江苏省扬州市高一数学上学期期中考试试题苏教版

江苏省邗江中学2012-2013学年度第一学期期中试卷
高一年级数学学科试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 若{}
21,,x x ∈则x = ▲ ；
2. 指数函数()f x 的图象经过)4,2(，则=)3(f _____▲____；
3.
函数lg(4)y x =
-的定义域为 ▲ ；
4.计算12
2100log 8-=____▲____；
5．函数2)1(log )(++=x x f a ，0(>a 且)1≠a 必过定点 ▲ ； 6. 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标 分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ▲ ；
7．若函数)(x f 是R 上的奇函数，则=+++-+-)2012()2011()0()2011()2012(f f f f f ▲ .
8. 已知函数()f x 在定义域[0,)+∞单调递增，则满足)1(-x f ＜1
()3
f 的x 取值范围是 ▲_ .
9．函数32)(2
--=ax x x f 在区间(–∞，2)上为减函数，则a 的取值范围为 ▲ . 10. 已知函数20,()3, 0
x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，.若3
()()02f m f +=,则实数m 的值等于_ ▲_ _.
11．函数()1-+=x x x f 的最小值是 ▲ .
12．关于下列命题：
①若函数x y 2=的定义域是｛}0|≤x x ，则它的值域是}1|{≤y y ； ② 若函数x
y 1
=
的定义域是}2|{>x x ，则它的值域是}21|{≤y y ；
③若函数2
x y =的值域是}40|{≤≤y y ，则它的定义域一定是}22|{≤≤-x x ； ④若函数x y 2log =的值域是}3|{≤y y ，则它的定义域是}80|{≤<x x ．
其中错误．．的命题的序号是 ▲ ( 注：把你认为错误．．的命题的序号都填上)． 13.若a x x f +-=
2)1(2
1
)(的定义域和值域都是[1，b ]，则=+b a ▲ ； 第6题图
14. 函数()
()
2
(1)
1()(3)41x x f x a x a
x ⎧--<⎪=⎨
-+≥⎪⎩满足对任意12x x ≠都有
1212
()()
0f x f x x x ->-成
立，则a 的取值范围是 ▲ .
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字步骤．） 15. (本题满分14分)
设全集U =R ，集合{}{}{}13,04,A x x B x x C x x a =-≤≤=<<=<。

（1）求,A B A B I U ；
（2）若B C ⊆，求实数a 的取值范围。

16．（本题满分14分）
（1）已知)(x f 是一次函数，且3)2(3)1(2=+f f ，1)0()1(2-=--f f ，求)(x f 的解析式；
（2）已知)(x f 是二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2
-=-++，求)(x f 的解析式．
17. （本题满分15分）
已知奇函数函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞Y ，当0>x 时，x
x f 11)(-= （1）求)2(-f 的值；
（2）当0<x 时，求)(x f 的解析式；
（3）求证：函数)(x f 在区间(0,)+∞上是单调增函数.
18. （本题满分15分）
汽车和自行车分别从A 地和C 地同时开出，如下图，各沿箭头方向（两方向垂直）匀速前进，汽车和自行车的速度分别是10米/秒和5米/秒，已知AC=100米。

（汽车开到C 地即停止） （1）经过t 秒后，汽车到达B 处，自行车到达D 处，设B 、D 间距离为y ，写出y 关于t 的函数关系式，并求出定义域。

（2）经过多少时间后，汽车和自行车之间的距离最短？最短距离是多少？
19. （本题满分16分）
已知函数x
x x
x a
a a a x f --+-=)(（其中0>a 且1≠a ）. （1）求函数)(x f 的值域； （2）判断奇偶性并证明之； （3）判断单调性并证明之.
C D
20. （本题满分16分）
定义：若函数)(x f y =在某一区间D 上任取两个实数1x 、2x ，且21x x ≠，都有
)2
(2)()(2
121x x f x f x f +>+，则称函数)(x f y =在区间D 上具有性质L 。

（1）写出一个．．在其定义域上具有性质L 的对数函数．．．．（不要求证明）。

（2）对于函数x
x x f 1
)(+=，判断其在区间),0(+∞上是否具有性质L ？并用所给定义证明你的结论。

（3）若函数21
)(ax x
x f -=在区间（0，1）上具有性质L ，求实数a 的取值范围。

邗江中学2012-2013学年度高一年级第一学期期中考试
数学试卷答题卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． ；2． ；3． ；4． ； 5． ；6． ；7． ；8． ； 9． ；10． ；11． ；12． ； 13． ；14． .
二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤
15．（本题满分14分）
16．（本题满分14分）
18．（本题满分16分）
19．（本题满分16分）
20．（本题满分16分）
2012-2013学年度高一年级第一学期期中考试
数学参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1.－1；
2. 8；
3. {}|24,x x -≤<；
4. 7 ； 5．（0,2）； 6.2； 7． 0 ； 8．)3
4
,1(；9. [2,)+∞；10. 6-；11． 1；；12． ①②③；13. 4；14. [1,3)- 二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字步骤．）
15. (本题满分14分)
设全集U =R ，集合{}{}{}13,04,A x x B x x C x x a =-≤≤=<<=<。

