黑龙江省佳木斯市第一中学高二数学下学期期中试题文

黑龙江省佳木斯市第一中学高二数学下学期期中试题文
文 科 数 学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的． 1．设全集},33|{Z ∈<<-=x x x I ，}2,1{=A ，}2,1,2{--=B ，则=)(B C A I A ．}1{
B ．}2,1{
C ．}2,1,0,1{-
D ．}2,1,0{
2．下面是关于复数i
z +=
12
的四个命题： p 1：复数z 的共轭复数为i +1； p 2：复数z 的虚部为1； p 3：复数z 对应的点在第四象限；
p 4：2||=z ．
其中真命题的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．值域是),0(+∞的函数是 A ．12+-=x x y
B ．x y -=1)3
1
(
C ．1321+=
-x
y
D ．22log x y =
4．“2<m ”是“一元二次不等式012>++mx x 的解集为R ”的 A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．命题p ：),0[+∞∈∀x ，12≥x ，则p ⌝是 A ．),0[0+∞∈∃x ，120<x B ．),0[+∞∈∀x ，12<x C ．),0[0+∞∈∃x ，120≥x
D ．),0[+∞∈∀x ，12≤x
6．设||)2
1
()(x x f =，R ∈x ，那么)(x f 是
A ．奇函数且在),0(+∞上是增函数
B ．偶函数且在),0(+∞上是增函数
C ．奇函数且在),0(+∞上是减函数
D ．偶函数且在),0(+∞上是减函数
7．已知函数⎩
⎨⎧≥+-<=0,4)3(0,)(x a x a x a x f x ，满足对任意21x x ≠，都有
0)
()(2121<--x x x f x f 成立，则 a 的取值范围是
A ．410≤<a
B ．410<<a
C ．410≤≤a
D ．41
0<≤a
8．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一条渐近线方程为02=-y x ，则该双曲线的离心率
是
A ．5
B ．2
C ．
2
7 D ．
2
5
9．若定义在区间)0,1(-内的函数)1(log )(2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是 A ．)2
1
,0(
B ．]2
1
,0(
C ．),2
1
(+∞
D ．),0(+∞
10．已知0x 是函数x
x f x 1
2)(+
=的一个零点．若),(01x x -∞∈，),(02+∞∈x x ，则 A ．0)(1<x f ，0)(2<x f B ．0)(1<x f ，0)(2>x f C ．0)(1>x f ，0)(2<x f
D ．0)(1>x f ，0)(2>x f
11．已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0<x 时，不等式0)()(<+x 'xf x f 成立，
若)3(33030..f a =，)3(log )3(log ππf b =，)9
1
(log )91(log 33f c =，则a ，b ，c 间的大小关
系是
A ．c b a >>
B ．b a c >>
C ．a b c >>
D ．b c a >> 12．已知函数m x x e x f x -+-=)1()(2，若R ∈∃c b a ,,，且c b a <<，使得)()()(c f b f a f == 0=．则实数m 的取值范围是
A ．)1,(-∞
B ．),1(3e
C ．)3
,1(e
D ．),()1,(3+∞-∞e
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．函数)1ln(2)(-+-=x x x f 的定义域是 ．
14．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线2
1
=x 对称，则)2()1(f f + =+++)5()4()3(f f f ．
15．直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直，且线段AB 长为513，则p 的值为 ． 16．已知函数)(x f 的导函数)(x 'f 的图像如图所示，给出以下结论： ①函数)(x f 在)1,2(--和)2,1(上是单调递增函数；
②函数)(x f 在)0,2(-上是单调递增函数，在)2,0(上是单调递 减函数；
③函数)(x f 在1-=x 处取得极大值，在1=x 处取得极小值； ④函数)(x f 在0=x 处取得极大值)0(f ．
则正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知函数x
a
x x x f -+=2)(2，),1[+∞∈x ．
（Ⅰ）当2
1
=a 时，求函数)(x f 的最小值；
（Ⅱ）对于任意实数),1[+∞∈x ，函数0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知函数a x bx x x f ++-=
23
1)(23
，2=x 是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）当]3,1[∈x 时，3
2
