3.2.1《复数代数形式的加减法运算及其几何意义》课件
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在讲述复数代数形式的加减法运算及其几何意义的应用时， 采用例题与变式结合的方法。例题和练习的设计遵循由浅入深,循 序渐进的原则,低起点,多落点,高终点,尽可能地照顾到各个层次 的学生．采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解复数代数形 式的加减法运算及其几何意义的应用。
1.复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
解：
(1).(2 3i) (5 i) (2 5) (3 1)i 3 2i
(2).(1 2i) (1 2i) (11) ( 2 2)i 0 (3).(2 3i) (5 2i) (2 5) (3 2)i 3 5i (4).(5 6i) (2 i) (3 4i) (5 2 3) (6 1 4)i
法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
复数的减法法则
类比复数的加法法则,你能试着推导复数减 法法则吗?
1.复数的减法法则 我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足
(c di) (x yi) a bi
的复数x yi叫做复数a bi减去c di的差，
记作(a bi) (c di).根据复数相等的定义有
,
uuur BA
对应的复数,并指出
AB= 9 i第三u象uur限
其对应的复数位于第几象限.BA=9 i，第一象限
3 .复平面上三点 A, B,C 分别对应复数 1, 2i,5 2i ,则 由 A, B,C 所构成的三角形△ ABC 是 直角 三角形.
4 .求复数 2 i , 3 i 所对应的两点之间的距离． 5
(4)复平面内的两点间距离公式: d z1.—z2 两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的 两个点之间的距离．
例1.计算
(1) (2 3i) (5 i) (3) (2 3i) (5 2i)
(2) (1 2i) (1 2i) (4) (5 6i) (2 i) (3 4i)
(4)复平面内的两点间距离公式: d z1—z2 .
必做题:
1.计算： (1)(2 4i) (3 4i) ; (1)5
(2)(3 4i) (2 i) (1 5i) .2 2i
2
.复数
6+5i
与
3+4i
对应的向量分别是
uuur OA
与
uuur OB
,
其中
O
是原点u,u求ur 向量
uuur AB
1 6i
选做题:
1.在复平面内,求满足方程 z+i z i 4的复数 z 所对 应的点的轨迹．
2 .复数 z1, z2 满足 z1 z2 1, z1 +z2 2 ,求 z1 z2 .
选做题答案
1.提示:方程可以变形为 z ( i) z i 4 |,表示到两 个定点 (0, 1) 和 (0,1) 距离之和等于 4 的点的轨迹,故满足 方程的动点轨迹是椭圆． 2 .提示:法一:数形结合思想,构造边长为1的正方形,则其中一条
数，那么 z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d)i 提出问题： (2(运(定)实31当)算)吗质它两b方=是?的个0,实法实d复部?质数0与时是的实,什和与部么是相实?加个数类,什加虚似么法部于数与法实虚,则它数部一的的相致值哪一加吗唯致种,类?一确
似于仍实然数是运个算复中数的,合且并是同一类个项确．定的复数;
2.复数的加法运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加 法满足这些运算律吗?
对任意的z1, z2 , z3 C，有
z1 z2 z2 z（1 交换律） (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3（) 结合律）
3.复数加法运算的几何意义?
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
符合向量加法 的平行四边形
(a bi) (c di) (a c) (b d)i
这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是 一个确定的复数.
2.复数减法运算的几何意义?
复数z2－z1
符合向量
y
减法的三
角形法则.
Z2(c,d)
向量Z1Z2
Z1(a,b)
x o
|z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
即(b2 6b 9) (a b)i 0，
由复数相等的定义得
b2
6b
9
0
a b 0
解得a b 3.
(2)设z x yi(x, y R) 由 z a bi 2 z 0，得 (x 3) ( y 3)i 2 z 即(x 3)2 ( y 3)2 4(x y)2， 整理得(x 1)2 ( y 1)2 8 即复数z在复平面内所对应的点Z (x, y) 的轨迹是以C( 1,1)为圆心，半径长为2 2的圆.
对应的复数为纯虚数,求a的值. a 1
例3已知关于 x的方程：x2 (6 i)x 9 ai 0(a R)
有实数根 b.