（1）求,A B A B I U ；
（2）若B C ⊆，求实数a 的取值范围。

【解】:⑴A ∩B=}{30≤〈x x ,A ∪B=}{
4
1<≤-x x (8)
⑵a ≥4…………………………………………………14 16．（本题满分14分）
（1）已知)(x f 是一次函数，且3)2(3)1(2=+f f ，1)0()1(2-=--f f ，求)(x f 的解析式；
（2）已知)(x f 是二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2
-=-++，求)(x f 的解析式． 【解】:（1） 9
1
94)(-=
x x f ……………………………6分 （2） 12)(2
--=x x x f …………………………14分 17. （本题满分15分）
已知奇函数函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞Y ，当0>x 时，x
x f 1
1)(-= （1）求)2(-f 的值；
（2）当0<x 时，求)(x f 的解析式；
（3）求证：函数)(x f 在区间(0,)+∞上是单调增函数. 【解】:（1）∵函数)(x f 为奇函数 ∴2
1
)2()2(-=-=-f f ……………………4分 （2）设0<x ，则－0>x ∴x
x x f 1
111)(+=--
=- ………………6分 ∵函数)(x f 为奇函数
∴当0<x 时,x
x f x f 1
1)()(-
-=--= ………………9分
18. （本题满分15分）
汽车和自行车分别从A 地和C 地同时开出，如下图，各沿箭头方向（两方向垂直）匀速前进，汽车和自行车的速度分别是10米/秒和5米/秒，已知AC=100米。

（汽车开到C 地即停止） （1）经过t 秒后，汽车到达B 处，自行车到达D 处，设B 、D 间距离为y ，写出y 关于t 的函数关系式，并求出定义域。

（2
【解】:（1）经过t 小时后，汽车到达B 处、自行车到达D 处，则
22222(10010)(5)BD BC CD t t =+=-+
22125(1680)125[(8)16]t t t =-+=-+……………4分
所以22
125(1680)125[(8)16]y BD t t t ==-+=-+……………6分
定义域为：[0,10]t ∈……………8分 （2）2
125[(8)16]y t =-+Q [0,10]t ∈
∴当8t =时，min
12516205y
⨯=14分
答：经过8秒后，汽车和自行车之间的距离最短。

最短距离是5……15分
19. （本题满分16分）
已知函数x
x x
x a
a a a x f --+-=)(（其中0>a 且1≠a ）. （1）求函数)(x f 的值域； （2）判断奇偶性并证明之； （3）判断单调性并证明之.
A
B C
【解】: （1）值域：)1,1(- ………………4分
（2）奇函数
∵)()(x f a a a a x f x x x
x -=+-=--- ∴)(x f 为奇函数 …………9分 （3）设且，则
1
1)(22+-=+-=--x x x x x x a a a a a a x f )
1)(1()(21111)()(212122112222222221++-=+--+-=-x x x x x x x x a a a a a a a a x f x f …………12分 ①
当1>a 时；x a y =在R 上为增函数， ∵
，∴02122<-x x a a ，∴0)()(21<-x f x f 即 ∴在是单调增函数 …………14分
②当10<<a 时；x a y =在R 上为减函数，
∵
，∴02122>-x x a a ，∴0)()(21>-x f x f 即)()(21x f x f >、 ∴
在是单调减函数 …………16分
20. （本题满分16分）定义：若函数)(x f y =在某一区间D 上任取两个实数1x 、2x ，且21x x ≠，都有)2
(2)()(2121x x f x f x f +>+，则称函数)(x f y =在区间D 上具有性质L 。

（1）写出一个．．在其定义域上具有性质L 的对数函数．．．．
（不要求证明）。

（2）对于函数x
x x f 1)(+
=，判断其在区间),0(+∞上是否具有性质L ？并用所给定义证明你的结论。

（3）若函数21)(ax x
x f -=在区间（0，1）上具有性质L ，求实数a 的取值范围。

解：（1）12
log y x =（或其它底在（0，1）上的对数函数）。

…………4分
（2）函数x
x x f 1)(+=在区间),0(+∞上具有性质L 。

…………5分 证明：任取1x 、2(0,)x ∈+∞，且21x x ≠ 则1212()()()22
f x f x x x f ++-=121212121112()()22x x x x x x x x ++++-++ 2212121212121212121212()4()1222()2()
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++--=-==+++g g g g g Q 1x 、2(0,)x ∈+∞且21x x ≠，
∴212()0x x ->，12122()0x x x x +>g 即1212()()()22f x f x x x f ++->0，∴)2
(2)()(2121x x f x f x f +>+ 所以函数x
x x f 1)(+=在区间),0(+∞上具有性质L 。

……………10分 （3）任取1x 、2(0,1)x ∈，且21x x ≠ 则1212()()()22f x f x x x f ++-=222121212121112()(())22
x x ax ax a x x x x +-+---+ 22
12121212()()2()4
x x x x a x x x x --=-=+g g 21212121212[2()]()4()a x x x x x x x x x x -+-+g g g g Q 1x 、2(0,1)x ∈且21x x ≠，∴212()0x x ->，12124()0x x x x +>g 要使上式大于零，必须12122()0a x x x x -+>g g 在1x 、2(0,1)x ∈上恒成立， 即12122()a x x x x <+g ，∴1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞……………16分。