惠州市高三第二次调研考试数学(理科)试题及参考答案

惠州市20XX届高三第二次调研考试
数学试题(理科) 2014.10
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1 •答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位
号填写在答题卡上。

2 •选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3 •非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4•考生必须保持答题卡的整洁•考试结束后，将答题卡一并交回.
参考公式：①如果事件A B互斥，则P(A+B)二P(A)+P(B)
②如果事件A、B相互独立，则P(A B)= P(A)卩(B)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请在答题卡上填涂相应选项.
1.设集合A = 1x|x ■ 2 = 0』，集合B = 1x|x2- 4 = Of，则Ap| B =( )
A . : -2?
B .〔2C.「-2,2? D .-
2. 复数^i (1 i) (i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()
A •第一象限
B •第二象限C.第三象限 D •第四象限
2 2
3. 双曲线2x-y =8的实轴长是()
A • 2 B• 2 .2 C. 4 D• 4 2
4 4 1 1
4•设向量a =(1,0), b ，丄，则下列结论中正确的是()
12 2丿
2
2
分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为
m e ,众数为 ,平均值为x ，则
C • a//b
a -
b 与b 垂直
5 •为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30名学生参加环保知识测试，得
A •
12 .锐角 ABC 中，角A,B 所对的边长分别为a,b ,若2asin B =b ,则角A 等 于 _____ .
6.设平面:-与平面一：相交于直线
：：：
me :::
内，直线b 在平面［内，且b _ m ，则“
充分不必要条件 充分必要条件
7 .已知
a 0 , x , y 满足约束条件
a =(
1 A.-
4
B.-
2
D .
x _1 I
x y _3
既不充分也不必要条件
，若z = 2x • y 的最小值为
y —a(x- 3)
1，则
C . 1
10的余
8.某学校要召开学生代表大会，规定各班每
10人推选一名代表，当各班人数除以
数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数x 之间的函数
关系用取整函数 y -^1（ 1.x 1表示不大于x 的最大整数）可以表示为 （
A .八
110」
B . y 亠
y
- 10
D . y 亠
IL 10
二、填空题（本大题共 7小题，分为必做题和选做题两部分.每小题 5分，满分30分）
（一）
第 9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答.
9.已知f (x)
x 2 -4x (x 0)
( 0 (x = 0)，则不等式f(x)>x 的解集为
2
-x -4x (x ：： 0)
10.曲线
In x
在点（1,0）处的切线方程
为
2
11 . l x
2 x
展开式
频数 必要不B . m e = m 0 ::-
m ，直线
1
13 •在正项等比数列：a n ［中，a5 = —, a6 + a7 = 3 ,
2
贝U满足印+a2+川|（|+a n，a2“川丨，a n的最大正整数n的值为______ .
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分.
14. （极坐标与参数方程）已知圆的极坐标方程为T =4cosr，圆心为C，点P的极坐
标为'4,3 i，则|CP|= .
I 3J 1 1
NP=70°，则N ACB = _______ .（用角度表示）
15. （几何证明选讲）如图所示，O O的两条切线PA和PB相交于
点P，与O O相切于A, B两点，C是O O上的一点，若
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本题满分12分）
设向量：=、3sinx,sinx , t= cosx,sin x ,
■I呻
（1 ）若a = b，求x的值；
（2）设函数f（x）二ab，求f（x）的最大值.
17. （本题满分12分）
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品
作为样本称出它们的重量（单位：克）,重量的分组区间为
490,495 1, 495,500 1,…，510,5151，由此得到
样本的频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的
产品数量；
A90195 5Q05055I0 515重试 /
克
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；
(3) 从该流水线上任取 5件产品，求恰有 2件产品的重量超过 505克的概率.
18. (本题满分14分)
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，.DAB =60 ,
AB = 2 , AD = 1 , PD _ 底面 ABCD .
(1) 证明：PA_ BD ;
(2) 若PD =AD ，求二面角 A-PB-C 的余弦值. 19. (本题满分14分)
(1)求数列
的通项公式;
11 1 7
n ，有 一 -一 -\ \\ - 一 ：::一.
ai a 2 a n 4
20. (本题满分14分)
2 2
如图，已知椭圆C :冷•与=1，其左右焦点为F 1 -1,0及F 2 1,0，过点F 1的直
a b
线交椭圆C 于A,B 两点，线段AB 的中点为G , AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于
D,E 两点，且 AF 1、 F 1F 2、
(1) 求椭圆C 的方程； (2) 记厶GFQ 的面积为S 1 ,
S 2 .试问：是否存在直线 21. (本题满分14分)
_
n
已知a 0，函数f (x) = In x - ax . ( f (x)的图像连续不断) (1 )求f (x)的单调区间；
设数列 a' 的前n 项和为S n ，已知1 ,
2S n n
*n1」
n 2-n 上，n N 3 3
(2)证明：对一切正整数
C
AF 2
构成等差数列.
△
OED
1 _ 3
(2)当a 时，证明：存在x^ 2, •，使f (x0) = f ();
8 2
（3）若存在均属于区间 1,3 I 的 ：，且--「_ 1 ,使f （「）= f （：）,
30
证明
In 3-1 n2
ln2 a - 5
3
惠州市20XX 届高三第二次调研考试
理科数学答案与评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C D D A B
B
、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.
1【解析】本题考查集合的基本运算，意在考查考生对集合概念的掌握•由 X -4 = 0，解
得 X - 2，所以 B -—2,2?,又 A7-2?，所以 AnB-—2?，故选 A. 【解析】本题主要考查复数的乘法运算与复数的几何意义，••• (1 i) = -1 i •••复
数z 在复平面上对应的点的坐标为 -1,1，位于第二象限. 【解析】本题考查双曲线方程及其简单几何性质。

