立体几何(点到面的距离)

立体几何（文科综合）
1．如图, 在四棱锥P ABCD 中,四边形ABCD 是直角梯形, DC 2AD 2AB 2，DAB ADC 90 , PB 2，PDC 为等边三角形.
1）证明：PD BC ；
2）求点B到平面PCD的距离.
答案】（1）略；（2）6
3
2．如图，圆锥PO中，AB是圆O的直径，C是底面圆O上一点，且CAB ，点D为半径OB的中6
（Ⅰ）求证：CD 平面APB ；
（Ⅱ）当APB是边长为4的正三角形时，求点A到平面PBC的距离. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）h 4 15
5
3．如图，已知在直四棱柱ABCD A1 B1C1D1 中，AD DC ，AB/ /DC ，DC DD1 2AD 2AB 2 ．
（1）求证：DB 平面B1BCC1 ；
（2）求点A1到平面C1BD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）3. 4．如图，四棱锥的底面是直角梯形，
点，。

1）证明：平面
2）求点到平面的距离。

答案】（ 1 ）见解析；（ 2 ）
1）证明：平面平面
2）求点到平面的距离.
答案】（1）见解析（2）
6．如图所示，在三棱锥D－ABC中，AC，BC，CD两两垂直，AC＝
CD＝1，
＝，O为AB 的中点．
平面的中
5．如图，在三棱柱
，是边的中点.
中（底面为正三角形），平面
说明点 M ， N 的位置 （ 不要求证明 ）；
（2） 求点 C 到平面 ABD 的距离．
【答案】（ 1）见解析；（ 2）
（1） 求证： CF ∥平面 ； （2） 求三棱锥 C － 的高．
【答案】（ 1）见解析；（ 2）
求证：平面 平面
，求点 到平面 的距离
与平面 ACD 平行，且与
棱 DB ，CB 分别相交于 M ， N ，在图中画出该截面多边
形，并
在 的条件下，若 ，求 与平面 所成角的正切值
的侧棱 AA1⊥底面 ABC ，∠ACB ＝90°， E 是棱 的中点， F 是 AB 的中点，
8．已知四棱锥
的底面 是菱形， 底面 是 上的任意一点
7．如图，三棱柱 ABC －
答案】（ 1）见解析（ 2） （3）
9．如图， 已知 平面 ， 为矩形， 、 分别为 、 的中点，
1）求证： 平面 ；
2）求证：面
平面
3）求点 到平面 的距离 .
答案】（ 1）证明见解析； （2）证明见解析； （3） .
1）证明： 平面
答案】（ 1）证明见解析； （2）
11．在长方体 ABCD A 1BC 1 1D 1 中，底面 ABCD 是边长为 2的正方形， AA 1=2 3，E 是 AB 的中点， F
10．如图，在四棱
锥 点 Q 在棱 AB
中， 平面
的体积为
，求点 B 到平面 PDQ 的距离 .
是 BB 1 的中点
1）求证：EF / / 平面A1DC1；
2）求点A到平面A1DC1 的距离.
答案】（1）见解析（2） 2 21
7
ADFC是边长为2的正方形，点M 是棱EF 的中点.
2）若三棱锥B DEF 的体积为4，求点B到平面ADFC 的距离.
答案】（1）见解析（2）6
13．已知四棱锥P ABCD的底面为菱形，且ABC 60 ，AB PC 2,AP BP 2 .
1）求证：平面PAB 平面ABCD ；
2）求点D 到平面APC的距离.
答案】（1）证明见解析；（2） 2 21
7
14．如图，在等腰梯形ABCD中，AB/ /CD ，AD DC CB CF ，ABC 60 ，四边形ACFE为平行四边形，FC 平面ABCD ，点M 为线段EF 中点.
1）求证： BC ⊥平面 ACFE ；
2）若 AD 2，求点 A 到平面 MBC 的距离 答案】（ 1）详见解析； （ 2） 4 21 .
7
15．如图所示，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，AB ⊥BC ，AB BC 1， PA ⊥平面 ABCD ， CD ⊥
2）若 PA AD ，求点 B 到平面 PAC 的距离．
答案】（ 1）见解析（ 2） 16．如图， 在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中， ABC 为正三角形， AB=AA=1 2 ， M 是 A 1C 的中点， N 是 A 1B 1 的中点
1）证明：
MN ∥ 平面 BCC 1B 1 ； 2）求点 M 到平面 ACB 1的距离 .
PAC ；
【答案】（ 1）见证明；（2） 21
7
17．如图，在底面是正方形的四棱锥
P ABCD 中， PA 平面 ABCD ， BD 交 AC 于点 E , F 是 PA 的
中点， G 为 AC 上一动点．
1）求证： BD FG ；
2）若 G 是AE 的中点， PA AB 4，求点 P 到平面 FGD 的距离. 答案】（1）证明见解析； （2） 2 14.
7
18．如图，四面体 ABCD 中， O 、 E 分别是 BD 、BC 的中
点，
1）求证： AO 平面 BCD ；
2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值； 3）求点 E 到平面 ACD 的距离。

