北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末考试高二

北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末试卷
高二数学（理科）2017.7
试卷满分：150分考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9.曲线1
y x
=
在2x =处切线的斜率为______. 10.4
)12(x
x -展开式中的常数项是_______.（用数字作答）
11.离散型随机变量ξ的分布列为:
且2=ξE ，则1p =_________；2p =_________.
12. 某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个，
并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．
13. 若函数32()f x ax ax x =-+在区间(1,0)-上恰有一个极值点，则a 的取值范围是_____．
14. 已知，对于任意x ∈R ，e x
ax b ≥+均成立.
①若e a =，则b 的最大值为__________；
②在所有符合题意的b a ,中，a b -的最小值为_________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）
在数列{}n a 中，11=a ，12
1++=
+n n a n
n a ，其中1,2,3,n = . (Ⅰ) 计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；
(Ⅱ) 根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
16．（本小题满分13分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为2
1
与p ，且乙投球2次均未命中的概率为
16
1. (Ⅰ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；
(Ⅱ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.
17．（本小题满分13分）
已知函数32()3f x x ax =+.
(Ⅰ)若1-=a ，求)(x f 的极值点和极值； (Ⅱ) 求)(x f 在[0,2]上的最大值.
18．（本小题满分13分）
一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*
n ∈N )个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是
5
2
. 现从袋中任意摸出2个球. (Ⅰ)用含n 的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n 的值.（直接写出n 的值）
(Ⅱ) 若15=n ，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是7
4
，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 19．（本小题满分14分）
已知函数2()f x ax bx =+和x x g ln )(=.
(Ⅰ)若1==b a ，求证：()f x 的图象在()g x 图象的上方；
(Ⅱ)若()f x 和()g x 的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）
已知函数()(1)e x f x x =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）证明：当0>a 时，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解；
（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，其中0>a .若()0h x ≥恒成立，求a 的取值范围.。