2015-2016学年第一学期北京四中初三数学12月月考

数学试卷
（时间：120分钟总分：120分）
姓名：班级：
一、选择题(本题共30分，每小题3分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．
是符合题意的． 1. 抛物线2
(1)2y x =-+的顶点坐标是( ).
A ．（1，2）
B ．（1，-2）
C ．（-1， 2）
D ．（-1，-2）
2．将抛物线22x y =先向左平移3个单位, 再向上平移4个单位, 则得到的抛物线的解析式为( ).
A. 4)3(22+-=x y
B. 4)3(22++=x y
C. 4)3(22--=x y
D. 4)3(22-+=x y
3．已知二次函数y ＝-x (x -a )，若当x ≤2时，y 随x 增大而增大，当x ＞2时，y 随x 增大而减少，则a 的值是( ). A ． 1
B ．2
C ．-2
D ．4
4．下列命题错误．．
的是( ). A ．经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆 B ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D ．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 5.如图，在△ABC 中，∠A =90°，D 为BC 上一点，过D 作ED ⊥BC 交AC 于
E ，若AB =6，AC =8，ED =3，则CD 的长为( ).
A ．5
B ．4
C ． 3
D ． 2
（第5题图）（第6题图）（第7题图）
6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果∠ADE =120°，那么∠B 等于( ). A ．130°
B ．120°
C ．80°
D ．60°
7如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是( ). A. 6 B.5 C.4
D.3
8. 如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O 的圆心在格点上，则∠AED 的余弦值是( ).
A.
2
1
B. 1
C.
23
D. 552
D O
A
B E
C
D
C P
O
A
B
E
(第8题图） （第9题图）
9. 如图，P 为⊙O 外一点，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交P A 、PB 于点C 、D ，若P A =5，则△PCD 的周长为( ). A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 10．如图，点C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的
动点（点C 不与点A ，B 重合），AB =4．设弦AC 的长为x ，△ABC 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是
( ).
A ． B. C. D.
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11.二次函数y =x 2+4x +c 的对称轴是．
12.已知抛物线522+-=x x y 经过两点1(-2,)A y 和),3(2y B ，则1y 与2y 的大小
关系是．
13.若⊙O 半径是4，弦AB =4，则弦AB 所对的圆周角
等于°.
14．如图，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分，给出
下列命题：
①a+b+c=0；②b ＞2a ；
③ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1； ④a -2b +c ＞0．
其中正确的命题是. （填写正确命题的序号）
15.人教版九年级《数学》教材上指出“圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是在平面内，所有到
B O
A
A
B
C
定点O 的距离等于定长r 的点的集合”. 根据上述观点，在平面直角坐标系中，作圆C ，它的圆心为C (a ,b ) ，半径为r ，点P (x ,y )是圆C 上任意一点，可以得到：
；
（3）将（1）中的圆向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得新图形的方程为.
16.数学课上，F 老师问“如何作出△ABC 的外接圆？”H 同学回答“可以分别作AB 、BC 的垂直平分线l 1，l 2，设它们的交点为O ，再以点O 为圆心，OA （或者OB 、
OC ）为半径便可作出△ABC 的外接圆.”F 老师肯定了H 同学的作法.请你写出H 同学这样作图的依据：. 三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．计算 :260sin 453tan 45cos 60︒-︒-︒+︒．
18.如图，△ABC 中，点D 在AB 上，∠ACD =∠ABC ，若AD =2，AB =6.
求：AC 的长．
19.已知二次函数332++-=x )k (kx y 在x =0和x =4时的函
数值相等．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）画出该函数的图象，并结合图象直接写出：
①当y ＜0时，自变量x 的取值范围； ②当0≤x <3时，y 的取值范围是多少？
20.张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．
（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．
A
21．已知：如图，在⊙O 中，点P 在直径AB 的延长线上，PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为
点C ，点D ，连接CD 交AB 于点E ．如果⊙O 的半径等于351
tan 2CPO ∠=.
求：弦CD 的长．
22．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东60°方向上，在A 的正东400米的B 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P 到环海路的距离PC 3 1.732，结果精确到1米）
23. 已知：如图，BC 为⊙O 的直径，点A 是BF 的中点，AD ⊥BC 于D ，连接BF 交AD 于E .