答案】（ 1 ）见解析（ 2 ） 2 （3） 21
47
19．如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为边长为 2 的菱形， DAB DBF 60 ，且 FA FC ．
AB AD 2
， CA CB CD BD 2
.
2）求点A 到平面BDEF 的距离．答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3 .
20．如图，在四棱锥中P ABCD中，底面ABCD是菱形，且DAB 60 ，PA PD ，M 为CD的中点，平面PAD 平面ABCD ．
（1）求证：BD PM ；
（2）若APD 90 ，PA 2 ，求点A 到平面PBM 的距离．
【答案】（1）详见解析;（2）4 13 .
13
21．如图，在直角梯形ABCD中，AD // BC, ADC 90 ，平面ABCD外一点P在平ABCD内的射影Q 恰在边AD 的中点Q上，PA AD 2BC 2CD 3 ．
1）求证：平面PQB 平面PAD ；
2）若M 在线段PC 上，且PA// 平面BMQ ，求点M 到平面PAB 的距
离．
答案】（1）证明见解析；（2）15．
10
22．如图，四边形 ABCD 为正方形， PD 平面 ABCD ，
Ⅰ）求证： AD PC ；
Ⅱ）求点 A 到平面 CQP 的距离 . 答案】（Ⅰ）证明见解析； （Ⅱ） 6 .
6
23．如图，在等腰梯形 ABCD 中， M 为 AB 的中点， AD //BC ，AB BC CD 1，AD 2，现在沿
AC 将 ABC 折起使点 B 到点 P 处，得到三棱锥 P ACD ，且平面 PAC 平面 ACD .
1
）棱 AD 上是否存在一点 N ，使得
PD//平面 MNC ？请说明你的结论； 2）求证：
CD 平面 PAC ； 3）求点 A 到平面 PCD 的距离 .
24．如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，已知 AB AC AA 1 5， BC 4， A 1在底面 ABC 的投影是
线段 BC 的中点 O .
2）求直线 AC 1与平面 BCC 1B 1 所成角的正弦值； （3）若 M ， N 分别为直线 AA 1， B 1C 上动点，求 MN 的最小值 .
【答案】（ 1） h 2 6；（2） 15 ；（3） 2 5
3 15 5
PD / /QA ， QA AB 1 PD 1.
2
答案】（ 1）见解析；（ 2）见证明； 3）
25．如图，在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，BAC CAD 60 ，AB BC，AD DC ，点E为PD的中点，PA 2，AC 4.
1）证明：PB 平面AEC ；
2）求点D到平面AEC的距离.
答案】（1）证明见解析；（2） 2 21
7
26．如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD ，AB AD ，AB 2AD 2DC 6 2；如图2，将图1
中DAC沿AC起，点D在平面ABC上的正投影G在ABC内部，点E为AB的中点，连接BD,ED ，
三棱锥D ABC 的体积为12 2 ．
1）求证：DE AC ；
2）求点B 到平面ACD 的距离．
答案】（1）见解析；（2）4 2
27．如图，四棱锥S ABCD 中，SD 底面ABCD ，AB / /CD ，AD DC，AB AD 1，DC 2，SD 2 ，E 为棱SB 的中点．
1)
求证： SC 平面 ADE ；
2)求点 B 到平面 AEC 的距离，
28．如图所示，在多面体 ABCDEF 中， CB 平面 ABEF ，四边形 ABCD 是正方形， ABF 是一个正三
角
形， FE BE 且 FEB 120 .
1)求证： AE CF ；
2)若三棱锥 F CBE 的体积为 2，求点 A 到平面 CDF 的距离．
答案】( 1)见解析；(2) 6 7
7
( 1) 求点 D 到平面 A 1BE 的距离；
( 2) 在棱 C 1D 1上是否存在一点 F ，使得 B 1F ∥平面 A 1BE ，若存在，指明点 F 的位置；若不存在，请说明理
由。