)(2>
-a x f 恒成立，求a 的取值范围． 19．（本小题满分12分）
我校高二期中考试统一测试文科的数学成绩分组统计如下表：
（Ⅰ）求出表中m 、n 、M 、N 的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频 率分布直方图；
分组 频数 频率 ]30,0( 3 0.03 ]60,30( 3 0.03 ]90,60( 37
0.37
]120,90(
m
n
]150,120(
15
0.15
合计 M
N
（Ⅱ）若我校参加本次考试的文科学生有600人，试估计这次测试中我校成绩在90分以 上的人数；
（Ⅲ）若我校教师拟从分数不超过60分的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人 分数不超过30分的概率． 20．（本小题满分12分）
0.001
0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 0.016
频率/组距
设直线l ：1+=x y 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交
于点F ．
（Ⅰ）证明：122>+b a ；
（Ⅱ）若F 是椭圆的一个焦点，且FB AF 2=，求椭圆的方程． 21．（本小题满分12分）
已知函数x a x
x f ln 2
)(+=
，R ∈a ． （Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f P 处的切线垂直于直线2+=x y ，求a 的值； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间],0(e 上的最小值．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．（本小题满分10分）选修14-：几何证明选讲
已知，在△ABC 中，D 是AB 上一点，△ACD 的外接圆交 BC 于点E ，BE AB 2=． （Ⅰ）求证：BD BC 2=；
（Ⅱ）若CD 平分∠ACB ，且2=AC ，1=EC ，求BD 的长． 23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在平面直
角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知
直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t
x 2（t 为参数），圆C 的极坐标方程是1=ρ．
（Ⅰ）求直线l 与圆C 的公共点个数；
（Ⅱ）在平面直角坐标系中，圆C 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y 'y x
'x 2得到曲线C'，设),(y x M 为曲线
C'上一点，求224y xy x ++的最大值，并求相应点M 的坐标．
24．（本小题满分10分）选修54-：不等式选讲
设函数|||2
5
|)(a x x x f -+-
=，R ∈x ． （Ⅰ）求证：当2
1
-=a 时，不等式3)(≥x f 成立；
（Ⅱ）关于x 的不等式a x f ≥)(在R 上恒成立，求实数a 的最大值．
佳一中2014--2015学年度高二学年第二学期期中考试
（文科数学）答案 一、 选择题：
二、填空题：13：
（1,2] 14 : 0 15: 2 16: ②④ 三、解答题
17.解：（1）当2
1
=
a 时x
x x x f 21
2)(2-
+==221+-x
x ， x y =与x
y 21-=在),1[+∞∈x
都是单调递增函数，所以2
5
2211)(min =+-
=x f ； ------------6分 （2）02)(2>-+=x
a
x x x f 在),1[+∞∈x 上恒成立，即等价于022>-+a x x 在),1[+∞∈x 上恒
成立，即等价于31)1()2(2min 2=-+=+<x x x a ，3<∴a ---------12分 18.解：（1）,22)(2+-='bx x x f 由已知得0244)2(=+-='b f ，2
3
=∴b a x x x x f ++-=
∴22
331)(2
3，23)(2+-='x x x f ，令,0)(>'x f 解得函数)(x f 的单调递增区间为）（）（+∞∞-,2,1,-----------6分 （2）2
2()3
f x a ->
在[1, 3]x ∈上恒成立，即a a x x x ->+-22332
-22331
在[1, 3]x ∈上恒成立，设)(x h =3
2
-2233123x x x +-
即等价于min 2)(x h a a <-，又由（1）可知函数)(x h 在]2,1[单调递减，在]3,2[单调
递增，∴0)2()(min ==h x h ，12<-∴a a ，解得10<<a -------------12分
19.解：（1）由频率分布表得3
1000.03
M =
=, -------1分 所以100(333715)42m =-+++=，---------2分
42
0.42100
n =
=，0.030.030.370.420.151N =++++=．-----3分 直方图如右（略）---------5分
（2）由题意知，全区90分以上学生估计为
4215
600342100
+⨯=人．---------7分
（3）设考试成绩在(]0,30内的3人分别为A 、B 、C ；
