2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数章末小结与测评教案(含解析)新人教A版必修4

第一章 三角函数
考点一 三角函数的概念
1．在直角坐标系中，设任意角α终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r ＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ；cos α＝x r ；tan α＝y x
. 2．任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点P 在终边上的位置无关；角与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应．
3．三角函数值在各象限的符号有如下记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限．
[典例1] 已知角α的终边经过点P (12m ，－5m )(m ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．
解：r ＝12m 2＋－5m 2＝13|m |，
若m >0，则r ＝13m ，α为第四象限角，
sin α＝y r ＝－5m 13m ＝－513，cos α＝x r ＝12m 13m ＝1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512
. 若m <0，则r ＝－13m ，α为第二象限角，
sin α＝y r ＝
－5m －13m ＝513，cos α＝x r ＝12m －13m ＝－1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512
. [对点训练]
1．(1)α是第四象限角，P (5，x )为其终边上一点，且sin α＝
24x ，则cos α的值为( )
A.104
B.64
C.24 D ．－104 (2)若－π2
<α<0，则点P (tan α，cos α)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
解析：(1)由定义可得sin α＝
x x 2＋5＝24x ，x <0，可得x ＝－3，∴cos α＝522
＝104
. (2)∵－π2
<α<0，∴tan α<0，cos α>0，∴点P (tan α，cos α)位于第二象限． 答案：(1)A (2)B
考点二
同角三角函数基本关系式和诱导公式
三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．化简的顺序是：
(1)先用诱导公式化为同角三角函数．
(2)再用同角三角函数关系化简．
用同角三角函数关系化简时，有两种思路：①化弦法：当切函数的项比较少时，常常化弦达到化简的目的；②化切法：当弦函数的项比较少或者正、余弦的表达式是齐次式时，常常化切，便于化简．
[典例2] 已知2＋tan θ－π1＋tan 2π－θ
＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．
解：2＋tan θ－π1＋tan 2π－θ＝2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.
(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)
＝sin θcos θ－sin 2 θ－3cos 2 θ＋3sin θcos θ ＝4sin θcos θ－sin 2 θ－3cos 2 θsin 2 θ＋cos 2 θ ＝4tan θ－tan 2 θ－3tan 2 θ＋1
＝4×2－22－322＋1＝15
. [对点训练]
2．化简下列各式：
(1)sin 3π＋αcos －αcos π－αtan 3π＋αcos 3－α－π
＋ cos α＋3πsin 2α＋3πcos 2⎝
⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan α＋5πtan π＋αcos 3π＋α；
(2)tan －510°cos －210°cos 120°tan －600°sin －330°＋sin 29°cos 61°
－tan 36°·tan 54°. 解：(1)原式＝－sin 3αcos α－cos αtan 3α－cos α3＋－cos αsin 2αsin 2
αtan αtan α－cos α
3 ＝－sin 3αcos 2αsin 3αcos 3α·cos 3α＋cos αsin 4αsin 2αcos 2α
·cos 3α ＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1.
(2)原式＝－tan 510°cos 210°cos 120°－tan 600°－sin 330°＋sin 29°cos 61°
－tan 36°·tan 54° ＝－
tan 360°＋150°cos 180°＋30°cos 180°－60°tan 2×360°－120°sin 360°－30°＋1－tan 36°tan 54°
＝－tan 150°－cos 30°－cos 60°tan －120°－sin 30°
＝tan 180°－30°cos 30°cos 60°tan －180°＋60°sin 30° ＝
－tan 30°cos 30°cos 60°tan 60°sin 30°＝－36
. 考点三
三角函数图象及变换
(1)“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x 轴的交点，描点作图
并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线．
(2) ]函数y =sin x 的图象变换到函数y =A sin （ωx +φ）的图象时，法则是针对自变量x 和因变量y ，左加右减，上加下减.途径是相位变换φ（φ≠0）→周期变换ω(ω>0)→振幅变换A (A >0)和周期变换ω(ω>0)→相位变换φ(φ≠0)→振幅变换A (A >0)．注意二者平移量的不同．
(3)由已知条件确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，需要确定A ，ω，φ，其中A ，ω易求，下面介绍求φ的几种方法．
①平衡点法
由y ＝A sin(ωx ＋φ)＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω知它的平衡点的横坐标为－φω
，所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x 1＝－φω
，则可求φ.
②确定最值法
这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程． ③利用单调性
将函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与y ＝sin x 的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出φ.
[典例3] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0， ⎭⎪⎫0<φ<π2的图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3，－2，周期为π. (1)求f (x )的解析式；
(2)将y ＝f (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x 轴向右平移
π6
个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，写出函数y ＝g (x )的解析式； (3)当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π12时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)由题可知T ＝2πω
＝π，∴ω＝2.又f (x )min ＝－2， ∴A ＝2.由f (x )的最低点为M ，得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1. ∵0<φ<π2，∴4π3<4π3＋φ<11π6
. ∴4π3＋φ＝3π2.∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.
(2)y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π62(−−−−−−−−→横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π66x π−−−−−−→沿轴向右平移个单位 y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －π6＋π6＝2sin x ，∴g (x )＝2sin x . (3)∵0≤x ≤π12，∴π6≤2x ＋π6≤π3
. ∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )min ＝2sin π6
＝1， 当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )max ＝2sin π3
＝ 3. [对点训练]
3．(1)把函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3
个单位长度，那么所得图象的一条对称轴的方程为( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4 C ．x ＝π8 D ．x ＝π4
(2)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3
个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A.13
B ．3
C ．6
D ．9 解析：(1)将y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin2x －π3＋π6＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，故x ＝－π2是其图象的一条对称轴的方程． (2)由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3
(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.
答案：(1)A (2)C
4.如图，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图象．
(1)求此函数解析式；
(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？
解：(1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－π6＝π， ∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12
sin(2x ＋φ)－1. 当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6
. ∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象. 考点四
三角函数的性质
(1)函数y ＝sin x 和y ＝cos x 的周期是2π，y ＝tan x 的周期是π；函数y ＝A sin(ωx
＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期是2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期是π|ω|
. (2)函数y ＝sin x 和y ＝cos x 的有界性为：－1≤sin x ，cos x ≤1，函数y ＝tan x 没有最值．有界性可用来解决三角函数的最值问题．
(3)函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π上递增，在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π上递减；函数y ＝cos x 在[－π＋2k π，2k π]上递增，在[2k π，2k π＋π]上递减；函数y ＝
tan x 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π上递增，以上k ∈Z . (4)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角化到同一单调区间内；求形如f (ωx ＋φ)的单调区间时，采用整体代换的方法将ωx ＋φ视为整体求解相应x 的范围即可，注意ω的符号及f 对单调性的影响．
[典例4] 函数f (x )＝3sin2x ＋π6的部分图象如图所示．
(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2
，－π12上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6
，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－5π6，0，于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3
时，f (x )取得最小值－3. [对点训练]
5．函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C . ①图象C 关于直线x ＝11π12
对称； ②函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3
个单位长度可以得到图象C . 以上三个论断中，正确论断的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选C ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝3sin 3π2＝－3， ∴直线x ＝11π12为对称轴，①对；②由－π12<x <5π12⇒－π2<2x －π3<π2
，由于函数y ＝3sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内单调递增，故函数f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π12，5π12内单调递增，②对；③f (x )＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，而由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到函数y ＝3sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，得不到图象C ，③错．。