初中数学平行四边形复习题及解析

初中数学平行四边形复习题及解析
一、解答题
1．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作
//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．
(1)求证: FCE BOE ≌；
(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．
2．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． （1） 求证：四边形CEDF 是平行四边形；
（2） ①当AE 的长为多少时， 四边形CEDF 是矩形；
②当AE = cm 时， 四边形CEDF 是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．
3．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿
AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．
（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；
（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；
（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由． 4．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC . （1）求证：AEF CGH ∆≅∆
（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的
长：
（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+
5．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连
BE ，取BE 中点O ．
（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；
（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段
DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；
（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且
135PCQ ︒∠=，则PC
．（直接写出结果）
6．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ． （1）如图①．求证：OE ＝OF ；
（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；
（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CF
OF
＝ （直接填结果）．
7．共顶点的正方形ABCD 与正方形AEFG 中，AB =13，AE 2． （1）如图1，求证：DG =BE ；
（2）如图2，连结BF ，以BF 、BC 为一组邻边作平行四边形BCHF ． ①连结BH ，BG ，求
BH
BG
的值； ②当四边形BCHF 为菱形时，直接写出BH 的长．
8．问题背景
若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点． 如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．
初步思考
(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，
EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形． ①点A 与点______关于BC 互为顶针点；
②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由． 实践操作
(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．
①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹) 思维探究
②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．
9．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．
()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；
()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断
线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；
②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过
程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．
10．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有1
2
CBE ABF ∠=
∠．
（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；
（2）如图2，当3
2
b a =
时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________；
②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=； ③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．
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一、解答题
1．（1）见解析；（2）当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形，证明详见解析 【分析】
（1）证明四边形OCFD 是平行四边形，得出OD=CF ，证出OB=CF ，再证明全等即可（2）证出四边形ABCD 是矩形，由矩形的性质得出OC=OD ，即可得出四边形OCFD 为菱形. 【详解】
(1)证明:∵//,//CF BD DF AC ，
∴四边形OCFD 是平行四边形， OBE CFE ∠=∠， ∴OD CF =，
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB OD =， ∴OB CF =，
在FCE △和BOE △中， OBE CFE BEO FEC OB CF ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()FCE BOE AAS ≌．
(2)当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形.理由如下: ∵90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是矩形 ∴,,,OA OC OB OD AC BD === ∴OC OD =， ∴四边形OCFD 为菱形 【点睛】
本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.
2．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形；②2 【分析】
（1）证明△FCG ≌△EDG （ASA ），得到FG=EG 即可得到结论；
（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形.过A 作AM ⊥BC 于M ，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM ，证明△MBA ≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF 是矩形；
②根据四边形CEDFCEDF 是菱形，得到CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2. 【详解】
（1）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ CF ∥ED ， ∴ ∠FCG ＝∠EDG ， ∵ G 是CD 的中点， ∴ CG ＝DG ，
在△FCG 和△EDG 中，FCG EDG CG DG CGF DGE ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴ △FCG ≌△EDG （ASA ）， ∴ FG ＝EG ， ∵ CG ＝DG ，
∴ 四边形CEDF 是平行四边形；
（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形， 理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ， ∵∠B=60°， ∴∠BAM=30°， ∵AB=3， ∴BM=1.5，
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5， ∵AE=3.5， ∴DE=1.5=BM ， 在△MBA 和△EDC 中，
BM DE B CDE AB CD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△MBA ≌△EDC(SAS)， ∴∠CED=∠AMB=90°， ∵四边形CEDF 是平行四边形， ∴四边形CEDF 是矩形； ②∵四边形CEDFCEDF 是菱形， ∴CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5， ∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘， ∴∠DEG=30°， ∴DE=2DG=3， ∴AE=AD-DE=5-3=2， 故答案为：2.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的性质定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，三角形全等的判定及性质定理，熟练掌握各定理并运用解答问题是解题的关键.
