5．（天津卷）函数
),2
,0)(sin(R x x A y ∈π
<
ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（A ） （A ）
)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π
-π=x y
（C ）
)48sin(4π-π-=x y （D ）)4
8sin(4π
+π=x y
6（天津卷）要得到函数x y cos 2=
的图象，只需将函数)4
2sin(2π
+
=x y 的图象上所有的点的
（C ） (A)横坐标缩短到原来的
21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8
π
个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的
21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4
π
个单位长度 (C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动
4
π
个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8
π个单位长度
7．（全国卷I ）设函数
()(
)
()cos
30f x x j j p =+<<。

若()()/f x f x +是奇函数，则
j =__________。

解析：
'()3sin(3)f x x ϕ=-+，则()()/f x f x +=
cos(3)3sin(3)2sin(3)6
x x x π
ϕϕϕ+-+=--为奇函数，∴ φ=
6
π. 8．（湖南卷）若)4
sin(3)4
sin()(π
π
-
++
=x x a x f 是偶函数，则a = .
解析：2222()sin()3sin())3()442222
f x a x x a x x x x ππ=+
+-=++-是偶函数，取a =－3，可得()32f x x =-为偶函数。

小测题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案
C
D
A
B
A
C
－3
【典型考例】
★例1★.（2006福建卷）已知函数f (x )=sin 2x +3sin x cos x +2cos 2x ,x ∈R. （I ）求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）函数f (x )的图象可以由函数y =sin2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？
本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。

满分12分。

解：（I ）1cos 2()sin 2(1cos 2)22
x f x x x -=
+++
()f x ∴的最小正周期2.2
T π
π=
=
由题意得222,,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈ 即 ,.3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦
（II ）方法一：
先把sin 2y x =图象上所有点向左平移
12π个单位长度，得到sin(2)6
y x π
=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移
32个单位长度，就得到3
sin(2)62
y x π=++的图象。

方法二：把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122a π=-r 平移，就得到3
sin(2)62
y x π=++的
图象。

★例2★（2007全国）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线
8
π
=
x 。

（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间]
,0[π上的图像。

本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ）)(8
x f y x ==
是函数π
Θ的图像的对称轴，,1)8
2sin(±=+⨯
∴ϕπ
（Ⅱ）由（Ⅰ）知).4
32sin(,43π
πϕ-=-
=x y 因此 由题意得 .,2
24322
2Z k k x k ∈+≤-
≤-
π
πππ
π 所以函数.],8
5,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为 （Ⅲ）由知)4
32sin(π-
=x y
故函数
★例3★.（2006山东卷）已知函数f (x )=A 2
sin ()x w j +(A >0,ω>0,0<φ<2
π
函数，且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求f(x);
（2）计算f (1)+f (2)+… +f (2 008). 解：（I ）
2sin ()cos(22).22
A A
y A x x ωϕωϕ=+=
-+ ()y f x =Q 的最大值为2，0A >.2, 2.22
A A
A ∴
+== 又Q 其图象相邻两对称轴间的距离为2，0ω>，12()2,.224
ππωω∴
== 22()cos(2)1cos(2)2222
f x x x ππ
ϕϕ∴=
-+=-+. ()y f x =Q 过(1,2)点，cos(2) 1.2
π
ϕ∴+=-
又Q
0,2
π
ϕ<<
4
π
ϕ∴=
.
（II ）解法一：4
π
ϕ
=
Q ，1cos()1sin .222
y
x x πππ
∴=-+=+
(1)(2)(3)(4)21014f f f f ∴+++=+++=.
又()y f x =Q 的周期为4，20084502=⨯， 解法二：2()2sin ()4f x x πϕ=+Q
223(1)(3)2sin ()2sin ()2,44
f f ππ
ϕϕ∴+=+++=
又()y f x =的周期为4，20084502=⨯，(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯=
★例4★（2006湖北）设函数()()f x a b c =+r r r g
，其中向量(sin ,cos )a x x =-r ，(sin ,3cos )b x x =-r
，(cos ,sin )c x x =-r
，x R ∈。

（Ⅰ）、求函数()f x 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）、将函数()f x 的图像按向量d u r
平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最
小的d u r 。