（1）求实数 a, b 的值;
（2）若复数 z满足 z a bi 2 z 0,
求 z 的最小值．
解 (1)由题意，得b2 (6 i)b 9 ai 0，
又 z 的几何意义是Z(x, y)与原点O(0,0)的距离.
如图,由平面几何知识知,
z CA CO 2 2 2 2 min
复数z的模为1，求 z 1i 的最大值和最小值
2+1, 2 1
(一)知识: 1、复数代数形式的加法、减法的运算法则; 2、复数加法、减法的几何意义.
3、几点说明: (1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数 运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚 部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、 虚部与虚部分别相加减．
3.2.1 复数代数形式的加 减法运算及其几何意义
内容：
掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义. 重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义； 难点：加、减运算的几何意义；
应用: 1、复数代数形式的加、减运算 2、复数几何意义的运用 3、复数的综合应用
本课主要学习复数代数形式的加减法运算及其几何意义。以复 习复数的代数形式和几何意义引入新课，接着讲述复数的加法法 则、复数的加法运算率及复数的几何意义，复数的减法法则及复 数减法的几何意义。本节中由于复数的加法法则是规定的,从问题 入手,引导学生思考,让学生理解这种规定的合理性．在复数加法 的运算律及几何意义的处理上,都是让学生自主探究,使学生在参 与中学会学习,学会合作,突出体现以学生为主,教师为辅的新课程 理念．对于复数减法的处理,采用了类比的数学思想方法,让学生 自主探究,自己总结,且法则可以用已学的知识推导,使学生体会其 中的思想方法,培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题 的能力．然后，通过三个例题和变式训练巩固复数代数形式的加 减法运算及其几何意义的应用。
5 .已知复数 z 满足 z+ z 2 8i ,求复数 z . z 15 8i
6 .已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O, A,C 对应的复数
分别为 uuur
0,
3
2i,
2
4i
,试求:
uuur
(1) AO 表示的复数; (2) CA 表示的复数; (3) B 点对
应的复数. 3 2i
5 2i
1.复数的加减法法则:
设z1 a bi，z2 c di(a,b, c, d R)是任意 两个复数，规定z1 z2 (a c) (b d)i
2.复数加、减法的几何意义： (1)复数的加法按照向量加法的平行四边形法则; (2)复数的减法按照向量减法的三角形法则.
3.几点说明: (1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数 运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚 部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、 虚部与虚部分别相加减．
对角线的长度为 2 ,则所求的另一条对角线的长度也等于 2 .
法 二 :( 向 量 法 ) 设
z1, z2
所对应的向量分别是
r a
,
r b
,将
z1 +z2
2
两边平方得
rr agb 0
,则
(z1
z2 )2
2
,所以
z1 z2 2 .
z=a+bi
一一对应
b
Z(a,b)
o
ax
小结
对复应数平的面绝向对量值Ouu(Zu复r 的数模的|Ou模uZur)
的几何意义(二) |，即复数
z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的
距离.
y z=a+bi Z (a,b)
O
x
uuur | z | = |OZ | a2 b2
小结
复数的加法法则 我们规定，复数的加法法则如下 设 z1 a bi,z2 c di(a,b,c, d R) 是任意两个复
z a bi
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位.
讨 论？
2.复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0
R C
复数非纯虚数 a
0，b 0 0，b
0
3.复数的几何意义(一)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur 平面向量 OZ
y
11i
计算(1 2i) (2 3i) (3 4i) (4 5)i L (1999 2000i) (2000 2001i)
1000 1000i
例2. （计（计算2算1））zz设设11+zOuO2uuuzZuZuur2u1,r1,并,OOuu,uuZZu并u在uur2r2 分在复分别复平别与平面与复面内复数内作数作z出1z1出Ouu5Zu1ur1OuuZu3Ouur31uiZui,u,r2zOuzu2Z2uur2124ii对对应应,,
解: (1)z1 z2 =(5+3i) (1 4i) (5 1) (3 4)i 4 i
(2) y
z1
+z2
(1
3i)
(2
i)
(1 y
2)
(3 1)i
3
4i
Z2
Z Z1
Z1
Z2
O
x
O
x
已知复数 z1 a 分别对应向量
O2uuZuur13,OuuZuu(r2（a O5)为i,z坐2 标a 原1点(a）2 ,若2a向1量)i(aZuu1uZuRr2,)
1.复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
解：
(1).(2 3i) (5 i) (2 5) (3 1)i 3 2i
(2).(1 2i) (1 2i) (11) ( 2 2)i 0 (3).(2 3i) (5 2i) (2 5) (3 2)i 3 5i (4).(5 6i) (2 i) (3 4i) (5 2 3) (6 1 4)i
法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
复数的减法法则
类比复数的加法法则,你能试着推导复数减 法法则吗?