3．（1）AE t =；122AD t =-；DF t =；（2）证明见解析；（3）3t =；理由见解析． 【分析】
（1）根据题意用含t 的式子表示AE 、CD ，结合图形表示出AD ，根据直角三角形的性质表示出DF ；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明； （3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可． 【详解】
解：（1）由题意得，AE t =，2CD t =， 则122AD AC CD t =-=-，
∵DF BC ⊥，30C ∠=︒，∴1
2
DF CD t == （2）∵90ABC ∠=︒，DF BC ⊥，∴AB DF ，
∵AE t =，DF t =，∴AE DF =， ∴四边形AEFD 是平行四边形； （3）当3t =时，四边形EBFD 是矩形，
理由如下：∵90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，
∴1
62
BC AC cm =
=， ∵BE DF ∥，
∴BE DF =时，四边形EBFD 是平行四边形， 即6t t -=，解得，3t =，
∵90ABC ∠=︒，∴四边形EBFD 是矩形， ∴3t =时，四边形EBFD 是矩形． 【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握平行四边形、矩形的判定定理是解题的关键．
4．（1）证明见解析；（2）BE =3）证明见解析． 【分析】
（1）根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质可证明∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，再证明四边形ACGE 是平行四边形即可证明AE=CG ，由此可利用“AAS”可证明全等； （2）证明△AEF ≌△DGF （AAS ）可得△DGF ≌△CGH ，所以可得1
2
AE DG CG
CD ，再结合等腰直角三角形的性质即可求得CD ，由此可得结论；
（3）利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质结合勾股定理分别把22AC BD +和22AB BC +用2CD 表示即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB//CD ，AD//BC ， ∴∠E=∠EGD ，∠H=∠DFG ， ∵∠CGH=∠EGD ，∠DFG=∠AFE ， ∴∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ， ∵//EH AC ，AB//CD ， ∴四边形ACGE 是平行四边形， ∴AE=CG ，
∴△AEF ≌△CGH （AAS ）； （2）∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB//CD ，AB=CD ， ∴∠E=∠EGD ，∠D=∠EAF ， ∵F 是AD 的中点， ∴AF=FD ，
∴△AEF ≌△DGF （AAS ）； 由（1）得△AEF ≌△CGH （AAS ）； ∴△DGF ≌△CGH,
∴1
2
AE DG CG
CD , ∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，8AD =， ∴2422
AB
CD
AD ,
∴22AE =， ∴62BE AB BE =+=； （3）如下图，
∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴CD=AB ，AD=BC ，AC=2OC ，BD=2OD ，
∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，AC=CD ， ∴222222244()AC BD AC OD AC OC CD ++++==
2222222(2)446AC A OC CD AC D C CD C ++=++==， 且222222223CD AD CD AC CD C AB BC D =+=+++=, ∴22222()AC BD AB BC +=+ 【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质．（1）中解题关键是利用证明四边形ACGE 是平行四边形证明AE=CG ；（2）得出DG CG =是解题关键；（3）中能正确识图，完成线段之间的代换是解题关键． 5．（1）见解析；（2）222MN BN DM =+，理由见解析；（3）32【分析】
（1）由直角三角形的性质得AO=MO=
1
2
BE=BO=EO ，得∠ABO=∠BAO ，∠OBM=∠OMB ，证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2∠MBO=2∠ABD=90°即可；
（2）在AD 上方作AF ⊥AN ，使AF=AN ，连接DF 、MF ，证△ABN ≌△ADF （SAS ），得BN=DF ，∠DAF=∠ABN=45°，则∠FDM=90°，证△NAM ≌△FAM （SAS ），得MN=MF ，在Rt △FDM 中，由勾股定理得FM 2=DM 2+FD 2，进而得出结论；
（3）作P 关于直线CQ 的对称点E ，连接PE 、BE 、CE 、QE ，则△PCQ ≌△ECQ ，∠ECQ=∠PCQ=135°，EQ=PQ=9，得∠PCE=90°，则∠BCE=∠DCP ，△PCE 是等腰直角三角
形，得
CE=CP=
2
PE ，证△BCE ≌△DCP （SAS ），得∠CBE=∠CDB=∠CBD=45°，则∠EBQ=∠PBE=90°，由勾股定理求出
BE=PE=6，即可得出PC 的长． 【详解】 解：（1）证明：
四边形ABCD 是正方形，
90ABC BAD ∴∠=∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒， ME BD ⊥， 90BME ∴∠=︒， O 是BE 的中点，
