鲁教版八年级数学下册第六章综合素质评价 附答案

鲁教版八年级数学下册第六章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共36分)
1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是()
A．四条边相等，四个角相等B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．对角线互相平分
2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于() A．20 B．15 C．10 D．5
3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的()
A．1
5B．
1
4C．
1
3D．
3
10
4．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.如果再添加一个条件可推出四边形ABCD是正方形，那么这个条件可以是()
A．AB＝CD B．BC＝CD
C．∠D＝90°D．AC＝BD
5．在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA＝OB＝OC＝OD，则这个四边形()
A．可能不是平行四边形B．一定是菱形
C．一定是正方形D．一定是矩形
6．顺次连接四边形ABCD各边的中点后所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是()
A．菱形B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形D．对角线相等的四边形
7．如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为()
A．15°或30°B．30°或45°
C．45°或60°D．30°或60°
8．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任意一点(点P 不与点A，C重合)，且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是()
A．10 B．7.5 C．5 D．2.5
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC, BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为()
A．3 B．8 C． 6 D．27
10．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点P是AB边上的一个动点，点E，F分别是DP，BP的中点，则线段EF的长为()
A．2 B．4 C．8 D．12
11．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF ⊥BC，垂足为F，则DF的长为()
A．23＋2 B．5－
3
3C．3－ 3 D．3＋1
12．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC, PF⊥CD, E, F分别为垂足，连接AP，EF，下列命题：
①若AP＝5，则EF＝5；
②若AP⊥BD，则EF∥BD；
③若正方形边长为4，则EF的最小值为2.
其中正确的命题是()
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题(每题3分，共18分)
13．如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OEB＝________．
14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是________(写出一个即可)．15．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝5，则对角线BD的长为________．(结果保留根号)
16．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE＝4，则线段BE的长为________．
17．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x2＋(y－4)2的值为________．
18．如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上
一点，连接CE，EF，AF.若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为________．三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分) 19．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC 的延长线于点F.求证：DE＝DF.
20．如图，在▱ABCD中，G为BC边上一点，DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F.求证：四边形AEDF是菱形．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，DE∥AC，CE ∥AD，连接BE，CD.求证：四边形CDBE是正方形．
22．如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG.
(1)求证：△BCE≌△FDE.
(2)当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
23．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.
(1)求证：△ABE≌△FMN；
(2)若AB＝8，AE＝6，求ON的长．
24．如图，在▱ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若△BCM是直角三角形，求AD与AB之间的数量关系．
25．在菱形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上．连接AE，AF, 分别交BD 于G，H两点，CE＝CF.
(1)如图①，求证：AE＝AF；
(2)如图②，当∠ADB＝∠EAF＝45°时，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请
直接写出图②中的四个等腰三角形(每个等腰三角形都是锐角三角形，△AGH 除外)．
答案
一、1．D2．B3．B4．B5．D6．D 7．D8．D9．D 10．A提示：连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD.
又∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∴BD＝AD＝4.
∵点E，F分别是DP，BP的中点，
∴EF为△PBD的中位线．
∴EF＝1
2BD＝2.
11．D提示：如图，过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H，则∠AHF＝∠AGF＝90°.
∵DF⊥BC，∴∠GFH＝90°.
∴四边形AGFH是矩形．
∴FH＝AG.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，BC＝AB＝2.
∴∠BAG＝30°，BG＝1.
∴AG＝AB2－BG2＝ 3.
∴FH＝ 3.
在正方形ABED中，AD＝AB＝2，∠BAD＝90°，
∴∠DAH＝∠BAG＝30°.
∴DH＝1
2AD＝1.
∴DF＝DH＋FH＝3＋1.
12．A提示：连接CP交EF于点Q.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°.
又∵DP＝DP，
∴△ADP≌△CDP(SAS)，
∴AP＝CP.
易知四边形CEPF为矩形，
∴CP＝EF，∴AP＝EF，
∴若AP＝5，则EF＝5.故①正确．
若AP⊥BD，则易知∠P AD＝45°.
