天津蓟县第四中学高三数学文测试题含解析

天津蓟县第四中学高三数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数在区间内的零点个数是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
2. 已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列命题
①α∥β=l⊥m；
②α⊥β?l∥m；
③l∥m?α⊥β；
④l⊥m?α∥β．
其中正确命题的序号是（）
A．①②③B．②③④C．①③D．②④
参考答案：
C
【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；
当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；
由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题；
当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．
【解答】解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m?平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m?平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；
因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m?平面β可得α⊥β；即③为真命题；
由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m?平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．
所以真命题为①③．
故选 C．
【点评】本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用．
3. 设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x﹣1，则不等式f（x）＜0的解集为
（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
参考答案：
A
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据函数的奇偶性求出函数f（x）的表达式，然后解不等式即可．
【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=x﹣1，
∴f（﹣x）=﹣x﹣1，
∴f（x）=﹣f（x）=x+1，x＜0．
图象如图所示，则不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），
故选A．
4. 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是( )
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
参考答案：
C
考点：独立性检验．
专题：概率与统计．
分析：根据成绩优秀的概率求出成绩优秀的学生数，从而求得c和b的值；再根据公式计算相关指数K2的值，比较与临界值的大小，判断“成绩与班级有关系”的可靠性程度．
解答：解：∵成绩优秀的概率为，∴成绩优秀的学生数是105×=30，
成绩非优秀的学生数是75，∴c=20，b=45，选项A、B错误．
又根据列联表中的数据，得到K2=≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，
故选：C．
点评：本题考查了独立性检验思想方法，熟练掌握列联表个数据之间的关系及相关指数K2的计算公式是解题的关键．
5. 图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A．8 B．9 C．10 D．11
参考答案：
C
【考点】程序框图；茎叶图．
【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；
根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个，
故选：C．
6. 设函数定义在实数集上，它的图象关于直线1对称，且当x1时，，则有 ( ）
A．
B ．
C． D．
参考答案：
B
7. 设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）
A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）
参考答案：
A
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到
|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．
【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），
当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，
∴l1的斜率，l2的斜率，
∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，
∴，即x1x2=1．
直线l1：，l2：．
取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），
|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．
联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，
∴|AB|?|x P|==．
∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，
∴，则，
∴．
∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．
故选：A．8. 一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则此三棱柱的体积为( )
A. B. C. D.4
参考答案：
B
9. 若，，则与的夹角是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
因为，所以，即，所以
，所以，选A.
10. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g[f（﹣8）]=
（）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
参考答案：
A
【考点】函数的值．
【分析】先求出f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log39=﹣2，从而得到g[f（﹣8）]=g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f （2），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，
∴f （﹣8）=﹣f （8）=﹣log 39=﹣2，
∴g[f（﹣8）]=g （﹣2）=f （﹣2）=﹣f （2）=﹣log 33=﹣1． 故选：A ．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若α为锐角，且，则sin α的值为________．
参考答案：
【答案】 【解析】
12. 数列
的前项的和
.
参考答案：
13. 已知集合，
，则
．
参考答案：
14. （坐标系与参数方程选做题）曲线
（为参数）上一点
到点
，
距离之和为 ．ks5u
参考答案：
略
15.
已知函数
的零点在区间
内，则正整数k 的值为 ▲ ．
参考答案：
2
由函数的解析式可得函数在
上是增函数，且
，
，故有
，根据函数零点的判定定理可得函数在区间上存在零点，结合所给的条件可得，故
，故答案为2.
16. 已知
，.若或，则的取值
范围是 . 参考答案：
首先看
没有参数，从
入手，显然时，
，时，，而对
或成立即可，故只要
时，（*）恒成立
即可。

当时，
，不符合（*），所以舍去；当
时，由
得，并不对成立，舍去；当时，由，注意
，故，所以，即，又
，故，所以
，又
，故
，综上，
的取值范围是。

17. 已知幂函数的图象过（4，2）点，则= .
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）若，求的单调递增区间；
（Ⅱ）若，求的最小正周期的表达式并指出的最大值．
参考答案：
解：（Ⅰ）当时，
．
令．
解得．
所以的单调递增区间是.……………………7分
（Ⅱ）由
．
因为，所以．
则，．
解得．
又因为函数的最小正周期，且，
所以当时，的最大值为．………………………………………13分
19. 已知e是自然对数的底数，函数与的定义域都是(0,+∞)．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求证：函数只有一个零点，且．
参考答案：
（1）（2）见证明
【分析】
（1）利用导数求得斜率，求得切点的坐标，由此求得切线方程.（2）首先根据零点存在性定理判断出在区间上存在零点.然后利用的导数，证得在上是减函数，由此证得函数在区间上只有一个零点.
【详解】（1）解：∵
∴切线的斜率，，
∴函数在点处的切线方程为
（2）证明：∵，，
∴，，
∴
∴存在零点，且
∵
∴当时，
当时，由
∴在上是减函数，
∴若，，，则
∴函数只有一个零点，且.
【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查利用导数研究函数的零点，考查零点的存在性定理，综合性较强，属于中档题.
20. 已知函数，a为实数.
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）设是函数f(x)的导函数，若对任意恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案：
（1）答案不唯一，见解析（2）
【分析】
（1）函数求导后，分三种情况讨论，结合导函数的正负可求出函数的单调区间
（2）根据不等式恒成立，分离参数可得，时恒成立，分别求出左边的最大值与右边的最小值即可.
【详解】（1）函数的定义域是.
.
（i）当时，令，得；
令，得或，
所以函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增；
（ii）当时，对任意恒成立，且不恒为0，所以函数在上单调递增；
（iii）当时，令，得；
令，得或，
所以函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增.
（2）等价于，得，得，
因为，所以.
所以不等式两边同时除以，得，
即，
得.
所以.
即对任意恒成立.
设，，，
则，.
所以函数在区间上是增函数，在区间上是增函数.
所以，.
所以.
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，分类讨论的思想，属于难题.
21. 设集合S n={1，2，3，…，n），若X是S n的子集，把X中所有元素的和称为X
的“容量”（规
定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为S n的奇（偶）子集．（I）写出S4的所有奇子集；
（Ⅱ）求证：S n的奇子集与偶子集个数相等；
（Ⅲ）求证：当n≥3时，S n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．
参考答案：
略
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆 (为参数)和直线 (其中为参数，为直线的倾斜角)．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）如果直线与圆有公共点，求的取值范围.参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）.
试题分析：（Ⅰ）先把圆转化成普通方程，再利用转化公式转化为极坐标方程；（Ⅱ）分情况：一、直线的斜率不存在；二、直线的斜率存在，利用直线与圆的位置关系，可求出的取值范围.
考点：极坐标与普通方程的转化.。