1
2
AO MO BE BO EO ∴====，
ABO BAO ∴∠=∠，OBM OMB ∠=∠，
22290AOM AOE MOE ABO MBO ABD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；
（2）222MN BN DM =+，理由如下：
在AD 上方作AF AN ⊥，使AF AN =，连接DF 、MF ，如图2所示： 则90NAF ∠=︒，
四边形ABCD 是正方形，
AB AD ∴=，90BAD NAF ∠=∠=︒，
BAN DAF ∴∠=∠，
45NAM ∠=︒， 45FAM NAM ∴∠=︒=∠，
在ABN ∆和ADF ∆中，AB AD BAN DAF AN AF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABN ADF SAS ∴∆≅∆，
BN DF ∴=，45DAF ABN ∠=∠=︒， 90FDM ADB ADF ∴∠=∠+∠=︒，
45NAM ∠=︒， 45FAM NAM ∴∠=︒=∠，
在NAM ∆和FAM ∆中，AN AF NAM FAM AM AM =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
()NAM FAM SAS ∴∆≅∆，
MN MF ∴=，
在Rt FDM ∆中，222FM DM FD =+， 即222MN BN DM =+；
（3）作P 关于直线CQ 的对称点E ，连接PE 、BE 、CE 、QE ，如图3所示： 则PCQ ECQ ∆≅∆，135ECQ PCQ ∠=∠=︒，9EQ PQ ==，
36090PCE PCQ ECQ ∴∠=︒-∠-∠=︒，
BCE DCP ∴∠=∠，PCE ∆是等腰直角三角形， 2CE CP PE ∴==
， 在BCE ∆和DCP ∆中，BC DC BCE DCP CE CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BCE DCP SAS ∴∆≅∆，
45CBE CDB CBD ∴∠=∠=∠=︒，
90EBQ ∴∠=︒，
90PBE ∴∠=︒，
2PB =，9PQ =，
7BQ PQ PB ∴=-=，
22229742BE EQ BQ ∴=-=-=，
22222(42)6PE PB BE ∴=+=+=，
232PC PE ∴==； 故答案为：32．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
6．（1）见解析；（2）FG=EP ，理由见解析；（3
【分析】
（1）证△ODE ≌△OFB （ASA ），即可得出OE=OF ；
（2）连AC ，由（1）可知OE=OF ，OB=OD ，证△AOE ≌△COF （SAS ），得AE=CF ，由折叠性质得AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，则∠D=∠B 1，证△A 1PE ≌△CGF （AAS ），即可得出FG=EP ；
（3）作OH ⊥BC 于H ，证四边形ABCD 是矩形，则∠ABC=90°，得∠OBC=30°，求出AC=8，由勾股定理得
BC=
CF=，由等腰三角形的性质得BH=CH=
12
BC=
HF=4-，OH=
12
OB=2，由勾股定理得
OF=，进而得出答案． 【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD=BC ，
∴∠ODE=∠OBF ，∠OED=∠OFB ，
∵AE=CF ，
∴AD-AE=BC-CF ，即DE=BF ，
在△ODE 和△OFB 中， ODE OBF DE BF
OED OFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ODE ≌△OFB （ASA ），
∴OE=OF ；
（2）FG=EP ，理由如下：
连AC ，如图②所示：
由（1）可知：OE=OF ，OB=OD ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AC 过点O ，OA=OC ，∠BAD=∠BCD ，∠D=∠B ，
在△AOE 和△COF 中，
OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AOE ≌△COF （SAS ），
∴AE=CF ，
由折叠性质得：AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，
∴∠D=∠B 1，
∵∠A 1PE=∠DPH ，∠PHD=∠B 1HG ，
∴∠DPH=∠B 1GH ，
∵∠B 1GH=∠CGF ，
∴∠A 1PE=∠CGF ，
在△A 1PE 和△CGF 中，
111
A PE CGF A FCG A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴△A 1PE ≌△CGF （AAS ），
∴FG=EP ；
（3）作OH ⊥BC 于H ，如图③所示：
∵△AOB 是等边三角形，
∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，OA=OB=AB=4，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC ，OB=OD ，
∴AC=BD ，
∴四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵AB=OB=BF=4，
∴AC=BD=2OB=8，
由勾股定理得：2222=84AC AB --3 ∴CF=43，
∵OB=OC ，OH ⊥BC ，
∴BH=CH=12BC=23 ∴HF=4-23OH=
12OB=2， 在Rt △OHF 中，由勾股定理得： 22OH HF +()222423+-2622，
∴434
226222
