2021届安徽省安庆市高考数学一模试卷(理科) (解析版)

2021年安徽省安庆市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣2，3）B．（3，5）C．（1，3）D．（﹣2，1）2．已知复数z满足＝i，则|z|＝（）
A．B．5C．2D．4
3．已知a＝2，b＝log37，c＝，则a，b，c的大小关系（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
4．二项式的展开式的常数项为（）
A．20B．﹣20C．160D．﹣160
5．向量＝（2，1），＝（﹣3，4），＝（3m﹣1，1﹣2m），若（+2）⊥，则实数m等于（）
A．1B．C．D．2
6．数列{a n}是各项均为正数的等比数列，3a2是a3与2a4的等差中项，则{a n}的公比等于（）
A．2B．C．3D．
7．为了得到函数g（x）＝sin2x﹣cos2x的图象，只需将f（x）＝2sin（2x﹣）的图象（）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
8．已知抛物线y＝x2上的动点P到直线l：y＝﹣3距离为d，A点坐标为（2，0），则|PA|+d 的最小值等于（）
A．4B．2+C．2D．3+
9．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法，现设计一个实验计算圆周率的近似值，向两直角边分别为6
和8的直角三角形中均匀投点40个，落入其内切圆中的点有21个，则圆周率π≈（）A．B．C．D．
10．双曲线C：＝1（a，b＞0），圆M：（x+2）2+y2＝3与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（）
A．B．C．D．
11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F是线段A1C1上的两个动点，且EF长为定值，下列结论中不正确的是（）
A．BD⊥CE
B．BD⊥面CEF
C．△BEF和△CEF的面积相等
D．三棱锥B﹣CEF的体积为定值
12．已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f′（x）是f（x）的导函数，f（1）≠0，且满足＜0，则不等式（x﹣1）f（x）＜0的解集为（）A．（1，+∞）B．（0，1）
C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
二、填空题（共4小题）.
13．已知实数x，y满足，则z＝2x+y﹣1的最大值为．
14．函数f（x）＝（x+1）e x﹣1+a在（1，f（1））处的切线经过点（3，7），则实数a＝．15．已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+1＝0，点P是直线x﹣y+1＝0的一动点，AB是圆C的一条直径，则•的最小值等于．
16．数列{a n}满足a n﹣a n﹣1＝（n≥2，且n∈N*），a1＝2，对于任意n∈N*有λ＞a n
恒成立，则λ的取值范围是．
三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c cos A+（a+2b）cos C＝0．（1）求∠C的大小；
（2）△ABC的面积等于4，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长．18．在斜三棱柱ABC﹣A'B'C'中，△ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA'＝2，顶点A'在面ABC的射影为BC边的中点O．
（1）求证：面BCC'B′⊥面AOA'；
（2）求面ABC与面A'B'C所成锐二面角的余弦值．
19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），过椭圆左焦点F的直线x﹣4y+＝0与椭圆C在第一象限交于点M，三角形MFO的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M作直线l垂直于x轴，直线MA、MB交椭圆分别于A、B两点，且两直线关于直线l对称，求证：直线AB的斜率为定值．
20．某商场为庆祝店庆十周年，准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元，则可参加一次抽奖活动，主办方设计了两种抽奖方案：
方案①：一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球，则顾客获得80元的返金券，若抽到白球，则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次．
方案②：一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球，则顾客获得100元的返金券，若抽到白球，则未中奖，且顾客有放回地抽取3次．
（1）现有一位顾客消费了420元，获得一次抽奖机会，试求这位顾客获得180元返金券的概率；
（2）如果某顾客获得一次抽奖机会．那么他选择哪种方案更划算．
21．函数f（x）＝e x﹣2ax﹣a．
