高三数学一轮 第三章 导数及其应用 3.3 导数的综合应用

高三数学一轮课件
第三章 导数及其应用
3.3 导数的综合应用
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考点1
考点2
考点3
考点 1 求与函数极值有关的参数取值范围
例1(2018北京,理18)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex. (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a; (2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围. 思考如何求与函数极值有关的参数取值范围?
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故函数 y 在 x=1 处取得极小值,也是最小值 1,即有 x-ln x>0,
即 ln x<x,即有 a≤������������2-l-n2������������. 设 φ(x)=������������2-l-n2������������, 则 φ'(x)=(������-1()���(������-���l+n2������-)22ln������). 设 h(x)=x+2-2ln x,则 h'(x)=1-2������, 可得 h(x)在(1,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,
当 0<x<23时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当 x<0 或 x>23时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
可得 f(x)的极小值为 f(0)=0,极大值为 f
2 3
= 247.
(2)∵f(x)+g(x)≥-x3+(a+2)x,
∴a(ln x-x)≥2x-x2.
由 y=x-ln x 的导数 y'=1-���1���,可得函数 y 在(1,+∞)内单调递增, 在(0,1)内单调递减.
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考点 2 求恒成立问题中的参数取值范围
例2已知函数f(x)=-x3+x2,g(x)=aln x(a≠0,a∈R).
(1)求f(x)的极值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),使得f(x)+g(x)≥-x3+(a+2)x恒成立,求实数
a的取值范围;
(3)证明:对
n∈N+,不等式ln
x2
f'(x) -
0
(x2,+∞) +
f(x) ↘
极小值
↗
1+ 1-2������
由此看出:当 m≤0 时,f(x)有唯一极小值点 x2= 2 .
②当 0<m<12时,0<x1<x2<1.
当 x 变化时,f'(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:
x (0,x1) x1 f'(x) + 0
(x1,x2) x2
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(2)由(1)得f‘(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex.
若 a>12,则当 x∈
1 ������
,2
时,f'(x)<0;
当 x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.
所以 f(x)在 x=2 处取得极小值.
若 a≤12,则当 x∈(0,2)时 x-2<0,ax-1≤12x-1<0,所以 f'(x)>0. 所以 2 不是 f(x)的极小值点.
1 (������ +1)
+
ln
1 +…+
(������+2)
ln
1 (������ +2
019)
>
2 019 成立.
������(������+2 019)
思考利用导数解决不等式恒成立问题的基本思路是什么?
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解:(1)∵f(x)=-x3+x2,
∴f'(x)=-3x2+2x.
1-2������ 2
,x2=1+
1-2������ 2
.
①当 m≤0 时,x1=1-
1-2������ 2
≤0,此时
x1∉(0,+∞).
x2=1+
1-2������ 2
≥1,
即 x2∈(0,+∞).
当 x 变化时,f'(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:
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x
(0,x2)
且 f'(x)在(0,+∞)上的任意子区间内都不恒等于零.
故函数 f(x)在定义域(0,+∞)上是增函数.
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(2)解
由(1)知,当
m≥12时,f'(x)=2
������
-12
2
������
+������
-12≥0.
函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,没有极值点.
当 m<12时,令 f'(x)=0 得 x1=1-
即有 h(x)的最小值为 h(2)=4-2ln 2>0,即 φ'(x)≥0,
即有 φ(x)在[1,+∞) 内是增函数,φ(x)min=φ(1)=-1,可得 a≤-1.
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(3)证明 由(2)知,当 a≤-1 时,aln x-(a+2)x+x2≥0 对 x≥1 恒成立,
令 a=-1,则 ln x≤x2-x(当且仅当 x=1 时等号成立),
解:(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex, 所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]ex+[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex =[ax2-(2a+1)x+2]ex.(x∈R)
f'(1)=(1-a)e. 由题设知f'(1)=0,即(1-a)e=0, 解得a=1. 此时f(1)=3e≠0,所以a的值为1.
-
0
(x2,+∞) +
f(x) ↗ 极大值 ↘
极小值 ↗
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由此看出:当
0<m<12时,f(x)有极大值点Fra bibliotek1-x1=
1-2������
和极小值
2
1+ 1-2������
点 x2= 2 .
综上,当m≤0时,函数f(x)有唯一极值点,即f(x)有唯一极值点,故实 数m的取值范围为(-∞,0].
(2)若函数f(x)有唯一极值点,求实数m的取值范围.
(1)证明:函数 f(x)的定义域为(0,+∞).
f'(x)=2x-2+������������
=
2������ 2-2������+������ ������
=
2
������-12
2
������
+������
-12.
当 m≥12时,对 x∈(0,+∞),f'(x)≥0,
当
x>1
时,可得ln1������
>
1 ������(������-1)
综上可知,a 的取值范围是
1 2
,
+
∞
.
解题心得依据题意,对参数分类,分类后相当于增加了一个已知
条件,在增加了条件的情况下,对参数的各个范围逐个验证是否符
合题意,符合题意的取值范围即为所求的取值范围.
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考点3
对点训练1设函数f(x)=x2-2x+mln x+1,其中m为常数.
(1)若 m≥12,证明:函数 f(x)在定义域上是增函数;