CF OF -===-， 故答案为：2．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
7．（1）证明见解析；（2）①
2BH BG =②BH 的长为2或2． 【分析】
（1）证()DAG BAE SAS △≌△，即可得出结论；
（2）①连接GH ，延长HF 交AB 于N ，设AB 与EF 的交点为M ，证
()GAB GFH SAS △≌△，得GH GB =，GHF GBA ∠=∠，证GHB ∆为等腰直角三角形，即得结论；
②分两种情况，证出点B 、E 、G 在一条直线上，求出210AF EG AE ===，则5OA OG OE ===，由勾股定理求出12OB =，求出BG ，即可得出答案．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，
∴AD =AB =CB ，AG =AE ，∠DAB =∠GCE =90°，
∴∠DAB ﹣∠GAF =∠GCE ﹣∠GAF ，
即∠DAG =∠BAE ，
在△DAG 和△BAE 中，
AD AE DAG BAE AG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DAG ≌△BAE (SAS)，
∴DG =BE ；
（2）①连接GH ，延长HF 交AB 于N ，设AB 与EF 的交点为M ，如图2所示：
∵四边形BCHF 是平行四边形，
∴HF //BC ，HF =BC =AB ．
∵BC ⊥AB ，
∴HF ⊥AB ，
∴∠HFG =∠FMB ，
又AG //EF ，
∴∠GAB =∠FMB ，
∴∠HFG =∠GAB ，
在△GAB 和△GFH 中，
AG FG GAB HFG AB FH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△GAB ≌△GFH (SAS)，
∴GH =GB ，∠GHF =∠GBA ，
∴∠HGB =∠HNB =90°，
∴△GHB 为等腰直角三角形，
∴BH 2=
BG ， ∴2BH BG
=； ②分两种情况：
a 、如图3所示：
连接AF、EG交于点O，连接BE．
∵四边形BCHF为菱形，
∴CB=FB．
∵AB=CB，
∴AB=FB=13，
∴点B在AF的垂直平分线上．
∵四边形AEFG是正方形，
∴AF=EG，OA=OF=OG=OE，AF⊥EG，AE=FE=AG=FG，
∴点G、点E都在AF的垂直平分线上，
∴点B、E、G在一条直线上，
∴BG⊥AF．
∵AE=52，
∴AF=EG2
=AE=10，
∴OA=OG=OE=5，
∴OB2222
=-=-=12，
135
AB OA
∴BG=OB+OG=12+5=17，
由①得：BH2
=BG=172；
b、如图4所示：
连接AF、EG交于点O，连接BE，
同上得：点B、E、G在一条直线上，OB=12，BG=OG+OB﹣OG=12﹣5=7，
由①得：BH2
=2；
综上所述：BH的长为2或2．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
8．（1）①D、E，②A，理由见解析；（2）①作图见解析；②BE与AF可能相
等，AE 的长度分别为43，367
，2或18． 【分析】 （1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义即可判断．
（2）①以C 为圆心，CB 为半径画弧交AD 于F ，连接CF ，作∠BCF 的角平分线交AB 于E ，点E ，点F 即为所求．
②分四种情形：如图①中，当BE AF =时；如图②中，当BE AF =时；如图③中，当BE BC AF ==时，此时点F 与D 重合；如图④中，当BE CB AF ==时，点F 与点D 重合，分别求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义可知：
①点A 与点D 和E 关于BC 互为顶针点；
②点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，
理由：如图2中，
∵△BDC 是等边三角形，
∴∠D ＝60°，
∵AB ＝AC ，∠ABC ＝30°，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°，
∴∠BAC ＝120°，
∴∠A ＋∠D ＝180°，
∴点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，
故答案为：D 和E ，A ．
（2）①如图，点E 、F 即为所求(本质就是点B 关于CE 的对称点为F ，相当于折叠)．
②BE 与AF 可能相等，情况如下：
情况一：如图①，
由上一问易知，,BE EP BC PC ==，
当BE AF =时，设AE x =，连接EF ，
∵,,90BE EP AF EF EF EAF FPE ===∠=∠=︒，
∴()EAF FPE HL ∆∆≌，
∴AE PF x ==，
在Rt CDF ∆中，
()1082DF AD AF x x =-=--=+，
10CF PC PF x =-=-，
∴2228(2)(10)x x ++=-， 解得43x =
，即43
AE =； 情况二：如图②
当BE AF =时，设AE x =，同法可得PF AE x ==，
则8BE AF x ==-，FP FG GP EG AG AE x =+=+==，
则18DF x =-，10CF x =+，
在Rt CDF ∆中，则有2228(18)(10)x x +-=+，
解得：367
x =； 情况三：如图③，
当BE BC AF ==时，此时点D 与F 重合，可得1082AE BE AB =-=-=； 情况四：如图④，
当BE CB AF ==时,此时点D 与F 重合，可得18AE AB BE AB BC =+=+=． 综上所述，BE 与AF 可能相等，AE 的长度分别为43，367，2或18． 【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
9．（1）证明见解析；（2）①AF 2AE =②42或22.