（1）讨论函数f（x）的极值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）的零点个数．
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（）＝．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）直线l与曲线C交于M、N两点，设点P的坐标为（0，﹣2），求|PM|2+|PN|2的值．[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜1的解集；
（2）若a＞0，不等式f（x）+2＞0恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣2，3）B．（3，5）C．（1，3）D．（﹣2，1）解：∵A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|0＜x﹣1＜4}＝{x|1＜x＜5}，
∴A∩B＝（1，3）．
故选：C．
2．已知复数z满足＝i，则|z|＝（）
A．B．5C．2D．4
解：∵复数z满足＝i，
∴2z﹣3＝4i﹣zi⇒（2+i）z＝3+4i，
∴z＝，
∴|z|＝＝＝,
故选：A．
3．已知a＝2，b＝log37，c＝，则a，b，c的大小关系（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a 解：∵a＝2＝2log54＝log516∈（1，2），
0＜b＝log37＝＜log33＝1，c＝＝＞2，
∴c＞a＞b．
故选：C．
4．二项式的展开式的常数项为（）
A．20B．﹣20C．160D．﹣160
解：二项式（2x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•26﹣r•x6﹣2r，
令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式中的常数项是﹣8•＝﹣160，
故选：D．
5．向量＝（2，1），＝（﹣3，4），＝（3m﹣1，1﹣2m），若（+2）⊥，则实数m等于（）
A．1B．C．D．2
解：根据题意，＝（﹣3，4），＝（3m﹣1，1﹣2m），则+2＝（3m﹣7，9﹣2m），若（+2）⊥，则（+2）•＝2×（3m﹣7）+（9﹣2m）＝4m﹣5＝0，
解可得：m＝，
故选：B．
6．数列{a n}是各项均为正数的等比数列，3a2是a3与2a4的等差中项，则{a n}的公比等于（）
A．2B．C．3D．
解：设正数等比数列{a n}的公比为q，
因为3a2是a3与2a4的等差中项，
所以6a2＝a3+2a4，即6a1q＝a1q2+2a1q3，
所以2q2+q﹣6＝0，解得q＝或q＝﹣2（舍）．
故选：B．
7．为了得到函数g（x）＝sin2x﹣cos2x的图象，只需将f（x）＝2sin（2x﹣）的图象（）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
解：函数g（x）＝sin2x﹣cos2x＝．
要得到g（x）的函数图像，只需将f（x）＝2sin（2x﹣）的图象向右平移个单位即可，
故选：C．
8．已知抛物线y＝x2上的动点P到直线l：y＝﹣3距离为d，A点坐标为（2，0），则|PA|+d
的最小值等于（）
A．4B．2+C．2D．3+
【解答】解析：抛物线x2＝4y的焦点F(0,1)，
d＝|PE|+2＝|PF|+2,
|PF|+|PA|≥|PA|＝,
从而|PA|+d＝|PA|+|PF|+2+2．
所以|PA|+d的最小值等于2+，
故选：B．
9．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法，现设计一个实验计算圆周率的近似值，向两直角边分别为6和8的直角三角形中均匀投点40个，落入其内切圆中的点有21个，则圆周率π≈（）A．B．C．D．
解：由勾股定理可得斜边长为c＝＝10，
设三角形内切圆的半径为r，
由等面积法可得×（8+6+10）r＝×8×6，解得r＝2，
所以S△＝×8×6＝24，S圆＝π×22＝4π，
由题意知＝＝，解得π＝，
所以圆周率π≈．
故选：A．
10．双曲线C：＝1（a，b＞0），圆M：（x+2）2+y2＝3与双曲线C的一条渐近线
相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（）
A．B．C．D．
解：双曲线的一条渐近线bx﹣ay＝0，
条件知圆心(﹣2,0)到渐近线的距离等于＝，
从而，，，
所以．
故选：A．
11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F是线段A1C1上的两个动点，且EF长为定值，下列结论中不正确的是（）
A．BD⊥CE
B．BD⊥面CEF
C．△BEF和△CEF的面积相等
D．三棱锥B﹣CEF的体积为定值
解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD⊥平面ACC1A1，因为CE⊂平面ACC1A1，故BD ⊥CE，故选项A正确；
因为平面CEF与平面ACC1A1是同一个平面，故BD⊥面CEF，故选项B正确；
点B到EF的距离为△BA1C1的高，点C到EF的距离为CC1，所以△BEF的面积大于△CEF的面积，故选项C错误；
点B到平面CEF的距离为定值的长，△CEF的面积也为定值，故三棱锥B﹣CEF的体积为定值，故选项D正确．