a
【答案】 (1) ；(2) 存在点 F ， F 为C 1D 1中点
3
答案】 (1) 见证明； (2)
h 22
11
29．在棱长为 a 的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1
中， E 是棱 DD 1 的中点：
30．如图，在三棱锥 P ABD 中，平面 PAD 平面 ABD ，AP PD ，AP PD BD 2，AB 2 3 ．求：
1）求证： VE AF ；
2）求点 V 到平面 AEF 的距离 .
2 答案】（ 1）见证明；（ 2）
3
（Ⅱ）求点 D 到平面 PAB 的距离．
4
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 2 .
3
31．如图，在多面体 ABCC 1B 1A 1中，四边形 BB 1C 1C 为矩形， AB BC 5，CC 1 面 ABC
，AA 1 / /CC 1 ，
2AA 1 CC 1 AC 2，E ，F 分别是 A 1C 1 ， AC 的中点， G 是线段 BB 1上的任一点．
（2）求三棱锥 F EA 1G 的体积． 1 【答案】（ 1）详见解析； （ 2） .
2
32．如图，在正方形 ABCD 中， AB 2,E,F 分别为 BC,CD 的中点，将 ABE, ADF ，
CEF 分别沿
着 AE, AF,EF 折叠成一个三棱锥， B,C,D 三点重合于点 V .
1）求证： AC EG ；
33．如图，已知四边形 ABCD 为梯形， AB ∥ CD ，∠ DAB =90°，BDD 1B 1为矩形，平面 BDD 1B 1⊥平面
ABCD ，又
（2）求 B 1到平面 ACD 1 的距离． 【答案】 （1） 见证明； （2）1
34．已知空间几何体 ABCDE 中， BCD 与 CDE 均为边长为 2的等边三角形， ABC 为腰长为 13的 等腰
三角形，平面 CDE 平面 BCD ，平面 ABC 平面 BCD .
（1）试在平面 BCD 内作一条直线，使直线上任意一点 F 与 A 的连线 AF 均与平面 CDE 平行，并给出详 细证明
（2）求点 B 到平面 AEC 的距离
35．如图，直四棱柱 ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形， AA 1=4，AB=2，∠BAD=60°，E ，M ，N 分别是 BC ，BB 1， A 1D 的中点 .
答案】（ 1）见解析；（ 2）
4 39
13
1）证明： MN ∥平面 C 1DE ；
2）求点 C 到平面 C 1DE 的距离． 答案】（ 1）见解析； 2) 4 17
17
36．在边长为 3的正方形 ABCD 中，点E ，F 分别在边 AB ， BC 上（如左图），且BE=BF ，将 AED ，
DCF 分别沿 DE ， DF 折起，使 A ，C 两点重合于点 A ￠（如右图）．
1）求证： AD EF ；
1
2）当 BF BC 时，求点 A ￠到平面 DEF 的距离．
3
答案】（ 1）见解析；（2） 3 7
5
37．如图，四棱锥 S ABCD 中， SD 平面 ABCD ， AB/ /CD ， AD CD ，SD CD ， AB AD ，
1）求证：
MN // 平面
CD 2AD ，M 是BC
中点， N 是 SA 上的点 .
2）求 A 点到平面 MDN 的距离 .
12
答案】（ 1）见证明；（ 2） d 12 7
38．如图，在矩形 ABCD 中，AB=2BC=2 ，点 M 为 DC 的中点，将△ 平面 ABCM ．
1）求证： AD ⊥ BM ；
答案】（ 1）见解析（ 2）
39．如图，在直四棱柱 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 是矩形，
2）求点 C 1到平面 AEC 的距离 .
答案】 (1) 见解析 .(2) h 2 6
3
40．如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，对角线 长为 2的等边三角形， E 为 SB 的中点 .
ADM 沿 AM 折起，使得平面△ ADM ⊥ 2）求点 C 到平面 BDM 的距离．
A 1D 与 AD 1 交于点 E ，
AC 与 BD 交于点 F ，侧面 SBC 是边
中， ，现以 为折痕将 折起，使点 落在 上，
求点 到平面 的距离 .
2）若侧面 SBC 底面 ABCD ，求点 E 到平面 ASD 的距离 .
41．如图，在直三棱柱 ABC A 1 B 1C 1中， ABC 是边长为 2的正三角形， AA 1 2 6 ， D 是 CC 1的中点，
1）证明： DE// 平面 A 1BC ； 2）求点 A 到平面 A 1BC 的距离 .
答案】（ 1）详见解析； （ 2） 2 6
3
答案】 （1） 见解析 .（2）
21 7
E 是A 1B 1的中
点
42．如图，在矩
形
2）若
答案】 （1） 见证明； （2） 43．如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆 O 上除 A 、 B 外的一点， DC 平面 ABC ，四边形 CBED 为平行 四边形， CD 1， AB 4 ．
（ 1）求证： ED 平面 ACD ； （2）当三棱锥 E ADC 体积取最大值时，求此刻点 C 到平面 ADE 的距离．
（1）证明： 平面 ；
（2）求点 到平面
的距离 .
【答案】 （1） 见解析 .（2） .
45．如图，四棱锥
中，底面 为梯形，
面 ， ， 是 的中点
.
答案】（ 1）见解析；（ 2
）
22
3
44．如图，等边三角形
所在平面与梯形 所在平面互相垂直，且有
Ⅰ）求证：平面平面
Ⅱ）求点到平面的距离.
答案】（Ⅰ）见证明；
（Ⅱ）
46．如图，在三棱
锥
中
，
平面平面，为等边三角
形，
，是的点.
（1）证
明：
(2) 若，求到平面的距离.
答案】（1）见解析
（2）
47．如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面
圆
的直径长为2，点在圆所在平面内，且圆的切线，交圆于点，连接
2）若，求点到平面的距离.
答案】
（1）
详见解
析；
2) .
48．如图
（1）
中
，
，，分别
是
与的中点，将沿折起连接与
到四棱锥如图
（2）），
为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）当四棱锥体积最大时，求与平面的距离.【答案】（1）见证明；（2）
49．如图，在三棱锥中，，，平面，、分别是
（Ⅱ）若为线段中点，. 求点到平面的距离.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
50．如图所示，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，、、、分别是棱2）若平面平面，求点到平面的距离.上的点，
答案】（1）见证明；（2）。