考试成绩在(]30,60内的3人分别为a 、b 、c ， 从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有： (A ，B)，(A ，C)，(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)， (B ，C)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，(C ，a)， (C ，b)，(C ，c)，(a ，b)，(a ，c)，(b ，c)共有15个. ---------10分 设抽取的2人的分数均不大于30分为事件D ．
则事件D 含有3个结果： (A ，B)，(A ，C) ，(B ，C) ---------11分 ∴31()155P D =
= ．
---------12分 20.（Ⅰ）证明：将1122
22=++=b
y a x x y 代入，消去x ，得
0)1(2)(222222=-+-+a b y b y b a ①
由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得
0)1(4)1)((44222222224>-+=-+-=∆b a b a a b a b b 所以 122>+b a ---4分
（Ⅱ）解：设),(),(2211y x B y x A ，由①，得 2
2222122221)
1(2b
a a
b y y b a b y y +-=+=+， 因为 2122y y FB AF -==，得
所以， 2
22
22221222212)1(2y b
a a
b y y y a b y y -=+-=-==+， 消去y 2，得 2
2
222222)2(2)1(b
a b b a a b +-=+-化简，得22228)1)((b a b a =-+ 若F 是椭圆的一个焦点，则c=1，b 2
=a 2
－1 代入上式，解得 2
7
2922
==
b a ， 所以，椭圆的方程为 17
2922
2=+y x -----------------------------12分 21.解: （Ⅰ）直线2y x =+的斜率为1.函数()y f x =的导数为22()a
f x x x
'=-
+， 则22(1)111a
f '=-
+=-，所以1a =. ………………………………4分 （Ⅱ）2
2
()ax f x x
-'=，x ∈(0,)+∞. ①当0a =时，在区间(0, e]上22
()0f x x
'=-<，此时()f x 在区间(0, e]上单调递减，
则()f x 在区间(0, e]上的最小值为2(e)e
f =. ②当
2
0a
<，即0a <时，在区间(0, e]上()0f x '<，此时()f x 在区间(0, e]上单调递减， 则()f x 在区间(0, e]上的最小值为2
(e)e
f a =+.
③当2
0e a
<<，即2e a >时，在区间2(0,)a 上()0f x '<，此时()f x 在区间2(0,)a 上单调
递减；在区间2(,e]a 上()0f x '>，此时()f x 在区间2
(,e]a
上单调递增；则()f x 在区间
(0, e]上的最小值为22
()ln f a a a a
=+.
④ 当2e a ≥，即2
0e
a <≤时，在区间(0, e]上()0f x ′
≤，此时()f x 在区间(0, e]上为单调递减，则()f x 在区间(0, e]上的最小值为2
(e)e
f a =+.
综上所述，当2e a ≤时，()f x 在区间(0, e]上的最小值为2e a +；当2
e
a >时，()f x 在区
间(0, e]上的最小值为2
ln a a a
+. ……………………………12分
22.解：（Ⅰ）连接DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，
所以BDE BCA ∠=∠，又DBE CBA ∠=∠，
所以DBE ∆∽CBA ∆，即有BE BD
AB BC
=， 又2AB BE =，所以2BC BD = …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）DBE ∆∽CBA ∆，知BE ED
AB AC
=， 又2AB BE =，∴2AC DE =， ∵2AC =，∴1DE =，而CD 是ACB ∠的平分线∴1DA =，设BD x =，根据割线定理得BD BA BE BC ⋅=⋅
即()()()11111122x x x x ⎡⎤
+=
+++⎢⎥⎣⎦
，解得1x =，即1BD = …10分 23.解：（Ⅰ）直线l 的方程为20x y --= 圆C 的方程是2
2
1x y +=
圆心到直线的距离为2
2
002111
d --=
=+，等于圆半径，
∴直线l 与圆C 的公共点个数为1； …5分
（Ⅱ）圆C 的参数方程方程是()cos 02sin x y θθπθ=⎧≤<⎨=⎩∴曲线C '的参数方程是cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
∴2
2224+4cos cos 2sin 4sin 4sin 2x
xy y θθθθθ+=+⋅+=+
当4πθ=
或54
πθ=时，224+x xy y +取得最大值5 此时M 的坐标为2,22⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭或2
,22⎛⎫-- ⎪ ⎪
⎝⎭
…10分。