故选：C．
12．已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f′（x）是f（x）的导函
数，f（1）≠0，且满足＜0，则不等式（x﹣1）f（x）＜0的解集为（）A．（1，+∞）B．（0，1）
C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
解：∵[f(x)lnx]′＝f(x)+f′(x)lnx＜0,
∴g(x)＝f(x)lnx在（0，+∞）上为减函数，而g(1)＝0,
∴在(0,1)上，lnx＜0,g(x)＞0,在(1,+∞)上，lnx＞0,g(x)＜0,而f(1)＜0,
∴在(0,+∞)上，f(x)＜0,又f(x)是奇函数，
∴在（﹣∞，0）上，f(x）＞0,
不等式(x﹣1)f(x)＜0等价于或,
解得：x＞1或x＜0,
故不等式的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞），
故选：D．
二、填空题(共4小题，每题5分，共20分)
13．已知实数x，y满足，则z＝2x+y﹣1的最大值为3．解：不等式组所表示区域为图中阴影区域，
联立，解得A（1，2），
由z＝2x+y﹣1，得y＝﹣2x+z+1，由图可知，当直线y＝﹣2x+z+1过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．
故答案为：3．
14．函数f（x）＝（x+1）e x﹣1+a在（1，f（1））处的切线经过点（3，7），则实数a＝﹣
1．
解：∵函数f（x）＝（x+1）e x﹣1+a，f′（x）＝e x﹣1+（x+1）e x﹣1，
∴在点（1，f（1））的处的切线斜率为f′（1）＝3，切线方程为：y﹣7＝3（x﹣3），即3x﹣y﹣2＝0，
又f（1）＝1，可得f（1）＝（1+1）e1﹣1+a＝1，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+1＝0，点P是直线x﹣y+1＝0的一动点，AB是圆C的一条直径，则•的最小值等于．
解：由x2+y2﹣2x+2y+1＝0，得（x﹣1）2+（y+1）2＝1，
可得圆C的圆心坐标为C（1，﹣1），半径r＝1，
由•＝（+）•（+）
＝+•（）+•＝，
即为d2﹣r2，其中d为圆心到直线上点的距离，r为半径，
因此当d取最小值时，•的取值最小，
可知d的最小值为，
故•的最小值为．
故答案为：．
16．数列{a n}满足a n﹣a n﹣1＝（n≥2，且n∈N*），a1＝2，对于任意n∈N*有λ＞a n 恒成立，则λ的取值范围是[,+∞)．
解：因为a n﹣a n﹣1＝＝﹣（n≥2，且n∈N*），a1＝2，
所以a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣1﹣a n﹣2）+（a n﹣a n﹣1）
＝2+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）＝﹣，
所以数列{a n}为递增数列，当n→+∞时，→0，
所以a n＝﹣＜，
因为对于任意n∈N*有λ＞a n恒成立，
所以λ≥，即λ的取值范围是[,+∞)．
故答案为：[,+∞)．
三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c cos A+（a+2b）cos C＝0．（1）求∠C的大小；
（2）△ABC的面积等于4，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长．解：（1）由c cos A+（a+2b）cos C＝0，
得sin C cos A+（sin A+2sin B）cos C＝0，
即sin（A+C）＝﹣2sin B cos C，
从而，
而C∈（0°，180°），
可得C＝120°．
（2）∵，
∴ab＝16，
∵
，当且仅当，即时，等号成立，
此时，
故．
18．在斜三棱柱ABC﹣A'B'C'中，△ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA'＝2，顶点A'在面ABC的射影为BC边的中点O．
（1）求证：面BCC'B′⊥面AOA'；
（2）求面ABC与面A'B'C所成锐二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，且O为BC中点，∴AO⊥BC，
又A'O⊥面ABC，所以A'O⊥BC，
AO与A'O在面AA'O内且相交于点O，故BC⊥面AA'O，
而BC⊂面BCC'B'，
从而面BCC'B'⊥面AA'O．
（2）解：以OA为x轴，OB为y轴，OA'为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，所以A'O＝3，
由条件可得，
从而，
设面A'B'C的法向量为，
则从而可得，
因为A'O⊥面ABC，所以面ABC的一个法向量，
，
设面ABC与面A'B'C所成锐二面角为θ，则，，
故面ABC与面A'B'C所成锐二面角的余弦值为．
19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），过椭圆左焦点F的直线x﹣4y+＝0与椭圆C在第一象限交于点M，三角形MFO的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M作直线l垂直于x轴，直线MA、MB交椭圆分别于A、B两点，且两直线关于直线l对称，求证：直线AB的斜率为定值．