双曲线方程可变形为 2 2
沽1,
所以a 2 = 4,a =2,2a =4 •
【解析】
(1)2
ab=1x 〔+0x 丄=丄；(a —b)b=ab —
2 2 2
故a -b 与b 垂直.
2个人得3分，3个人得4分，10个
【解析】由图可知，30名学生的得分情况依次为：
人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10 分.中位数为第15,16个数份别为5,6）的平均数，即m e = 5.5,5出现的次数最多,
2 3 3 4 10 5 6 6 3 7 2 8 2 9 2 10
故 m o = 5, X
~ 5.97
于是得 m o ::: m e ：：： X .
6【解析】若鳥」■；',又〉「I 1二m,b [b — m ，根据两个平面垂直的性质定理可得
b _ :•，又因为a 二卅，所以a _ b ；反过来，当 a//m 时，因为b _ m ，—定有 b_a ，但不
能保证b 」一：＞ ,即不能推出亠I ，■.
7【解析】本题考查线性规划问题，属于基础题•由已知约束条件，作出可行域如图中△
ABC 内部及边界部分，由目标函数 z = 2x y 的几何意义为直线 I ： y = -2x z 在y
轴上的截距，知当直线
I 过可行域内的点 B(1,-2a)时，目
1
标函数z =2x • y 的最小值为1，则2 -2a =1,a =
2
8【解析】当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表， 可以
看作先用该班人数除以
10再用这个余数与 3相加，若
和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代 表人数y 与该班人数x 之间的函数关系，用取整函数 y - lx
整数)可以表示为 丫工比3 •
_ 10
二、填空题(本大题共 7小题，分为必做题和选做题两部分.每小题 5分，满分30分) 第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答•第 14、15题为选做题，考生只选做其 中一题，两题全答的，只计前一题的得分.
15. 55°
9【解析】本题考查分段函数的性质及一元二次不等式的解法，意在考查学生的分类讨论
及化归能力及运算能力.
解得x -5或-5 - x :: 0，所以原不等式的解集为
(-5,0) u (5「：).
10【解析】本题考查导数的几何意义。