求证：（1）AE =BE ；（2）BF =2AD ．
E
F
D
B
O
A
24．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，经过B 、D 两
点的⊙O 交AB 于点E ，交BC 于点F ，EB 为⊙O 的直径． （1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）当BC =2，cos ∠ABC 1
3
=时，求⊙O 的半径．
25. 如图，已知：实数m 是方程x 2－8x ＋16＝0的一个实数根，抛物线
21
2
y x bx c =-++交x 轴于点A （m ，0）和点B ，交y 轴于点C （0，m ）
． （1）求抛物线的解析式；
（2）设△AOC 的外接圆为⊙G ，若M 是⊙G 的ACO 上的一个动点，连接AM 、OM ．在y 轴左侧的抛物线上是否存在点N ，使得∠NOB ＝∠AMO ．若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
26．已知：如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 为BC 的中点，点F 在AB 边上，且∠EDF
＝45°．
（1）利用画图工具，在右图中画出满足条件的图形； （2）猜想tan ∠ADF 的值，并写出求解过程．
27．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()(0)y mx m n x n m =-++<的图象与
y 轴正半轴交于A 点．
（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；
A B C
D C A
B
O
x
y
（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧交点为点B ，若45ABO ∠=︒，将直线
AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式； （3）在（2）的条件下，设M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点，当30p -<<时，点M
关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．
28．已知，△GAB ，△GDC 为等腰三角形，其中GA =GB ，GD =GC ，∠AGB = ∠DGC ，过点G 分别作AB 、 CD 的垂线垂足点E 、F . （1）求证：AD ＝BC ；
（2）求证：△AGD ∽△EGF ；
（3）如图2，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求 AD
EF 的值；
（4）如图3，在(3)的条件下，若AD 、BC 所在直线相交于点P ，BD =6， ∠BGD =60°，设△BGD 的外心为O ，在BG 和DG 的长度发生变化的过程中，OP 的最小值为．
12345-1
-2-3-4-5-5-4-3-2-1543
2
1
y
x O
F B
E
G
D A
C
G
F
B
D
E
A
C
O
P
G
B
D
A
C
（图1） （图2） （图3）
29. 在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C
的反演点的定义如下：若在射线．．CP 上存在一点P '，满足2
r 'CP CP =⋅，则称P '为点P 关于
⊙C 的反演点，图1为点P 及其关于⊙C 的反演点P '的示意图.
(1)当点C 在原点O 且半径为1时，
①求1,02A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，),(B 2321关于⊙O 的反演点A ’、B ’的坐标及A ’B ’的长度； ②点P 在直线2y x =-+上，若点P 关于⊙O 的反演点为P '存在,求点P '的横坐标的取值范围；
(2)当⊙C的圆心在x轴上，半径为1
，直线y x
=+x轴，y轴分别交于点A、
B，若线段
AB上存在
点P，使得
点P关于⊙
C的反演点P'在⊙C的外部，求圆心C的横坐标的取值范围．
（图1）（备用图）
数学综合练习（二）参考答案
一、选择题：（每小题3分）
二、填空题：（每小题3分）
11．直线x=-2；
12. y1>y2；
13. 30°或150°；
14. （1）（3）；
15.（1）x2+y2=1；（2）（x-4）2+y2=1；（3）（x+1）2+（y-2）2=1；
16.线段垂直平分线的性质，圆的定义，等式性质，两条直线交于一点.
