2024届山东实验中学高三5月高考模拟数学答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．0； 13．32，，答案不唯一；14．4．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．【解析】
（1）此次测试的平均成绩为：
0.2650.3750.4850.19579⨯+⨯+⨯+⨯=； ··································· 5分
（2）由题意可知，录取率为0.3，能进入第一梯队的概率为0.1； ··········· 7分
设录取分数为x ，因为分数落在[90100]，的概率为0.1， 分数落在[8090)，的概率为0.4，
所以[8090)x ∈，，令0.1(90)0.040.3x +-⨯=，解得85x =， ·········· 10分 所以录取分数大概为85分，进入第一梯队的分数大概为90分， 所以学生甲能被录取，但不能进入第一梯队． ····························· 13分
16．【解析】
若选择① （1）因为
2cos()
cos c a C b B
+π-=
， 由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C A B ++=, ·················· 2分 所以sin()2sin cos 0B C A B ++=，即sin (2cos 1)0A B +=，
从而1
cos 2B =-， ································································ 5分
因为()0B ∈π，，所以23
B π
=． ·············································· 7分
（2）在ABD △中，
sin sin AD c
B ADB
=
∠，
所以sin sin 2c B ADB AD ∠== ··············································· 10分 所以4ADB π∠=，所以12
BAD DAC π
∠=∠=，
所以6
ACB BAC π
∠=∠=
， ····················································· 13分 所以ABC △是等腰三角形，且a c =，
所以2cos 6
b a π
==．
······················································· 15分 若选择② （1）因为
sin sin sin sin A C b c
B C a
+-=
+， 由正弦定理得222
b a
c ac =++， ··············································· 2分
又由余弦定理222
2cos b a c ac B =+-，
从而1
cos 2B =-， ·································································· 5分
()0B ∈π，，所以23
B π
=
． ······················································ 7分 （2）同①中第二问． 若选择③
（1）因为2
2sin sin 2
B
a A ，所以()1cos sin a B A -，
由正弦定理得()sin 1cos sin A B B A -， ····························· 2分
cos 1B B +=，所以1sin 62B π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭ ··························· 5分
因为()0B ∈π，
，所以7666B πππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，，
所以566B ππ+
=，所以23
B π
=. ················································· 7分 （2）同①中第二问． 17．【解析】
（1）取线段1A B 的中点为H ，连接EH FH ，，
因为F 为线段1AC 的中点，所以FH BC ，且12
FH BC =
； ·
············ 2分 又E 是AD 的中点，所以ED BC ，且1
2
ED BC =
； 所以 ED FH ，且ED FH =，故四边形EDFH 为平行四边形；
所以DF
EH ， ·
······································································ 5分 因为DF ⊄平面1A BE ，EH ⊂平面1A BE ， 所以 直线DF 平面1A BE ；
························································ 7分
（2）因为E 是AD 的中点，
所以BE AD ⊥，所以1BE A E ⊥； 因为平面1A BE ⊥平面BCDE ， 平面1A BE
平面BCDE BE =，
所以1A E ⊥平面BCDE . ·
·························································· 8分 以E 为原点，1EB ED EA ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设2AB =，则(000)E ，，，1(001)A ，，
，00)B
，20)C ， 则1(001)EA =，，，1(01)BA =-，(020)BC =，，， ·················· 9分
设平面1A BC 的法向量为()x y z =，，n ，则100BA BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
，即020z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 取1x =
，则(10=n ， ····················································· 11分 设直线1A E 与平面1A BC 所成角为θ， 则1113
sin |cos |2||||
EA EA EA θ⋅=<>=
=，n n n ， ·································· 13分 所以直线1A E 与平面1A BC 所成角为
3
π. ······································· 15分 18．【解析】
（1）由题意可知，42p =，所以 2p =， ········································· 2分
所以 抛物线E 的方程为24y x =. ··············································· 4分 （2）（i ）设()()1122A x y B x y ，，，，将直线AB 的方程代入24y x =得：
22
2
(24)0k x km x m +-+=，所以2
12122242km m x x x x k k
-+=
=，， ········ 6分 因为直线PA 与PB 倾斜角互补， 所以212121212222
01111PA PB y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=
+=+=----， 即122121211
2(2)(
)2(2)011(1)(1)
x x k k m k k m x x x x +-++-+=++-=----， 所以2
4222(2)
0(2)(2)
km k k k m k m k m --++-=+-++， 即2
422202
km k k k m --+=++，所以1k =-； ·
···································· 10分 （ii ）由（i ）可知22(24)0x m x m -++=，所以212124
2x x m x x m +=+
=，， 则AB =
因为22(24)40m m ∆=
+->，所以1m >-，即13m -<<，
又点P 到直线AB
， 所以12S ==， ·
······················· 13分 因为21
(3)(1)(3)(3)(22)2
m m m m m -+=--+，
31332232()2327
m m m -+-+-=
，
所以869
S
，当且仅当
322m m -
=+，即13m =时，等号成立，
所以PAB △面积最大值为 ·············································· 17分 19.(1)解：因为1(2,)2
X B ~， 所以X 的分布列为：
(3分)
所以2
221111113
()(log log log ).4422442
H X =-++=(4分) (2)（i ）解：记发出信号0和1分别为事件A i ,收到信号0和1分别为事件B i ,i =0,1, 则011(),()1P A p P A p ==-，(5分)
00111001(|)(|),(|)(|)1P B A P B A q P B A P B A q ====-，(6分)
所以0000101()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+
(1)(1)12.pq p q p q pq =+--=--+(7分)
所以000000()(|)(|).()12P A P B A pq
P A B P B p q pq
=
=--+(9分)
(ii)证明：由(i)知，0()12P B p q pq =--+， 所以10()1()2P B P B p q pq =-=+-，(10分) 所以22
1(||)log (1)log 122p p
KL X Y p p p q pq p q pq
-=+---++-，(11分) 设1()1ln f x x x =-
-，则21()x
f x x
-='， 当x ∈(0,1)时，()0f x '>,()f x 单调递增; 当(1,)x ∞∈+时,()0f x '<,()f x 单调递减.
所以()(1)0f x f ≤=，即1ln 1x x
≥-， 所以2ln 11
log (1)ln 2ln 2x x x
=
≥-.(13分) 所以11212(||)(1)(1)(1)0ln 2ln 21p q pq p q pq
KL X Y p p p p
--++-≥⋅-+-⋅-=-，(15分) 当且仅当
11122p p p q pq p q pq -==--++-，即1,012
p q =<<时等号成立.
即KL (X ||Y )≥0得证.(17分) 【评分细则】
1.第一问没有交待X 的分布列，直接得到H (X )的值，得1分;若交待
11(0),(1),(2)42P X P X P X ======1
4
没有列表，不扣分;
2.第二问(i)直接得到0()12P B p q pq =--+没有交待过程，扣1分，第二问(ii)
没有交待等号成立条件，扣1分。