解：（1）直线过左焦点F，所以，，
又由，可知，
从而椭圆经过点，
由椭圆定义知＝4，即a＝2，
故椭圆的方程为．
（2）证明：由条件知，直线MA、MB斜率存在，且两直线斜率互为相反数，
设直线交椭圆于点A（x1，y1），
直线交椭圆于点B（x2，y2），
由得，
从而有，，即，，故，
同理可得，
，
即证直线AB的斜率为定值，且为．
20．某商场为庆祝店庆十周年，准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元，则可参加一次抽奖活动，主办方设计了两种抽奖方案：
方案①：一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球，则顾客获得80元的返金券，若抽到白球，则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次．
方案②：一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球，则顾客获得100元的返金券，若抽到白球，则未中奖，且顾客有放回地抽取3次．
（1）现有一位顾客消费了420元，获得一次抽奖机会，试求这位顾客获得180元返金券的概率；
（2）如果某顾客获得一次抽奖机会．那么他选择哪种方案更划算．
解：（1）在一次抽奖机会的情况下，要想获得180元返金券，只能选择方案一，且摸到两次红球，一次白球，而每一次摸到红球的概率为．……
设“这位顾客获得180元返金券”为事件A，则．
故这位顾客均获得180元返金券的概率．……
（2）若选择抽奖方案①，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为．设获得返金券金额为X元，则X可能的取值为60，120，180，240．
则，，
，．……
所以选择抽奖方案①，该顾客获得返金券金额的数学期望为
（元）……
若选择抽奖方案②，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y，最终获得返金券的金额为Z元，则，故．
选择方案②，该顾客获得返金券金额的数学期望为（元）……
从而有E（X）＞E（Z），所以应选择方案①更划算．．……21．函数f（x）＝e x﹣2ax﹣a．
（1）讨论函数f（x）的极值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）的零点个数．
解：（1）f'（x）＝e x﹣2a，
当a≤0时，f'（x）＝e x﹣2a＞0，f（x）在R上为单调增函数，无极值，
当a＞0时，
由f'（x）＝e x﹣2a＞0，x＞ln（2a），f（x）在（ln（2a），+∞）上为单调增函数，由f'（x）＝e x﹣2a＜0，x＜ln（2a），f（x）在（﹣∞，ln（2a））上为单调减函数，所以，f极小值＝f（ln（2a））＝a﹣2aln（2a），无极大值．
综上所述：当a≤0时，无极值，
当a＞0时，f极小值＝f（ln（2a））＝a﹣2aln（2a），无极大值；
（2）由（1）知当a＞0时，f（x）在（ln（2a），+∞）上为单调增函数，
在（﹣∞，ln（2a））上为单调减函数，f极小值＝f（ln（2a））＝a﹣2aln（2a），
而f（x）＝e x﹣a（2x+1），当x→﹣∞时，f（x）→+∞，
当x→+∞时，f（x）→+∞；
当a﹣2aln（2a）＞0，即时，f（x）无零点，
当a﹣2aln（2a）＝0，即时，f（x）有1个零点，
当a﹣2aln（2a）＜0，即时，f（x）有2个零点，
综上：当时，f（x）无零点，
当时，f（x）有1个零点，
当时，f（x）有2个零点．
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（）＝．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）直线l与曲线C交于M、N两点，设点P的坐标为（0，﹣2），求|PM|2+|PN|2的值．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣2）2+（y﹣1）2＝4．
直线l的极坐标方程为ρcos（）＝．整理得，根据转换为直角坐标方程为：x﹣y﹣2＝0．
（2）把直线l的参数方程转换为：，代入（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，
得到（t1和t2为M和N对应的参数），故，t1t2＝9，
故|PA|2+|PB|2＝32．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜1的解集；
（2）若a＞0，不等式f（x）+2＞0恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+1|，
即，
当x≥1时，f（x）＜1即x﹣3＜1，从而有1≤x＜4；
当﹣1＜x＜1时，f（x）＜1即1﹣3x＜1，从而有0＜x＜1；
当x＜﹣1时，f（x）＜1即3﹣x＜1，此时为∅；
综上所述：x∈（0，4）；
（2）若a＞0，，
由函数性质可知，所以f（x）min＝f（）＝﹣1﹣，
由题意可得f（x）min＞﹣2，即，从而得a＜2，
又a＞0，故a∈（0，2）．。