考查考生的求导运算及求直线方程的能力。

丄
In x '
1 -ln x
'
由f(x)
，贝y f (x)
2
.所以f (1)=1，即切线L 的斜率为1。

又切线L
x
x
过点(1,0)，所以切线L 的方程为y = x —1. —般方程为 x —y —1 = 0.
9. (-5,0)U(5, ：：) 10. x-y-1=0 11. 40 12.
13. 12
14. 2 .3
由f(x) x ，可得
x 2 -4x x x 0
-x 2 _4x x x ：0
11【解析】本题考查二项式定理，意在考查考生的运算能力.
故常数项为T 3 =(—2 ) C ；・x° =40.
12.【解析】本题主要考查锐角三角形的定义、 正弦定理与解三角方程，意在考查考生的
所以si nA-1
，又 ABC 为锐角三角形，得
2
31
A 二一
6
13【解析】本题主要考查等比数列的基本性质，意在考查学生的运算能力.
■ 1 1
设等比数列 Qn 的公比为q(q 0).由a 5二一，a 6 • a 7 = 3,可得一 (q • q 2) = 3,
2 2
即q y 2 -6 =0,所以q =2，所以a . =2心，数列laj 的前n 项和S n =2心-2」,
n
n(n 一 1 1 )
所以a 1a2“la n =(aa n J 2 =2 2
,由印+a ? +il 山l + a .
日2卄川丨耳 可得
n(n _ 1 1 )
n(n -J1)
2心一2* 2^，由2心 2^，可求得n 的最大值为
12,而当n =13时,
2* -2厘-213不成立，所以n 的最大值为12.
14【解析】由卜=4cos r 可得圆的直角坐标方程为 (X-2)2 • y 2 =4，圆心C(2,0) •点P
的直角坐标为P(2, 2J 3)，所以|CP =2(3.
15【解析】如图所示，连接 OA,OB ，则0A _ PA,OB _ PB .
1
故 AOB -110O ,••• ACB 一 AOB =55：.
2
三、解答题：本大题共 6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本题满分12分)
解：本题考查平面向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质.
转化能力与三角变换能力.
由正弦定理得，2asinB =b 可化为
Tn =C 5 x 2
2
x 3
-2)r C 5
X 10⑸，令 10-5r =0，得 r = 2,
2sin Asin B =sin B ，又 sin B 0，
sin x)2 (sin x)2 = 2 sin 2x , (1 分) (2 分)
(1)由 a]=
(cosx)2 (sin X )2 =1 ,
...... （6 分）
—
3 1 1
（2） f （x ）二 a b 二 3sin x cosx sin x sin 2x cos —x — 2 2 2
兀 1
二 sin （2x ）
耳 斗 2 1 及 a = b ，得 sin x =-
4
又 x 0,—, 1 —」
从而
1 sin x =
—
...... （4 分）
所以X
6 2
（7
分）
（9分）
17. 解：
所以当2x
，即x
时, 6
2
3
3
所以f （x ）的最大值为一.
2
（本题满分12分）
（1）根据频率分布直方图可知，重量超过 1（0.01 0.05） 5】40 =12（件）.
sin （2 x ）取得最大值1
..... （11分）
6
..... （12 分）
505克的产品数量为
...... （2 分） ⑵丫的可能取值为0,1,2.
63
130
P （"呼
C
40
56 130
P （丫 =2）=芽 C 40 11
130
...... （3 分） ...... （4 分）
...... （5 分）
....... （6 分）
Y 的分布列为
丫 0 1 2 P
63 56 11 130
130
130
C 8
(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过 505克的概率为0.3 .......... (8分)
令•为任取的5件产品中重量超过 505克的产品数量， 则 ~ B(5,0.3)，
....... ( 10 分)
a
2
2
3
故所求概率为 P( =2) = C 5 (0.3) (0.7) 0.3087 ...... ( 12 分)
18. (本题满分14分)
解：(1)证明：因为.DAB =60 , AB =2AD ,
由余弦定理得BD h$3AD —、3 . （2 分）
从而 BD 2 AD 2 =AB 2，故 BD _ AD .
（3 分）
；PD_ 面 ABCD ,BD 面 ABCD , PD _ BD
（4分）
又 AD 一 PD =D, 所以BD _平面PAD .
（5分）
故 PA _ BD . （6
分）
(2)如图，以D 为坐标原点，射线 DA , DB , DP 分别为x,y,z 的正半轴建立空间直角坐
标系 D — xyz ,则 A （1,0,0）, B （0, .3,0）, C （-1,、.3,0）, P （0,0,1）.
AB 十1八3,0）, PB =（0, I 3,-1） , BC =（-1,0,0）
（8
分）
设平面FAB 的法向量为n =(x, y, z)，
n AB =0 则
n PB =0
因此可取 n 二 C ：'3,1,.
3)
（10 分）
设平面PBC 的法向量为m ，则
H T
m PB| 二 0 m BC =0
可取m = （0, -1, -、一3）（12
分）
4
2 7
则
cosm
”2「7「〒
注：第二问若使用几何法按找到并证明二面角的平面角得 4分，求出二面角的平面角
的余弦值得4分。