∵△ADP≌△CDP，
∴∠PCD＝∠P AD＝45°.
∵四边形CEPF为矩形，
∴FQ＝1
2EF，CQ＝
1
2CP，CP＝EF，
∴FQ＝CQ，
∴∠EFC＝∠PCD＝45°.
又∵∠BDC＝45°，
∴∠EFC＝∠BDC，
∴EF∥BD.故②正确．
当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，∵AB＝AD＝4，
∴BD＝AB2＋AD2＝32，
∴AP＝1
2BD＝
32
2.
又∵EF＝AP，
∴EF的最小值为32
2.故③错误．
二、13．70°14．AE＝AF(答案不唯一)
15．2 5
16．52提示：设正方形ABCD的边长为a.∵S△ABE＝18，
∴S
正方形ABCD
＝2S△ABE＝36.∴a2＝36.
∵a＞0，∴a＝6.
在Rt△BCE中，BC＝6，CE＝4，∠C＝90°，
∴BE＝BC2＋CE2＝52.
17．16提示：∵四边形ABCD是矩形，AB＝x，AD＝y，∴CD＝AB＝x，BC＝AD＝y，
∠BCD＝90°.
又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，
∴BF＝DF＝4，
∴CF＝BF－BC＝4－y.
在Rt△DCF中，DC2＋CF2＝DF2，
即x2＋(4－y)2＝42＝16.
∴x2＋(y－4)2＝16.
18．22.5°提示：连接AE.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，DA＝DC，∠DCB＝90°.
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝180°－45°
2＝67.5°，DA＝DE.
∴∠BCE＝∠DCB－∠DCE＝90°－67.5°＝22.5°，
∠DAE＝∠DEA＝180°－45°
2＝67.5°.
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF＝22.5°.
∴∠FEC＝180°－∠EFC－∠ECF＝180°－22.5°－22.5°＝135°. ∴∠AEF＝360°－∠DEA－∠DEC－∠FEC＝90°.
在△ADE和△CDE中，
⎩⎨⎧DA ＝DC ，
∠ADE ＝∠CDE ，DE ＝DE ，
∴△ADE ≌△CDE (SAS)． ∴EA ＝EC .
又∵EF ＝EC ，∴EA ＝EF . ∴△AEF 为等腰直角三角形． ∴∠AFE ＝45°.
∴∠AFB ＝∠AFE ＋∠EFB ＝45°＋22.5°＝67.5°. ∵∠ABF ＝90°，
∴∠BAF ＝90°－∠AFB ＝90°－67.5°＝22.5°. 三、19．证明：连接DB .
∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD 平分∠ABC .
又∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF . 20．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠BAD ＝∠C ，AD ∥BC ，AB ∥CD . 又∵AF ∥ED ，
∴四边形AEDF 是平行四边形． ∵AD ∥BC ，∴∠DGC ＝∠ADE . ∵DG ＝DC ，
∴∠DGC ＝∠C .∴∠ADE ＝∠C . 又∵∠BAD ＝∠C .
∴∠BAD ＝∠ADE .∴AE ＝DE . ∴四边形AEDF 是菱形． 21．证明：∵DE ∥AC ，CE ∥AD ，
∴四边形ADEC 是平行四边形． ∴DE ＝AC ，CE ＝AD . 又∵AC ＝BC ，∴BC ＝DE . ∵D 为AB 的中点，
∴AD＝DB，∴CE＝DB.
又∵CE∥DB，
∴四边形CDBE是平行四边形．
又∵BC＝DE.
∴四边形CDBE是矩形．
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝DB.
∴四边形CDBE是正方形．
22．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBE＝∠DFE.
∵E为CD边的中点，∴DE＝CE.
又∵∠CEB＝∠DEF，
∴△BCE≌△FDE(AAS)．
(2)解：四边形AEFG是矩形．
理由如下：
由(1)得△BCE≌△FDE，
∴BC＝FD，BE＝FE，∴FD＝AD.
又∵DG＝DE，
∴四边形AEFG是平行四边形．
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝∠ABF.
又由(1)知∠FBC＝∠AFB，
∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB.