【分析】 ()1如图①中，结论：AF 2AE =，只要证明AEF 是等腰直角三角形即可； ()2①如图②中，结论：AF 2AE =，连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明
EKF ≌EDA 再证明AEF 是等腰直角三角形即可；
②分两种情形a 、如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.b 、如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.分别求解即可.
【详解】
()1如图①中，结论：AF 2AE =．
理由：四边形ABFD 是平行四边形，
AB DF ∴=，
AB AC =，
AC DF ∴=，
DE EC =，
AE EF ∴=，
DEC AEF 90∠∠==，
AEF ∴是等腰直角三角形，
AF 2AE ∴=
．
故答案为AF 2AE =．
()2①如图②中，结论：AF 2AE =
．
理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．
四边形ABFD 是平行四边形，
AB//DF ∴，
DKE ABC 45∠∠∴==，
EKF 180DKE 135∠∠∴=-=，EK ED =，
ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=，
EKF ADE ∠∠∴=， DKC C ∠∠=，
DK DC ∴=，
DF AB AC ==，
KF AD ∴=，
在EKF 和EDA 中，
EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， EKF ∴≌EDA ，
EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=，
FEA BED 90∠∠∴==，
AEF ∴是等腰直角三角形，
AF 2AE ∴=．
②如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，设AE 交CD 于H ，易知EH DH CH 2===22AH (25)(2)32=-=，AE AH EH 42=+=，
如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，易知
AE AH EH 32222=-=-=，
综上所述，满足条件的AE 的长为4222
【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．
10．（1）见解析；（2）①2ABE BFC ∠=∠；②见解析；③
732
【分析】
（1）证明()BAE BCF ASA ∆≅∆可得结论．
（2）①结论：2ABE BFC ∠=∠．如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，利用三角形内角和定理结合已知条件即可解决问题．
②将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，利用全等三角形的性质解决问题即可． ③求出CF ，利用三角形的面积公式，矩形的面积公式即可解决问题．
【详解】
解：（1）证明：如图1中，
四边形ABCD 是矩形，
90ABC BCD BCF ∴∠=∠=∠=︒，
60EBC =︒∠，12
CBE ABF ∠=∠， 120ABF ∴∠=︒，
906030ABE ︒∴-︒∠==︒，1209030CBF ∠=︒-︒=︒，
ABE CBF ∴∠=∠，
AB BC =，
()BAE BCF ASA ∴∆≅∆，
BE BF ∴=．
（2）①结论：290EBC BFC ∠+∠=︒．
理由：如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，
90BCF ∠=︒，
90FBC y ∴∠=︒-，
=2ABE FBC ABF EBC x x x ∠+∠=∠-∠-=，
(90)ABE x y ∴∠=-︒-，
90ABE EBC ∠+∠=︒，
(90)90x y x ∴-︒-+=︒，
2180x y ∴+=︒，
2180EBC BFC ∴∠+∠=︒，
()290180ABE BFC ∴︒-∠+∠=︒，
2ABE BFC ∴∠=∠．
②证明：将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，
ABE EBH ∠=∠，12
EBC ABF ∠=∠， FBC CBT ∴∠=∠，
90FBC F CBT BTC ∠+∠=∠+∠=︒，
F BTC ∴∠=∠，
BF BT ∴=，CT CF =，
DE AE EH ==，ET ET =，90D EHT ∠=∠=︒，
Rt ETD Rt ETH(HL)∴∆≅∆，
DT TH ∴=，
在Rt BCT ∆中，则有222(2)(3)(2)k x k k x +=+-， 解得9
8
x k =， 2BF CF BT CT BH TH CT BH TD TC BH CD AB ∴+=+=++=++=+=．
③由②可知，3BC k =，97288
CF CR k k k ==-=， ∴2173728632
BCF
ABCD k k S S k ∆⋅⋅==矩形． 【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。