其它方法酌情给分。

19. （本题满分14分） 解：本题考查数列的通项与前
n 项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等
基础知识和基本方法，考查化归与转化思想、分类与整合思想，考查考生的运算求解能 力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力. （1）（解法一）
1 2
依题意，2S<| = a 2…—…1 ,又S^ a-i =1，所以a 2 = 4
....... （ 2分）
3 3
1 3
2 2
当 n_2时,2S n = na n 1
n 3 -n 2 n , 3 3
1
3
2
2
2S nj = （n -1）a n …一（n -1） （n -1）…一（n -1）,
3 3
两式相减得
1 3
2 2 1
3 2 2
2a n =（n a n 彳 n -n n ） -（（n-1）a n （n-1） -（n-1） （n -1））
又虫-引=1，故数列 弘是首项为1,公差为1的等差数列,
2 1 . n
所以色=1・1（门一 1） = n,所以a n 二n ? ........ （ 8 分）
n
（解法二）
2S 1 2 守 —=a n 十一一 n 2 —n - 一， a =1，得去=4,玄=9 , （
2 分） n 3
3
故钝二
面角
....... (14 分)
3 3 3 3
整理得(n 1)a n 二 na n 彳 - n(n 1)，即 _an _! _旦L = 1 ,
.... ( 6 分)
n +1 n
猜想5严心
L)
F面用数学归纳法证明:
(1)当n =1时，猜想成立;
(2)假设当n =k时，猜想也成立，即氏=k k 1 (2k L)
k 1 (2k 1) (k 1)(k 2) (k 1)(3k 3)(k俨• n = k 1时，猜想也成立
，■”当n ^2, q = S - S L=2n当n=1，也满足此式，故
1 7
(2)证明：当n =1时，丄-；(3 分)
(4分)
a k』* k三
k 3 3 ^2k 1(2k L)1k2 k j
3 3
(5 分)
kk 1(2k 1
( k 1)2 (k
1)(2k2
(k 1)(k 2)(2k 3)
(6分)
由(1), (2)知，对于N"，猜想成立。

(9分)
(8 分)
此时=2时,丄
a
1
丄胡丄
a2 4
一3时，丄=
a n n(n-1)
丄丄1=1 2 2
a n 2 3 4
"4 D(3T 川(n—1 1丄
n 4 2 n ... (10 分)
(12 分)
1.丄二
4
因为此方程无解，所以不存在直线
AB ，使得 3=S .
（14 分）
1
1 1
综上，对一切正整数 n ,有—-
丄
a i
a 2
a n
20. (本题满分14分)
解: (1)因为AR 、 F 1F 2、 AF 2构成等差数列,
* Rt -GDF 1 和* Rt=ODE 1 相似，•若 3
所以2a 斗人可+卜卩2|=2卩店2| =4，所以 a =2 .
（2 又因为c -1，所以b 2 =3，
（3 分）
所以椭圆C 的方程为冷冷“
（4
分）
(2)假设存在直线 AB ，使得
= S 2，显然直线 AB 不能与x,y 轴垂直.
设AB 方程为y 二k(x 1)
…（5分）
2
将其代入 —
1,整理得（4k 2 3）x 2 8k 2x 4k 2 -1^0
4 3
…(6分)
设 A （X 1, yj , B （X 2, y 2），所以 x . -8k 2 X 2
4k 2 3
故点G 的横坐标为彳x2 2
-4 k 2 -4k 2 4k 2 3 .所以 G （4k 2 3 3k 4k 2 3）•
（8分） 3k
因为DG _ AB ，所以 2
业 3
— k = -1,解得
-4k 2
X D
厂
4k 2 3
-k 2
即 D
E 0）
4k 2 • 3 X D
（10
分）
（11 分）
所以
2
-4k ）2（..3k j 2
4k 2 3 4k 2
3
4k 2
3
2
4k +3
（12 分）
4
（13 分）因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得3=S. （14 分）
21. (本题满分14分)
1 1
2 (2)证明：当 a 时，f (x) = In x x ，
8 8
由(1)知f(x)在(0,2)内单调递增，在(2,七)内单调递减. 令 g(x)二 f (x) - f(£ .
••…(6 分)
2
3
由于f (x)在(0,2)内单调递增，故f (2)
f()，即g(2)
0•……(7分)
2 3
'
41 - 9e
取 x e 2，则 g(x)
0.
2
32 所以存在 X 。

• (2, x )，使 g(x )^0 ,
3
即存在 X 0 • (2, •：：)，使 f (X 0)= f().
……•• (9 分)
解: f '(x)
-2ax
1 -2ax 2
,X (o, ：：)•
(1分)
f '(x)=0,解得 x 2a
2a
(2分)
所以,
(x)的单调递增区间是
••(3 分)
(5分)
当x 变化时，f '(x), f(x)的变化情况如下表: ;
I
(0,』)，单调递减区间是(』，•：：) 2a 2a
2
(说
x的取法不唯一，只要满足x >2，且g(x ) £0即可.)
明:
(3)证明：由 f G H f (:)及⑴的结论知一：:：：，
2a
从而f（x）在b,「上的最小值为f （:•）, ……（10分）又由_1, ：•, I「二1,3 ],知1 _ _2 _■- _3 …•…（11 分）斗 f （2） _f（：） _f⑴刨I n2-4a_-a
故即……（13分）
f （2）_ f （：）_ f （3） In 2-4a _ln3-9a
In 3-1 n2 In 2 八从而 a ......... （14分）
5 3。