又∵BE＝FE，
∴AE⊥FE，∴∠AEF＝90°.
∴四边形AEFG是矩形．
23．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠A＝∠D＝90°，AB∥DC.
又∵MF∥AD，
∴四边形ADFM 是矩形．
∴AD ＝FM ，∠AMF ＝∠MFD ＝90°.
∴∠BMF ＝∠NFM ＝90°，AB ＝MF .
∴∠BMO ＋∠OMF ＝90°.
∵MN 是BE 的垂直平分线，
∴∠BOM ＝90°.
∴∠BMO ＋∠MBO ＝90°.
∴∠MBO ＝∠OMF .
在△ABE 和△FMN 中，
⎩⎨⎧∠A ＝∠NFM ＝90°
，AB ＝FM ，
∠ABE ＝∠FMN ，
∴△ABE ≌△FMN .
(2)解：如图，连接ME .
在Rt △ABE 中，BE ＝AB 2＋AE 2＝82＋62＝10. 由(1)可知△ABE ≌△FMN ，
∴MN ＝BE ＝10.
∵MN 是BE 的垂直平分线，
∴BO ＝OE ＝12
BE ＝5，BM ＝ME . ∴AM ＝AB －BM ＝8－ME .
在Rt △AME 中，AM 2＋AE 2＝ME 2，
∴(8－ME )2＋62＝ME 2，
解得ME ＝254.∴BM ＝ME ＝254.
在Rt △BMO 中，MO 2＝BM 2－BO 2，
∴MO ＝BM 2－BO 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2542－52＝154.
∴ON ＝MN －MO ＝10－154＝25
4.
24．(1)证明：∵点M 是AD 边的中点，
∴AM ＝DM .
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ＝DC ，AB ∥CD ，
在△ABM 和△DCM 中，
⎩⎨⎧AM ＝DM ，
AB ＝DC ，BM ＝CM ，
∴△ABM ≌△DCM (SSS)．
∴∠A ＝∠D .
∵AB ∥CD ，∴∠A ＋∠D ＝180°，
∴∠A ＝90°.
∴四边形ABCD 是矩形．
(2)解：∵△BCM 是直角三角形，BM ＝CM ，∴∠MBC ＝45°.
由(1)知四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，∠A ＝90°.
∴∠AMB ＝∠MBC ＝45°.
∴△ABM 是等腰直角三角形．
∴AB ＝AM .
∵点M 是AD 边的中点，
∴AD ＝2AM .∴AD ＝2AB .
25．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝AD ＝BC ＝DC ，∠ABE ＝∠ADF .
又∵CE ＝CF ，
∴BC －CE ＝DC －CF ，即BE ＝DF .
在△ABE 和△ADF 中，
⎩⎨⎧AB ＝AD ，
∠ABE ＝∠ADF ，BE ＝DF ，
∴△ABE ≌△ADF (SAS)．
∴AE ＝AF .
(2)解：△BAH ，△DAG ，△BEG ，△DFH . 提示：由(1)可知△ABE ≌△ADF ，
∴∠BAE ＝∠DAF .
∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°.
∴∠BAD ＝90°.
∵∠EAF ＝45°，
∴∠BAE ＝∠DAF ＝22.5°.
∴∠BAH ＝∠DAG ＝67.5°.
∴∠BHA ＝∠DGA ＝45°＋22.5°＝67.5°.
∴∠BHA ＝∠BAH ＝∠DGA ＝∠DAG ＝67.5°.
∴△BAH ，△DAG 是等腰三角形，且是锐角三角形． ∵四边形ABCD 是菱形，
∴BC ＝DC .∴∠DBC ＝∠BDC ＝45°.
∵∠BHA ＝∠DGA ＝67.5°，
∴∠DHF ＝∠BGE ＝67.5°.
∴∠BEG ＝∠DFH ＝180°－45°－67.5°＝67.5°. ∴∠BGE ＝∠BEG ＝∠DHF ＝∠DFH ＝67.5°，
∴△BEG ，△DFH 是等腰三角形，且是锐角三角形．。