例谈导数的应用

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例谈导数的应用
张港
（江苏安全技术职业学院，江苏徐州221000）
课程◆教法◆应用
应用
［摘要］导数是微积分中的重要概念，几乎贯穿于整个数学分析的教学中。

同时，导数在高中阶段也有相应的应用。

利
用导数，可以求解切线的方程、证明不等式、求解函数的极值和最值。

因此，导数既是高中数学的重要知识点，也是高等数学的核心概念。

［关键词］导数；函数；实践方程
［中图分类号］G712
［文献标志码］A
［文章编号］2096-0603（2017）13-0174-01
一、导数的来龙去脉
设函数y=f （x ）在点x 0的某个邻域内有定义，当自变量x 在
x 0处有增量Δx ，（x 0+Δx ）也在该邻域内时，
相应的函数取得增量Δy =f （x 0+Δx ）-f （x 0）；如果Δy 与Δx 之比当Δx →0时极限存在，则称函数y =f （x ）在点x 0处可导，并称这个极限为函数y=f （x ）在
点x 0处的导数记为f ′（x 0），也记作y ′|x=x 0或dy dx
|x=x 0，
即f ′（x 0）=lim Δx→0Δy Δx =lim Δx→0
f （x 0+Δx ）-f （x 0）Δx
.导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如，在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

二、导数的应用
（一）利用导数求解曲线的切线方程
例1求曲线y=xe x -1在点（1，1）处的切线方程。

解：因为y ′=（xe x -1）′=e x -1+xe x -1
，所以y=xe x -1在点（1，1）处的导数是y ′|x =1=e 1-1+e 1-1=2，故曲线y=xe x -1点（1，1）处的切线斜率是2，故曲线y=xe x-1在点（1，1）处的切线方程为y -1=2（x -1），即y =2x -1.
评注：利用导数求解曲线的切线方程的常规方法是：（1）求出所给函数的导数；（2）将曲线上某一点的横坐标带入导函数，求出导数值；利用点斜式求出切线方程。

（二）利用导数求函数的极值和最值求函数的极值时，首先要判断函数在特定区间上的导数值得正负情况，导数值为正，函数在此区间上单调递增，导数值为
负时，函数在此区间上单调递减，
进而求出函数的极值情况。

例2已知函数f （x ）=（x 2+bx+b ）1-2x √（b ∈砸）
.（1）当b =4时，求f （x ）的极值；
（2）若f （x ）在区间（0，13）上单调递增，
求b 的取值范围。

解：（1）当b =4时，f ′（x ）=-5x （x +2）1-2x
√，由f ′（x ）=0得x =-2
或x =0所以当x ∈（-∞，-2）时，f ′（x ）<0，f （x ）单调递减；当x ∈（-2，0）
时，f ′（x ）>0，f （x ）单调递增；当x ∈（0，12），f ′（x ）<0，f （x ）单调递
减，故f （x ）在x =-2处取得极小值f （-2）=0，在x =0处取得极大值f （0）=4.（2）f ′（x ）=-x ［5x +（3b -2）］1-2x
√，易知当x ∈（0，13）时，
-x 1-2x
√<0，依题意当x ∈（0，13）时，有5x +（3b -2）≤0，
得b ≤19。

所以b 的取值范围是（-∞，19
）。

评注：对于含有参数的问题，难度稍微大一点，
需要深刻理解导数的几何意义，提高计算能力。

要求函数的最值，要求出函数在各个区间的单调性，这可通过求导运算得到。

具体步骤是：①求出函数的导数；②令导数为0，求出导数的零点；③分区间
讨论，得出函数的单调区间，求出函数的极值，
再结合端点值，得到函数的最值。

（三）利用导数证明不等式不等式的证明是重点，同时也是难点。

利用导数证明不等式时，首先，根据不等式构造函数；其次，求出函数的导数；再
次，判断导数的正负情况；最后，利用函数的最值证明不等式。

例3已知函数f （x ）=e x
-ax （a 为常数）的图像与y 轴交与点A ，曲线y=f （x ）在点A 的切线斜率为-1。

（1）求a 的值及函数f （x ）的极值；
（2）证明：当x>0时，x 2<e x
；
解：（1）由f （x ）=e x -ax ，得f ′（x ）=e x -a.又f ′（0）=1-a =-1，得a =
2，所以f （x ）=e x -2x ，f ′（x ）=e x
-2。

令f ′（x ）=0，得x =ln2
当x <ln 2时，f ′（x ）<0，f （x ）单调递减；x >ln2时，f ′（x ）>0，f （x ）单调递增。

所以当证明：x =ln2时，f （x ）取得极小值，且极小值为f （ln2）=e ln2-2ln2=2-ln4，f （x ）无极大值.
（2）证明：令g （x ）=e x -x 2，则g ′（x ）=e x -2x 由（1）得，g ′（x ）=
f （x ）≥f （ln2）=2-ln4>0，故
g （x ）在R 上单调递增，又g （0）=1>0,
所以当x >0时，g （x ）>g （0）>0，即x 2<e x
.评注：利用导数证明不等式，首先，要构造函数；其次，对所构造的函数进行求导，得到函数的单调性；再次，利用函数的单
调性得到极值或最值，和0进行比较；最后，借助函数的最值，证出不等式。

总之，导数就是一个工具，利用这个工具，可以求曲线的切线方程，可以求最值和极值，可以证明不等式。

在应用过程中，
要加强对基础知识的理解和基本思想方法的掌握。

在不等式的证明中，可以和其他的证明方法进行比较，全面深刻地理解导数的实质。