1.复数的减法法则 我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足
(c di) (x yi) a bi
的复数x yi叫做复数a bi减去c di的差，
记作(a bi) (c di).根据复数相等的定义有
,
uuur BA
对应的复数,并指出
AB= 9 i第三u象uur限
其对应的复数位于第几象限.BA=9 i，第一象限
3 .复平面上三点 A, B,C 分别对应复数 1, 2i,5 2i ,则 由 A, B,C 所构成的三角形△ ABC 是 直角 三角形.
4 .求复数 2 i , 3 i 所对应的两点之间的距离． 5
(4)复平面内的两点间距离公式: d z1.—z2 两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的 两个点之间的距离．
例1.计算
(1) (2 3i) (5 i) (3) (2 3i) (5 2i)
(2) (1 2i) (1 2i) (4) (5 6i) (2 i) (3 4i)
(4)复平面内的两点间距离公式: d z1—z2 .
必做题:
1.计算： (1)(2 4i) (3 4i) ; (1)5
(2)(3 4i) (2 i) (1 5i) .2 2i
2
.复数
6+5i
与
3+4i
对应的向量分别是
uuur OA
与
uuur OB
,
其中
O
是原点u,u求ur 向量
uuur AB
1 6i
选做题:
1.在复平面内,求满足方程 z+i z i 4的复数 z 所对 应的点的轨迹．
2 .复数 z1, z2 满足 z1 z2 1, z1 +z2 2 ,求 z1 z2 .
选做题答案
1.提示:方程可以变形为 z ( i) z i 4 |,表示到两 个定点 (0, 1) 和 (0,1) 距离之和等于 4 的点的轨迹,故满足 方程的动点轨迹是椭圆． 2 .提示:法一:数形结合思想,构造边长为1的正方形,则其中一条
数，那么 z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d)i 提出问题： (2(运(定)实31当)算)吗质它两b方=是?的个0,实法实d复部?质数0与时是的实,什和与部么是相实?加个数类,什加虚似么法部于数与法实虚,则它数部一的的相致值哪一加吗唯致种,类?一确
似于仍实然数是运个算复中数的,合且并是同一类个项确．定的复数;
2.复数的加法运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加 法满足这些运算律吗?
对任意的z1, z2 , z3 C，有
z1 z2 z2 z（1 交换律） (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3（) 结合律）
3.复数加法运算的几何意义?
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
符合向量加法 的平行四边形
(a bi) (c di) (a c) (b d)i
这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是 一个确定的复数.
2.复数减法运算的几何意义?
复数z2－z1
符合向量
y
减法的三
角形法则.
Z2(c,d)
向量Z1Z2
Z1(a,b)
x o
|z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
即(b2 6b 9) (a b)i 0，
由复数相等的定义得
b2
6b
9
0
a b 0
解得a b 3.
(2)设z x yi(x, y R) 由 z a bi 2 z 0，得 (x 3) ( y 3)i 2 z 即(x 3)2 ( y 3)2 4(x y)2， 整理得(x 1)2 ( y 1)2 8 即复数z在复平面内所对应的点Z (x, y) 的轨迹是以C( 1,1)为圆心，半径长为2 2的圆.
对应的复数为纯虚数,求a的值. a 1
例3已知关于 x的方程：x2 (6 i)x 9 ai 0(a R)
有实数根 b.
（1）求实数 a, b 的值;
（2）若复数 z满足 z a bi 2 z 0,
求 z 的最小值．
解 (1)由题意，得b2 (6 i)b 9 ai 0，
又 z 的几何意义是Z(x, y)与原点O(0,0)的距离.