三、解答题：
17．解：原式21
1322332
+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯= …………………………4分 2
1
3213+--
= 0=．……………………………………5分
18.解：∵∠ACD =∠ABC ，∠A=∠A , ……………………………………… 2分 ∴△ACD ∽△ABC . …………………………………………………… 3分
∴AD AC AC AB
=. ………………………………………………………… 4分 ∵AD =2，AB =6，∴26AC
AC =
. ∴212AC =. ∴23AC =. …………………………………………………………5分 19.解：(1) 由题意可知，此二次函数图象的对称轴为2x =，
即()322k k -+-=.………………………………………1分 ∴1k =，
∴y =x 24x 3. ………………………………………………………2分
（2）如图1
…………………3分
①1＜x ＜3. ……………………………………………………………………………… 4分 ②31≤≤-y ……………………………………………………………………………… 5分
20. 解：(1)BC =32-2x ∴S=(32-2 x ) x =32 x - x ²……………………………………………………………… 2分
(2)S=32 x -2 x ²=-2(x ²-16 x )
=-2(x ²-16 x +64)+128=-2(x -8)²+128…………………………………………………………… 4分 答：当x=8时,S 最大值是128平方米……………………………………………………………… 5分
21．解：连接OC ．（如图1）
∵PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，
∴OC ⊥PC ，……………………………………………………………………… 1分 PC =PD ，∠OPC=∠OPD ．
∴CD ⊥OP ，CD =2CE ． …………………………2分
∵2
1tan =
∠CPO ， 图1
∴1
tan tan 2
OCE CPO ∠=∠=
．……………3分 设OE=k ，则CE=2k
，OC =．（0k >） ∵⊙O
的半径等于
=3k =．
∴CE=6．………………………………………………… 4分 ∴CD =2CE=12．…………………………………………… 5分
22．解：如图3，由题意，可得∠P AC =30°，∠PBC =60°． ………………………………………… 2分 ∴30APB PBC PAC ∠=∠-∠=︒．
∴∠P AC=∠APB ．
∴PB =AB = 400．…………………………… 3分
在Rt △PBC 中，∠PCB =90°，∠PBC =60°，PB =400，
∴sin 400346.42
PC PB PBC =⋅∠=⨯
==≈346（米）
．………………4分 答：灯塔P 到环海路的距离PC 约等于346米． …………………………………… 5分
23.证明：（1）延长AD 交圆O 于点A ’，连接AB . ∵AD ⊥BC 于D ，弧AB =弧A’B ，
∵点A 为弧BF 的中点，∴弧AB =弧AF ，
∴弧A’B =弧AF ，∴∠1=∠A ，∴AE =BE ；
（2）由（1）可得弧AA’=弧BF ，∴AA’=BF ， ∵AD ⊥BC 于D ，∴AA ’=2AD , ∴BF =2AD ．
24．（1）证明：如图，连结OD ．
∴OD OB =．∴12∠=∠． ∵BD 平分ABC ∠,∴13∠=∠．
∴23∠=∠． …………………………．．1分 ∴OD BC ∥．∴90ADO C ∠=∠=°．∴OD AC ⊥． ∵OD 是⊙O 的半径，
∴AC 是⊙O 的切线． ……………………………………2分
（2）解：在Rt △ACB 中，90C ∠=，BC =2 , cos ∠ABC 13
=
, ∴6cos BC
AB ABC
=
=∠． …………………………………………………… 3分
设O ⊙的半径为r ，则6AO r =-．
∵OD BC ∥，∴AOD ABC △∽△．
∴OD AO BC AB =
．∴626
r r
-=． 解得3
2
r =．
∴O ⊙的半径为3
2
． ………………………………………………………… 5分
25.解：（1）∵实数m 是方程x 2-8x +16=0的一个实数根，∴m =4；…………… 1分 即A （4，0）、C （0，4），代入抛物线的解析式中，可得：
，
解得；
∴抛物线的解析式为：y =x 2+x +4；……………………………………………………………… 2分
（2）如图：
由于A （4，0）、C （0，4），那么OA=OC=4，即△OAC 是等腰直角三角形； 点N 在y 轴左侧，那么∠NOB ＜90°，
因此∠AMO 也是锐角，即M 在弧ACO 上，由圆周角定理知：∠ACO=∠AMO=45°， 故∠NOB=∠AMO=45°；…………………………… 3分 设N 点坐标为（m ，n ），则|m |=|n |；
当m =n 时，N （m ，m ），代入抛物线的解析式中，得： m =
m 2+m +4，解得：m =-2（正值舍去）；
∴N （-2，-2）；………………………………………………………… 4分
当m =-n 时，N （m ，-m ），代入抛物线的解析式中， 得：-m =
m 2+m +4，
解得：m =2-2（正值舍去）；
∴N （2-2，2-2）；……………………………………………………………… 5分
综上所述，存在符合条件的N 点，且N 点坐标为：N （-2，-2）或（2-2，2-2）．
26．解：（1）如图1． ………………………… 1分
（2）猜想tan ∠ADF 的值为1
3
．……………………2分
求解过程如下: 如图2.