【课后训练】 一选择题.
1．（全国卷I ）函数()tan 4
f x x p 骣
÷
ç=+÷ç÷ç
桫
的单调增区间为 A ．,,22k k k Z p p
p p 骣
֍-
+?÷ç÷
ç桫
B ．()(),1,k k k Z p p +?
C ．3,,44
k k k Z p p p p 骣÷ç-+?÷ç÷ç桫 D ．3,,44k k k Z p p p p 骣÷ç-+?÷ç÷ç桫 2.（全国II ）若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝
（A ）3－cos2x （B ）3－sin2x （C ）3＋cos2x （D ）3＋sin2x 3.（浙江卷）函数y=
2
1sinx+sin 2
x,x R ∈的值域是 (A)［-
21,23］ (B)［-23,2
1
］ (C)［2122,2122++-］ (D)［2122,2122---］ 4.（天津卷）已知函数()sin cos f x a x b x =-（a 、b 为常数，0a ¹，x R Î）在4
x =
π
处取得
最小值，则函数3(
)4
y f x =-π
是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点(,0)π对称 B ．偶函数且它的图象关于点3(,0)2
π
对称 C ．奇函数且它的图象关于点3(
,0)2
π
对称 D ．奇函数且它的图象关于点(
,0)π对称 5（2004年广东9）当4
0π
<<x 时，函数x x x x
x f 2
2sin sin cos cos )(-=的最小值是（ ） 6.（北京卷）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 （A ）sin(α+β)>sinα+sinβ （B ）sin(α+β)>cosα+cosβ （C ）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D ）cos(α+β)<cosα＋cosβ 7.（全国卷Ⅱ）已知函数y =tan x ω 在（-
2π，2
π
）内是减函数，则 （A ）0 <
ω ≤ 1 （B ）-1 ≤ ω < 0 （C ）ω≥ 1 （D ）ω≤ -1
8．（湖北卷）若∈<
<=+απ
αααα则),2
0(tan cos sin
（ ）
A ．)6
,
0(π
B ．)4
,6(
π
π C ．)3
,4(
π
π D ．)2
,3(
π
π 9．（山东卷）函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0
,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ ） （A ）1 （B ）22,1-
（C ）22- （D ）2
2,1
10.（上海卷）函数
[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，
则k 的取值范围是__________。

11.（湖北卷）函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为 . 12.（重庆卷）已知α、β均为锐角，且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+=
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12 答案 C
C
C
D
D
B
A
C
B
1<k<3
1
二．解答题
1.（广东卷）已知函数()sin sin(),2
f x x x x R π
=++
∈.(I)求()f x 的最小正周期；
(II)求()f x 的的最大值和最小值；(III)若3
()4
f α=
，求sin2α的值. 解：
)4
sin(2cos sin )2
sin(sin )(π
π
+=+=+
+=x x x x x x f
（Ⅰ）)(x f 的最小正周期为ππ
21
2==
T
; （Ⅱ）)(x f 的最大值为2和最小值2-； （Ⅲ）因为
43)(=
αf ，即167cos sin 2①43cos sin -=⇒⋅⋅⋅=+αααα,即 16
72sin -=α 2．已知函数2
()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。

（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合； （2）证明：函数
()f x 的图像关于直线8
π
x =-
对称。

解：2
2
()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=-- (1)所以
()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，
所以，当2242ππx k π-
=+，即38
π
x k π=+时，()f x 最大值为 (2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-
对称，只要证明对任意x R ∈，有()()88
ππ
f x f x --=-+成立，
因为
())]2)28842ππππ
f x x x x --=---=--=-，
())]2)28842
ππππ
f x x x x -+=-+-=-+=-，
所以
()()88ππf x f x --=-+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称。

3.（上海春）已知函数⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫
⎝
⎛+
=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f . （1）若54
sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域. 解：（1）53cos ,,2,5
4sin -=∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈=
x x x ππΘ
，
x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+= x x cos sin 3-= 53354+=. （2）⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
=6sin 2)(πx x f ππ
≤≤x 2
Θ656
3
ππ
π
≤
-
≤∴
x ， 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-≤πx ，
∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[.
4.(重庆卷)设函数f (x )=3cos 2ωx+sin ωxcos ωx+a(其中ω＞0,a ∈R ),且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为
6x .（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果f (x )在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-65,3ππ上的最小值为3，求a 的值. 5．已知函数
.3
cos 33cos 3sin )(2x x x x f +=
（Ⅰ）将f(x)写成)sin(φω+x A 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2
=ac ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数f(x)的值域.
解：2
3)332sin(2332cos 2332sin 21)32cos 1(2332sin 21)(++=++=++=
πx x x x x x f （Ⅰ）由)332sin(
π+x =0即z k k x z k k x ∈-=∈=+πππ2
1
3)(332得
即对称中心的横坐标为z k k ∈-，π2
1
3 （Ⅱ）由已知b 2
=a c
，，，，，，
2
3
1)332sin(
31)3
32sin(3sin |295||23|953323301cos 212
1
2222cos 22222+≤+<∴≤+<∴->-≤+<≤<<≤∴=-≥-+=-+=πππππππππππx x x x x ac ac ac ac ac c a ac b c a x Θ
即)(x f 的值域为]2
3
1,3(+
.
综上所述，]3
,
0(π
∈x ， )(x f 值域为]2
3
1,3(+
. 说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。

6． 已知函数y=
2
1cos 2
x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,
（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（1）y=
21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2
x －1)+ 41+43（2sinx ·cosx ）+1
=
41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+4
5
=
21sin(2x+6π)+4
5
所以y 取最大值时，只需2x+
6π=2π+2k π,（k ∈Z ），即 x=6
π
+k π,（k ∈Z ）。

所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6
π
+k π,k ∈Z}
（2）将函数y=sinx 依次进行如下变换： （i ）把函数y=sinx 的图像向左平移
6π，得到函数y=sin(x+6
π)的图像；
（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6π
)的图像；
（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21sin(2x+6
π)的图像；
（iv ）把得到的图像向上平移
45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+4
5
的图像。

综上得到y=
2
1cos 2
x+23sinxcosx+1的图像。