人教版高中数学优质教案3：2.1.2椭圆的简单几何性质 教学设计

2.1.2椭圆的简单几何性质
教学目标
1.知识与技能
掌握椭圆的几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题．
2．过程与方法
通过椭圆的方程研究其几何性质及其应用过程，培养学生观察、分析问题的能力，利用数形结合思想解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过数与形的辨证统一，对学生进行辨证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．
重点难点
重点：由标准方程分析出椭圆的几何性质．
难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解及求法．
对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好：①让学生自主探索新知；②重难点之处进行反复分析；③及时巩固．
椭圆的简单几何性质
问题导思
1．观察椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的形状，
图2－2－2
你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
[答案]椭圆上的点都在如题图中的矩形框内部，椭圆关于坐标轴对称．椭圆与坐标轴的四个交点比较特殊．
2．如何由椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)求出椭圆与x、y轴的交点坐标？[答案]只要令x＝0或y＝0求解即可．
椭圆的离心率问题导思
1．观察不同的椭圆，我们会发现，椭圆的扁平程度不一．对于椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)，
若令a不变，b怎样变化时椭圆形状越圆(扁)？此时c的情况如何？
[答案]当a值不变，b越大，即c越小时，椭圆形状越圆；b越小即c越大时，椭圆形状越扁．
2．若用c
a来描述椭圆的扁平情况会是怎样的？
[答案]c
a越小椭圆形状越圆；
c
a越大椭圆形状越扁．(注意：0＜
c
a＜1)
1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝c
a，叫做椭圆的离心率．
2．性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．
例题[解析]
例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
解：把已知方程化成标准方程
22
22154
x y +=，
于是5,4, 3.a b c ===
=
椭圆的长轴长和短轴长分别是210,28,a b == 离心率3
5
c e a =
=， 两个焦点坐标分别为12(3,0)(3,0)F F -，，
四个顶点坐标分别为1212(5,0),(5,0),(0,4),(0,4).A A B B --
1212121122().,,.,.,|| 2.8 ,|| 4.5 .,.0.1 BAC F F F F BC F F F B cm F F cm BAC cm ⊥==例如图，一种电影放映灯泡的反射镜是旋转椭圆面椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面的一部分过对称轴的截口是椭圆的一部分灯丝位于椭圆的一个焦点上片门位于另一个焦点上由椭圆一个
焦点发出的光线经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点已知试建立适当的坐标系求截口所在的椭圆方程（精确到）
解：题图标设椭圆为22
22建立如干所示的直角坐系,所求方程x y +=1.a b
122在Rt ΔBF F 中,
|F B|= 椭圆质12由的性知, |F B|+|F B|=2a,所以
(1211
a =
(|F B |+|F B |)= 2.8 4.1;22≈
3.4.b ==≈
22
22x y 所以,所求的椭圆方程为+=1.4.1 3.4
25 (,)(4,0):44
.
5
M x y F l x M =例3点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹
25
:4
4 ,
5l x MF P M d =⎧⎫⎪⎪
==⎨⎬⎪⎪⎩⎭解：设d 是点M 到直线的距离，根据题意，点M 的轨迹就是集合
4
.
5=
22925225,x y +=将上式两边平方，并化简，得
22
1.259x y +=即
所以，点M 的轨迹是长轴, 短轴长分别为10, 6的椭圆.
例4 已知椭圆221259
x y +=,直线l :45400x y -+=,椭圆上是否存在一点,到直线l 的距
离最小?最小距离是多少?
[解析]作出直线l 及椭圆（如图）.观察图形,可以发现,利用平行于 直线l 且与椭圆只有一个交点的直线，可以求得相应的最小距离
.
解:由直线l 的方程与椭圆的方程可以知道，直线l 与椭圆不相交（为什么?）.设直线m 平行于直线l ,则直线m 的方程可以写成
22
4501259
,,x y k x y -+=⎧⎪
⎨+=⎪⎩由方程 222582250-y x kx k ++=消去，得，
令方程②的根的判别式△=0，得
22644252250().k k -⨯-=
解方程③，得
122525,.k k ==-或
由图可知，当k =25时，直线m 与椭圆的交点到直线l 的距离最近，此时直线m 的方程为4x -5y +25=0
直线m 与直线l 间的距离
d =
=
max d =
=
根据椭圆的方程研究其几何性质 当堂训练
1．椭圆x 281＋y 2
45
＝1的长轴长为( )
A ．81
B ．9
C ．18
D ．45 [解析] 由标准方程知a ＝9，故长轴长2a ＝18. [答案] C
2．椭圆6x 2＋y 2＝6的离心率为(
)
A.56
B.306
C.16
D.66
[解析] 椭圆方程可化为x 2
＋y 26＝1，∴a 2＝6，b 2＝1，∴c 2＝5，∴e ＝c a ＝56
＝306.
[答案] B
3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( )
A.12 B ．2 C.1
4 D ．4 [解析] 方程化为
x 2＋
y 21m
＝1，长轴长为2m ，短轴长为2，由题意，2m ＝2×2，∴m ＝1
4. [答案] C
4．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)，焦点在x 轴上；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解 (1)椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
∵椭圆过点A (3,0)， ∴9
a 2＝1，a ＝3， ∵2a ＝3·2
b ， ∴b ＝1，
∴方程为x 29＋y 2
＝1.
(2)由已知{ a ＝2c ，a －c ＝3，
∴{ a ＝23，
c ＝3，从而b 2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 2
12＝1.。