人教A版高中数学选修一3.3.3函数的最大(小)值与导数.docx

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知能巩固提升(二十四)/课后巩固作业(二十四)
(时间:30分钟满分:50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.函数f(x)在[a,b ]上的图象连续不断,则下列说法正确的是( ) (A)f(x)的极值点一定是最值点 (B)f(x)的最值点一定是极值点 (C)f(x)在[a,b ]上可能没有极值 (D)f(x)在[a,b ]上可能没有最值
2.函数f(x)=x 3-3x+3,当x ∈[-32
,52
]时,函数f(x)的最小值是( ) (A)
338
(B)1 (C)-5 (D)
898
3.(2012·临沂高二检测)函数y=x+2cosx 在[0,2
π]上取最大值时,x 的值 为( )
(A)0 (B)6π (C)3π (D)2
π
4.(2011·湖南高考)设直线x=t 与函数f(x)=x 2,g(x)=lnx 的图象分别交于点M ,N ,则当|MN|达到最小时t 的值为( )
(A)1 (B)12
(C)
2
(D)
2
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数f(x)=ax 4-4ax 2+b(a >0,1≤x ≤2)的最大值为3,最小值为-5,则a= _______,b=_______.
6.(易错题)已知f(x)=-x2+mx+1在区间[-2,-1]上的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是_________.
三、解答题(每小题8分,共16分)
7.已知函数f(x)=1
3
x3-4x+4.
(1)求函数的极值;
(2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.
8.若方程3x4-4mx3+1=0没有实数根,求实数m的取值范围.
【挑战能力】
(10分)已知f(x)=x2-alnx,求f(x)在[1,+∞)上的最小值.
答案解析
1.【解析】选C.函数最值可在极值点处取得,也可在端点处取得,所以A,B不正确,当f(x)在[a,b]上单调或f(x)为常数函数时,f(x)在[a,b]上无极值,故C正确,闭区间[a,b]上f(x)一定有最值,所以D不正确.
2.【解析】选B.令f′(x)=3x2-3=0,
得x1=-1,x2=1.
当x变化时,f′(x)及f(x)的变化情况如下表:
由上表可知当x=1时,f(x)取最小值1.
3.【解析】选B.∵y′=1-2sinx,
解y′>0得sinx<1
2,故0≤x<
6
,解y′<0
得sinx >12
,故6π<x ≤2π,
∴原函数在[0, 6
π
)上单调递增,
在(6π,2π
]上单调递减,
当x=6
π
时函数取极大值,
同时也为最大值.
4.【解题指南】用转化的思想:直线x=t 与函数f(x)=x 2,g(x)=lnx 的图象分别交于M ,N ,而|MN|的最小值实际是函数F(t)=t 2-lnt(t >0)时的最小值. 【解析】选D.由题意,设|MN|=F(t)=t 2-lnt(t >0),
令F ′(t)=2t-1t=0,得或(舍去).
F (t)在(0,2)上单调递减,在(2
,+∞)上单调递增,
故t=2
时,F(t)=t 2-lnt(t >0)有极小值,也为最小值.即|MN|达到最小值,故选D.
【变式训练】曲线y=3-x 2(x >0)上与定点P(0,2)距离最近的点的坐标为______. 【解析】设曲线上任一点Q(x,y),且|PQ|的平方为f(x)=(x-0)2+(y-2)2=x 2+(1-x 2)2=x 4-x 2+1(x >0), 则f ′(x)=4x 3-2x=2x(2x 2-1),令f ′(x)=0,
得x 1=0,x 2=2,x 3=-2.
∵x >0,∴x=
2
.
令f ′(x)>0,得x ∈,+∞);
令f′(x)<0,得x∈
(0,
2
).
∴f(x)在
(0,
2)上单调递减,在
(
2
,+∞)上单调递增,
∴f(x)的极小值,也为最小值为
)4
)2+1=3
4
.
此时点
Q(
2
,5
2
).
答案:
(
2,5
2
)
5.【解析】令f′(x)=4ax3-8ax=4ax(x2-2)=0,
得x1=0,x2
,x3
又∵1≤x≤2,∴
.
又f(1)=a-4a+b=b-3a,f(2)=16a-16a+b=b,
)=b-4a,
∵a>0,∴
b4a5
b3,
-=-


=

,
∴a=2,b=3.
答案:2 3
【方法技巧】求函数在闭区间上的最值时的技巧
求一个函数在闭区间上的最值时,一般是找出该区间上导数为零的点,无需判断出是极大值点还是极小值点,只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较,其中最大的就是函数的最大值,最小的就是函数的最小值.
6.【解析】f′(x)=m-2x,令f′(x)=0,得x=m
2
.
由题设得-2<m
2
<-1,故m∈(-4,-2).
答案:(-4,-2)
【误区警示】本题极易扩大极值点的范围得到m∈[-4,-2],这是因为由极值定
义,不难发现极值点在区间[-2,-1]的内部(即不能是区间[-2,-1]的端点),而函数f(x)的最值是函数f(x)在x 的某个区间上的所有函数值比较而言的. 7.【解析】(1)f ′(x)=x 2-4, 解方程x 2-4=0,得x=-2或x=2.
当x 变化时,f ′(x)与f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-2)
-2 (-2,2) 2 (2,+∞) f ′(x)
+
-
0 +
f(x) ↗ 28
3
↘ -4
3

从上表可看出,当x=-2时,函数有极大值,且极大值为3
;当x=2时,函数有
极小值,且极小值为-4
3
.
(2)f(-3)=1
3×(-3)3-4×(-3)+4=7,
f(4)=13×43-4×4+4=28
3

与极值比较,得函数在区间[-3,4]上的最大值是283,最小值是-4
3
.
8.【解析】令f(x)=3x 4-4mx 3+1, 则f ′(x)=12x 3-12mx 2=12x 2(x-m).
令f ′(x)>0,得x >m ;令f ′(x)<0,得x <m. ∴y=f(x)在(-∞,m)上单调递减,在(m,+∞)上单调递增,
即函数在x=m 处取得极小值,同时也是函数在定义域R 上的最小值,f(m)=-m 4+1. 要使方程没有实数根,如图, 应有f(m)=-m 4+1>0,解得-1<m <1. 【挑战能力】
【解析】f ′(x)=2x-2a 2x a
x x
-=
①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在[1,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(1)=1;
②当a>0时,令f′(x)=0得
x1 (舍去),x2
1即0<a≤2时,f(x)在[1,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(1)=1;
1即a>2时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
故在f(x)取极小值也为最小值,
∴f(x)min a
2-a
2
ln a
2
.
综上所述:当a≤2时,f(x)min=f(1)=1;
当a>2时,f(x)min a
2-a
2
ln a
2
.。

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