如图,由平面几何知识知,
z CA CO 2 2 2 2 min
复数z的模为1，求 z 1i 的最大值和最小值
2+1, 2 1
(一)知识: 1、复数代数形式的加法、减法的运算法则; 2、复数加法、减法的几何意义.
3、几点说明: (1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数 运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚 部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、 虚部与虚部分别相加减．
3.2.1 复数代数形式的加 减法运算及其几何意义
内容：
掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义. 重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义； 难点：加、减运算的几何意义；
应用: 1、复数代数形式的加、减运算 2、复数几何意义的运用 3、复数的综合应用
本课主要学习复数代数形式的加减法运算及其几何意义。以复 习复数的代数形式和几何意义引入新课，接着讲述复数的加法法 则、复数的加法运算率及复数的几何意义，复数的减法法则及复 数减法的几何意义。本节中由于复数的加法法则是规定的,从问题 入手,引导学生思考,让学生理解这种规定的合理性．在复数加法 的运算律及几何意义的处理上,都是让学生自主探究,使学生在参 与中学会学习,学会合作,突出体现以学生为主,教师为辅的新课程 理念．对于复数减法的处理,采用了类比的数学思想方法,让学生 自主探究,自己总结,且法则可以用已学的知识推导,使学生体会其 中的思想方法,培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题 的能力．然后，通过三个例题和变式训练巩固复数代数形式的加 减法运算及其几何意义的应用。
5 .已知复数 z 满足 z+ z 2 8i ,求复数 z . z 15 8i
6 .已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O, A,C 对应的复数
分别为 uuur
0,
3
2i,
2
4i
,试求:
uuur
(1) AO 表示的复数; (2) CA 表示的复数; (3) B 点对
应的复数. 3 2i
5 2i
1.复数的加减法法则:
设z1 a bi，z2 c di(a,b, c, d R)是任意 两个复数，规定z1 z2 (a c) (b d)i
2.复数加、减法的几何意义： (1)复数的加法按照向量加法的平行四边形法则; (2)复数的减法按照向量减法的三角形法则.
3.几点说明: (1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数 运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚 部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、 虚部与虚部分别相加减．
对角线的长度为 2 ,则所求的另一条对角线的长度也等于 2 .
法 二 :( 向 量 法 ) 设
z1, z2
所对应的向量分别是
r a
,
r b
,将
z1 +z2
2
两边平方得
rr agb 0
,则
(z1
z2 )2
2
,所以
z1 z2 2 .
z=a+bi
一一对应
b
Z(a,b)
o
ax
小结
对复应数平的面绝向对量值Ouu(Zu复r 的数模的|Ou模uZur)
的几何意义(二) |，即复数
z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的
距离.
y z=a+bi Z (a,b)
O
x
uuur | z | = |OZ | a2 b2
小结
复数的加法法则 我们规定，复数的加法法则如下 设 z1 a bi,z2 c di(a,b,c, d R) 是任意两个复
z a bi
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位.
讨 论？
2.复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0
R C
复数非纯虚数 a
0，b 0 0，b
0
3.复数的几何意义(一)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur 平面向量 OZ
y
11i
计算(1 2i) (2 3i) (3 4i) (4 5)i L (1999 2000i) (2000 2001i)
1000 1000i
例2. （计（计算2算1））zz设设11+zOuO2uuuzZuZuur2u1,r1,并,OOuu,uuZZu并u在uur2r2 分在复分别复平别与平面与复面内复数内作数作z出1z1出Ouu5Zu1ur1OuuZu3Ouur31uiZui,u,r2zOuzu2Z2uur2124ii对对应应,,
解: (1)z1 z2 =(5+3i) (1 4i) (5 1) (3 4)i 4 i
(2) y
z1
+z2
(1
3i)
(2
i)
(1 y
2)
(3 1)i
3
4i
Z2
Z Z1
Z1
Z2
O
x
O
x
已知复数 z1 a 分别对应向量
O2uuZuur13,OuuZuu(r2（a O5)为i,z坐2 标a 原1点(a）2 ,若2a向1量)i(aZuu1uZuRr2,)