在BA 的延长线上截取AG=CE ,连接DG ． ∵四边形ABCD 是正方形,
∴AD=CD=BC=AB=6,∠DAF=∠ABC=∠ADC=∠BCD = 90°． ∴∠GAD = 90°．
∴△AGD ≌△CED ． ………………………………3分 ∴∠GDA=∠EDC ，GD=ED ，AG=CE ． ∵∠FDE =45°,
∴∠ADF +∠EDC=45°． ∴∠ADF +∠GDA =45°． ∴∠GDF=∠EDF ． ∵DF = DF ，
∴∠GDF ≌∠EDF ．……………………………… 4分 ∴GF =EF ． 设AF =x , 则FB=6-x , ∵点E 为BC 的中点, ∴BE=EC=3． ∴AG=3． ∴FG=EF=3+x ．
在Rt △BEF 中，∠B =90°，
由勾股定理，得222
BF BE EF +=, ∴2
2
2
3(6)(3)x x +-=+． ∴x=2．
∴AF=2． ……………………………………………………… 5分
F
E
D
C
B
A 图1
G
A B
C
D
E
F
图2
∴在Rt △ADF 中，tan ∠ADF =
AF AD =1
3
．
27．解：（1）令2()=0mx m n x n -++，则
22=()4=()m n mn m n ∆+--. ………………………………………………………1分 ∵二次函数图象与y 轴正半轴交于A 点，
∴(0,)A n ，且0n >. 又0m <，∴0m n -<. ∴2=()0m n ∆->.
∴该二次函数的图象与x 轴必有两个交点．………………………………………2分
（2）令2()=0mx m n x n -++，解得：121,n
x x m
==．
由（1）得
0n
m
<，故B 的坐标为（1，0）. ………………………………………3分 又因为45ABO ∠=，所以(0,1)A ，即=1n .
则可求得直线AB 的解析式为1y x =-+.
再向下平移2个单位可得到直线:1l y x =--．…………………………………4分 （3）由（2）得二次函数的解析式为2(1)1y mx m x =-++
∵M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点， ∴2(1)1q mp m p =-++.
∴点M 关于x 轴的对称点M '的坐标为(,)p q -. ∴点M '在二次函数2(1)1y mx m x =-++-上.
∵当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，
当0p =时，1q =；当3p =-时，124q m =+；……………………………5分 结合图象可知：(124)2m -+≤，
解得：1
2m ≥-，………………………………………………………………………6分
∴m 的取值范围为1
02
m -≤<．……………………………………………………7分
28．证明：
（1）∵∠AGB =∠DGC ，∴∠AGD=∠BGC ，
在△AGD 和△BGC 中，GA =GB ，∠AGD=∠BGC ，GD =GC ， ∴△AGD ≌△BGC ， ∴AD ＝BC.
（2）∵∠AGB =∠DGC ，过点G 分别作AB 、 CD 的垂线垂足点E 、F . ∴∠AGE =
21∠AGB , ∠DGF =2
1
∠DGC , 2
∴∠AGE =∠DGF . ∴cos ∠AGE =
GD
GF
GA GE =
= cos ∠DGF .
又∵∠AGD=∠BGC ，∴△AGD ∽△EGF （3）∵△AGD ∽△EGF ,∴
GE
AG
EF AD =
. ∵AD 、BC 所在直线互相垂直，∴AD ⊥EF
∴△ABG 是等腰直角三角形，∴2=GE
AG
.
∴.GE AG
2=. （4）33-.
29. （1）A 的反演点与O 的距离为2，所以A’=(2,0)，
B 的反演点与O 的距离为1，所以B’=B ， 设P ’坐标为(x ，y) x ,y 不全为零，对应P 的坐标为2222
(
,)x y
x y x y ++，
2222
222111()()448x y
x y x y
x y +=++-+-=
，
211
()48
x -≤，
1144x -≤≤（2）P '在⊙C 的外部，即P 在⊙C 的内部且不是圆心， 只需令线段AB 和圆面C 有交集即可.
考虑左侧边界位置，C 到线段AB 的距离为1，因此AC =2，C 横坐标为4 考虑右侧边界位置，C 到A 的距离为1，因此C 的横坐标为7 所以C 的横坐标取值范围为（4,7）。