2019-2020学年数学人教A版选修2-2作业与测评：2.2.1 综合法与分析法 Word版含解析

2．2直接证明与间接证明
课时作业18综合法与分析法
知识点一综合法和分析法的概念
1.下列表述：
①综合法是由因导果法；
②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；
④分析法是间接证明法；
⑤分析法是逆推法．
其中正确的语句有()
A．2个B．3个C．4个D．5个
答案 C
解析由综合法与分析法的定义可知①②③⑤正确．
2．要证明a＋a＋7＜a＋3＋a＋4(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是()
A．综合法B．类比法
C．分析法D．归纳法
答案 C
解析用综合法直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理．
3．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－x ln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．
答案综合法
解析证明过程利用已知条件，通过导数与函数的单调性之间的关系，推导出“f(x)在区间(0,1)上是增函数”的结论，故应用的证明方
法是综合法.
知识点二 综合法和分析法的应用 4.已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋b
a
≥a ＋b .(要求用两种方法证明)
证明 综合法：因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋b
a －a －
b ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a
a ＝(a －
b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋b
a
≥a ＋b .
分析法：要证a b ＋b
a ≥a ＋
b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，
即证(a －b )(a －b )≥0，因为a ＞0，b ＞0，所以a －b 与a －b 符号相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．
5．求证：1log 519＋2log 319＋3
log 219＜2.
证明 因为1
log b
a ＝log a
b ，
所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192 ＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23) ＝log 19360.
因为log 19360＜log 19361＝2， 所以1log 519＋2log 319＋3
log 2
19＜2.
6．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 证明 要证明⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9，
只需证明⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11－a ≥9，
只需证明(a ＋1)(2－a )≥9a (1－a )， 即证(2a －1)2≥0，
∵(2a －1)2≥0成立， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1b ≥9.
一、选择题
1．用分析法证明不等式：欲证①A ＞B ，只需证②C ＜D ，这里①是②的( )
A ．既不充分也不必要条件
B ．充要条件
C ．充分条件
D ．必要条件 答案 D
解析 因为②⇒①，但①不一定推出②，故选D.
2．A 、B 为△ABC 的内角，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 C
解析 由正弦定理a sin A ＝b
sin B ＝2R ，又A 、B 为三角形的内角，∴sin A ＞0，sin B ＞0，∴sin A ＞sin B ⇔2R sin A ＞2R sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B .
3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B.a 2＋b 2
2＜ab ＜1 C.a 2＋b 22＜ab ＜1 D ．ab ＜1＜a 2＋b 22 答案 D
解析 取a ＝12，b ＝3
2，则a ＋b ＝2，这时a 2＋b 22＝14＋
942＝54＞1. ab ＝12×32＝34＜1. ∴ab ＜1＜a 2＋b 2
2.
4．设sin α是sin θ，cos θ的等差中项，sin β是sin θ，cos θ的等比中项，则cos4β－4cos4α的值为( )
A ．－1 B.1
2 C.
3 D ．3 答案 D
解析 由已知条件，得sin α＝sin θ＋cos θ2，sin 2
β＝sin θcos θ. 消去θ，得4sin 2α＝1＋2sin 2β，由二倍角公式，得cos2β＝2cos2α.又cos4β－4cos4α＝cos(2×2β)－4cos(2×2α)＝2cos 22β－1－4(2cos 22α－1)＝2cos 22β－8cos 22α＋3＝2(2cos2α)2－8cos 22α＋3＝3，故选D.
5．已知a 、b 、c 、d 为正实数，且a b <c
d ，则( ) A.a b <a ＋c b ＋d <c d
B.a ＋c b ＋d <a b <c d
C.a b <c d <a ＋c b ＋d D ．以上均可能
答案 A
解析 先取特值检验，∵a b <c
d ， 可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2， 则a ＋c b ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <c d . ∴B 、C 不正确．
要证a b <a ＋c b ＋d ，∵a 、b 、c 、d 为正实数，
∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc .
只需证a b <c d .而a b <c
d 成立， ∴a b <a ＋c
b ＋d .同理可证a ＋
c b ＋
d <c d .
故A 正确，D 不正确． 二、填空题
6．凸函数的性质定理：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )
n
≤f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x 1＋x 2＋…＋x n n .已知函数f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．
答案 332
解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)，∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π
3＝33
2，
∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为33
2.
7．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________．
答案 a ≠b
解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )
＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b ) ＝(a －b )2(a ＋b )．
∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b ＞a b ＋b a .
8．已知函数y ＝x ＋2a
x 在[3，＋∞]上是增函数，则a 的取值范围是________．
答案 ⎝ ⎛
⎦
⎥⎤－∞，92
解析 若y ＝x ＋2a
x 在[3，＋∞)上是增函数， 则y ′＝1－2a
x 2在[3，＋∞)上大于等于0恒成立， 只需x ∈[3，＋∞)时2a
x 2≤1恒成立， 即2a ≤x 2，只需2a ≤(x 2)min ＝9， 所以a ≤9
2. 三、解答题
9．证明函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数． 证明 ∵x 2＋1＞|x |， ∴x 2＋1＋x ＞0恒成立，
∴f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )的定义域为R ，
∴要证函数y ＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数，只需证f (－x )＝－f (x )， 只需证log 2(x 2＋1－x )＋log 2(x 2＋1＋x )＝0， 只需证log 2[(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )]＝0， ∵(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )＝x 2＋1－x 2＝1， 而log 21＝0，∴上式成立，
故函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数．
10．设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过点P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.
(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2. 解 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋b
x . 由已知条件得
⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧
1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3.
(2)证明：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .
设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ， 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x
， 当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0. 所以g (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减． 而g (1)＝0，故当x ＞0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2.。